Детерминант

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Можно показать также, что значение Шд может быть вычислено как детерминант матрицы компонент тензора А в произвольном ортонормальном базисе. [c.29]

Весьма важны следующие свойства детерминанта [c.29]

Фингера 94, 109, 119, 120 Тензора детерминант 28 [c.306]

Так как в данном случае детерминант матрицы С квадратичной формы П2 не равен нулю, то П2 является знакопеременной [11]. Поэтому по теореме 2.8 положение равновесия неустойчиво. [c.116]

Видим, что третье уравнение есть следствие второго. Первое и четвертое уравнения — действительные. Второе уравнение — комплексное. Из него следует (3/8 — —у/а. С помощью этого соотношения преобразуем выражение для детерминанта [c.104]

Далее, рассматриваемое преобразование сохраняет детерминант [c.105]

Раскрывая квадрат последнего детерминанта, группируя члены и используя определения моментов инерции, получим [c.174]

Решение этих уравнений будет отл ично от нуля, если детерминант, составленный из коэффициентов А и Л2 равен нулю [c.212]

Выражения проекций вектора Ко на подвижные оси даются формулами (4). Для вычисления проекций векторного произведения й X Ко это произведение выразим в виде детерминанта [c.453]

Уравнения (19) являются однородными алгебраическими уравнениями линейными относительно двух искомых величин А1 и А - Такие два уравнения имеют тривиальное решение, нулевое Л1 = 0, Л2 = 0. Это решение не представляет интереса. Чтобы система (19) имела для Л1 и А решения, отличные от нуля, как известно из линейной алгебры, необходимо и достаточно, чтобы детерминант из коэффициентов при А , А был равен нулю [c.520]

Получено уравнение, которому должна удовлетворять искомая частота к, называющееся уравнением частот его окончательный вид (по раскрытии детерминанта) имеет вид [c.520]

Величины, которые при переходе от одной системы к другой преобразуются по формулам типа (1.73) (в общем случае в этих формулах появляется произвольная степень det A , ), называются относительными тензорами или псевдотензорами степень детерминанта матрицы А, в законе преобразования называется весом псевдотензора. Таким образом, символ Леви — Чивита — псевдотензор веса —I. [c.317]

Рещая эту систему уравнений, можно получить коэффициенты отражения и пропускания эталона (см. упражнение 47). Если положить Л = 0, то система уравнений (I) определяет собственные решения задачи. При Л = О система (1) однородна, и ненулевые решения возможны только в том случае, когда ее детерминант равен нулю. Это условие дает уравнение относительно k [c.908]

Приравнивая нулю детерминант, получим собственные значения [c.258]

Система уравнений (2.48) имеет нетривиальные решения, если детерминант [c.79]

Эта система однородных уравнений имеет решение, если обращается в нуль детерминант [c.153]

Подставляя решение (5.61) в систему ЗуУ уравнений движения, получают систему однородных уравнений относительно амплитуд Л/г, которая имеет нетривиальные решения, если детерминант,, составленный из коэффициентов, при неизвестных А-г равен нулю. Последний оказывается полиномом третьей степени относительно и имеет в общем случае три корня, которые должны быть действительными и положительными. Отрицательные значения, если атомы находились в исходном состоянии в равновесии, не имеют смысла. [c.159]

Записывая (7.70) с учетом (7.68) и (7.69), получим систему четырех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными А, В, С и D. Условием существования нетривиального решения системы является равенство нулю детерминанта, составленного из коэффициентов при неизвестных. Это приводит к уравнению [c.224]

Чтобы однородная система (г) допускала решения, отличные от нуля, необходимо, чтобы детерминант этой системы (D) равнялся нулю, что приводит к определяющему уравнению для квадрата круговой частоты со [c.60]

Приравняв детерминант этих уравнений нулю, получим условие критического состояния [c.120]

Чтобы система двух однородных уравнений (а) и (б) имела решения, отличные от нуля, необходимо, чтобы ее детерминант был равен нулю [c.131]

Подставив решение (ж) в соотношения (е) при у = Ь, получим два однородных линейных уравнения относительно постоянных Л и В. Детерминант этих уравнений, приравненный нулю, представляет собой уравнение для определения минимальной критической силы — min Nx [c.191]

Подставив значение (7.155) в систему простых однородных дифференциальных уравнений и приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющие уравнение для п, выраженное через частоту колебаний и приняв во внимание краевые условия, определим частоту со. [c.268]

Подставив ряды (7.156) в уравнения (7.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными Атп, Втп, Стп для каждого 4J(6Ha разложения. Приравняв нулю детерминант этой-системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Отп- [c.268]

Система (л) имеет ненулевое решение при равенстве нулю детерминанта, составленного из коэффициентов при неизвестных раскрывая полученный определитель, получают частотное уравнение [c.304]

Из уравнения (м) коэффициент частот fen определяют путем подбора. Задавшись некоторым значением /г , по формулам (ж) находят значения pi и далее по формуле (м) —значение функции A kn). Подобную процедуру продолжают до тех пор, пока не находят такое значение fen, при котором детерминант (м) обращается в нуль. Построив график детерминанта (м), можно установить весь спектр собственных частот. [c.305]

Подставляя значения (а) и (б) в уравнения (в) и приравнивая нулю детерминант из коэффициентов при неизвестных А, В, С, D, получаем трансцендентное уравнение для определения параметра у. [c.320]

Получим четыре уравнения для определения четырех неизвестных P v, I, т, п. Так как направляющие косинусов I, т, п не могут одновременно быть равны нулю, решение уравнения возможно при равенстве нулю его детерминанта [c.10]

Разлагая детерминант по элементам первой строки, получим разложение вектора(/ ) покоординатным осям в несколько ином виде [c.162]

Величина 1д равна детерминанту, составленному из коэффициентов системы уравнений (а) при к = 0 [c.52]

Здесь Gnh — алгебраическое дополнение элемента gun в детерминанте g. [c.14]

Отсюда заключаем, что детерминанты матриц С и С равны. Таким образом, уравнение [c.45]

Как известно, необходимым и достаточным условием положительности симметричной матрицы Ьц является положительность детерминанта [c.15]

Как известно, квадратичная форма положительна, если составленный из коэффициентов формы детерминант и его главные миноры положительны, поэтому условия устойчивости [c.129]

Как уже отмечалось, при приближении к критическому состоянию детерминант устойчивости Dy и коэффициенты устойчивости (dXi/dxi)x. стремятся к нулю, а теплоемкость, сжимаемость, восприимчивость (вторые производные термодинамического потенциала) возрастают до бесконечности, что является макроскопическим проявлением большого развития флуктуаций. Эта математическая особенность вторых производных термодинамического потенциала и связанные с ней большие флуктуации в критической точке затрудняют теоретическое и экспериментальное изучение критических явлений. Однако результаты интенсивно проводимых исследований этих явлений позволяют принять, что сингулярность основных термодинамических функций вблизи критической точки имеет простой степенной вид [c.249]

Основной величиной, характеризующей устойчивость, является детерминант устойчивости, который для данной системы имеет вид [c.251]

С изменением термодинамических сил, действующих на систему, изменяются различные характеристики фазового перехода первого рода (ФП I рода). Так,, при повыщении температуры и давления в системе жидкость — пар уменьшаются удельная теплота перехода и области метастабильных п неустойчивых состояний (см. рис. 31). Предельным случаем ФП I рода является критический переход. В критическом состоянии спинодаль и бино-даль сливаются в одну точку, удельные объемы фаз становятся одинаковыми, а фазы — тождественными. Критическое состояние определяется тем, что детерминант устойчивости и ИКУ равны нулю Dy = 0, (pP/<3V )t = 0, (<Э7 /55)р = 0. [c.174]

При задаиной системе сил Fv эти -равенства представляют собой уравнения для определения Хо, уа, 2q. Детерминант этой системы Л равен нулю [c.118]

Раскрывая детерминант, получим кубическое уравнение РЯ-— 11 4-ааРл — 3 = О, [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...