Уравнение длинных волн

Это есть общее уравнение длинных волн в канале с постоянным по длине сечением и вертикальными стенками ). [c.326]

Линеаризованная форма уравнения длинной волны имеет вид [c.220]

ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛИННЫХ ВОЛН В СЛУЧАЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ БАССЕЙНЕ [c.158]

В настоящей работе получен новый класс точных аналитических решений нелинейной системы уравнений длинных волн. Он описывает осесимметричные колебания идеальной однородной жидкости во вращающемся бассейне, имеющем форму параболоида вращения. Общий вид решений предложен в работе [11], посвященной нелинейным инерционным колебаниям круговых вихрей. Радиальная скорость движения жидкости является линейной функцией, азимутальная скорость и смещения свободной поверхности - многочленами различных степеней по радиальной координате с зависящими от времени коэффициентами. Благодаря более общей зависимости азимутальной скорости и смещений свободной поверхности от радиальной координаты, найденное решение является обобщением точного аналитического решения, найденного в работах [4, 5]. Решение линейной задачи о свободных колебаниях жидкости в параболическом вращающемся бассейне дано в [1]. [c.158]

Анализ показывает, что система уравнений длинных волн (1.1) не допускает нетривиальных решений вида (1.3) с п > 1, если вращение жидкости отсутствует. [c.160]

Формулы (3.1) позволяют записать частное решение п-го порядка системы нелинейных уравнений длинных волн в виде [c.163]

В работах [164—166] уравнение переноса излучения было рассмотрено для случая крупных по сравнению с длиной волны излучения частиц. При решении использовался метод сферических гармоник. Полученные результаты предлагались для определения спектральных характеристик псевдоожиженного слоя, которые, как было показано, существенно отличаются от аналогичных характеристик одиночной частицы. [c.145]

На основании соотношения Эйнштейна для энергии фотона может быть получено уравнение для выражения зависимости длины волны от массы фотона [c.74]

Линия спектра поглощения, наблюдаемая экспериментально, сочетается с некоторым количеством энергии, эквивалентным разности между соседними энергетическими уровнями. Длина волны, соответствующая каждой линии, выражается уравнением Эйнштейна [c.89]

Длина волны вращательного спектра может быть тогда определена по уравнению [c.89]

При достаточно высоких частотах акустическая длина волны становится настолько малой, что начинает приближаться к длине свободного пробега молекул газа. В этом случае основное уравнение для с (3.36) и уравнения для ак-г и ао перестают выполняться, так как все они получены в предположении, что газ представляет собой непрерывную среду. Согласно кинетической теории, тепловая скорость молекул в газе имеет тот же порядок, что и скорость звука. Таким образом, если длина звуковой волны по порядку величины приближается к средней длине свободного пробега, то звуковая частота должна приближаться к частоте соударений между молекулами. Это очень высокая частота порядка 10 Гц, так как средняя длина свободного пробега при комнатной температуре составляет величину порядка 100 нм. В акустической термометрии столь высокие частоты никогда не применяются, самая высокая частота, на [c.105]

В термометрии излучения в отличие от термометрии, основанной на применении термопары или термометра сопротивления, можно использовать уравнения в явном виде, которые связывают термодинамическую температуру с измеряемой величиной (в данном случае со спектральной яркостью). Это возможно потому, что тепловое излучение, существующее внутри замкнутой полости (излучение черного тела), зависит только от температуры стенок полости и совсем не зависит от ее формы или устройства при условии, что размеры полости намного больше, чем рассматриваемые длины волн. Излучение, выходящее из маленького отверстия в стенке полости, отличается от излучения черного тела лишь в меру того, насколько сильно отверстие нарушает состояние равновесия в полости. В тщательно продуманной конструкции это отличие может быть сделано пренебрежимо малым, так что равновесное излучение черного тела становится доступным для измерений. Таким образом, методы термометрии излучения позволяют в принципе измерить термодинамическую температуру с очень высокой точностью, что будет кратко рассмотрено в разд. 7.7. [c.309]

Полость сделана большой, чтобы при визировании нижней части цилиндра и обращенного конуса ее излучательная способность для теплового излучения при 273 К превышала 0,9999. Область длин волн, на которую приходится основная часть излучения при этой температуре, простирается от 2 до 200 мкм. На излучение за пределами этой области приходится лишь 0,1 % от полной энергии излучения. Температура полости измерялась восемью прецизионными платиновыми термометрами сопротивления, прикрепленными к различным частям полости. Однородность температуры в цилиндрической и конической частях была лучше, чем 1 мК. Внутренняя поверхность полости покрыта черной краской ЗМ-С-401, оптические свойства которой известны до длины волны 300 мкм. Вплоть до длины волны 30 мкм коэффициент отражения краски меньше 0,06. Таким образом, излучательная способность полости с достаточной степенью точности определяется только членом с р в уравнении (7.56) для углов падения больше 80° при всех длинах волн чернение приводит к преимущественно зеркальному отражению. [c.347]

Используемый стеклянный красный фильтр, кривая спектральной чувствительности глаза и планковское распределение при измеряемой температуре определяют длину волны, которая входит в уравнение (7.66). Красный фильтр важен по двум причинам во-первых, для уравнения (7.66) нужно знать [c.367]

Чтобы получить точное значение Т, следует позаботиться о выборе метода численного интегрирования уравнения (7.69). Функции 5(Я) и /(Я) всегда имеют вид таблиц, так как они являются результатом экспериментальных измерений, выполненных для большого числа дискретных длин волн. При выполнении численного интегрирования существует много способов подбора аналитических функций к экспериментальным данным, и результирующая погрешность зависит от выбора функций и от интервалов между экспериментальными точками. Численные методы обработки уравнения (7.69) обсуждались в работе [83], где предложена простая процедура, основанная на подгонке набора полиномов для (Я) и (Я). В каждом интервале между экспериментальными точками при длинах волн X,- и Я,+1 используется полином степени п (4 п 6) для описания в (ц+1) точках по обе стороны Я,. Таким образом, для каждого интервала используются различные полиномы. Интегрирование выполняется по методу Симпсона с величиной шага, который выбирается так, чтобы погрешность интегрирования была ниже выбранного значения. Если определить функцию / (Я, Т) формулой [c.370]

Для решения уравнения (7.69) использовались и различные другие способы. Накануне появления компьютеров, когда численное интегрирование являлось трудоемким процессом, для сокращения объема численного интегрирования были разработаны приближенные методы. В наиболее известном из них используется понятие средней эффективной длины волны Ке, определенной следующим образом для двух температур Г) и Г2 [c.371]

Таким образом, измерение отношения спектральных, яркостей для двух длин волн дает возможность вычислить Т, если значение Я е) известно. Хотя величина 7 (е) определена здесь как отношение спектральных коэффициентов излучения, ее можно также, рассматривать как отношение некоторых других зависящих от длины волны, но не от температуры величин, таких, как пропускание атмосферы, спектральная чувствительность детектора и т. п. Заметим, что параметры, которые не зависят и от длины волны, и от температуры, в уравнении (7.81) не присутствуют и их можно не учитывать. Один из таких параметров—размер источника. Чувствительность метода возрастает при увеличении разницы длин волн. К сожалению, чем [c.384]

Чтобы найти точность, с которой должны быть известны две длины волны, продифференцируем уравнение (7.81) по длине волны считая, что 7 (е)/ Х = 0, [c.386]

Излучать и поглощать могут твердые, жидкие и газообразные реальные тела конечной толщины. Если на какое-либо тело падает луч интенсивностью I,л, то этот луч частично поглощается п выходит с другой стороны тела с интенсивностью />,2, меньшей, чем 1 и-Коэф([ ициент поглощения для луча с данной длиной волны определяется из уравнения [c.460]

Закон Стефана — Больцмана. Планк установил, что каждой длине волны соответствует определенная интенсивность излучения, которая увеличивается с возрастанием температуры. Тепловой поток, излучаемый единицей поверхности черного тела в интервале длин волн от X до А, + dl, может быть определен из уравнения [c.462]

Это уравнение синусоиды. Обозначим длину волны этой синусоиды (рис. б) через I. Тогда время одного полного колебания (период) будет [c.311]

Проникновение электромагнитной энергии во вторую среду при полном внутреннем отражении. Уравнения (3.25) и (3.28) на первый взгляд противоречат друг другу во второй среде присутствует электромагнитная энергия, в то время как весь поток падающей энергии возвращается в первую среду. В действительности же в данном случае никакого парадокса не существует. Фактически при полном внутреннем отражении часть потока энергии, проникая во вторую среду на очень маленькую глубину (порядка длины волны, [c.55]

Итак, показатель преломления среды определяется через оптическую поляризуемость атома (поляризуемость, обусловленную полем световой волны), и, таким образом, задача дисперсии — нахождение зависимости п от X — сводится к нахождению вида зависимости оптической поляризуемости от длины волны (или от частоты, так как ы = 2пс/1, где с— скорость света). Поскольку поляризуемость связана со смещением электрона г из положения равновесия, задача дисперсии сводится к нахождению г из уравнения движения электрона. [c.270]

X — длина волны падающего света) наблюдается интерференционный максимум света. Линза не вносит разности хода. Как следует из уравнения (78.4), условие интерференционного максимума для каждой длины световой волны выполняется при своем значении угла дифракции ф. В результате при прохождении через дифракционную решетку пучок белого света разлагается в спектр. [c.268]

Усреднение микроскопических значений законно в том случае, если линейные размеры области, где <Ем кр и <Н икр можно считать неизменными, значительно превыщают размеры атомов (молекул). Длина волны ), является тем отрезком, на котором напряженность поля сильно изменяется. Поэтому усреднение можно проводить лишь в том случае, когда /. значительно больше атомных размеров. Такое неравенство соблюдается для всего оптического диапазона спектра, включая короткие ультрафиолетовые лучи. Сложнее обстоит дело в рентгеновской области спектра, где ). 10 см, т. е. того же порядка, что и размеры атомов. В рамках данного курса количественные оценки будут проводиться лишь для оптического диапазона спектра, где законность усреднения микроскопических уравнений поля не вызывает сомнений. [c.16]

Мы получили схему трех независимых уравнений для определения трех искомых величин а, р, у. Следовательно, при заданных di и 2 для излучения любой длины волны можно вычислить углы а, Р, у, характеризующие направление дифрагировавшего луча для максимумов того или иного порядка. Если в каждой решетке число щелей N и N2 достаточно велико, то максимумы будут очень острыми и практически вся световая энергия пойдет только по этим разрешенным направ.чениям. На удаленном экране, расположенном за системой из двух скрещенных решеток, получится дифракционная картина, представляющая собой четкие симметрично расположенные световые пятна. [c.345]

Итак, разложения структур в спектр на одномерной, двумерной и пространственной структурах не одинаковы. Если осветить одномерную правильную структуру излучением, содержащим все длины волн (белый свет), то решетка разложит его в непрерывный спектр, который можно исследовать в первых порядках (в высоких порядках будут мешать трудноустранимые наложения). Двумерная решетка преобразует белый свет в систему цветных пятен, каждое из которых будет своеобразным разложением в непрерывный спектр по двум координатам. Трехмерная структура пропустит из непрерывного спектра лишь излучение с теми дискретными значениями которые удовлетворяют уравнению [c.349]

В работе Funakoshi (1980) данное явление моделируется численно с использованием приближенных уравнений длинных волн малой амплитуды. Расчеты проведены, в основном, для а = О, 05 и в целом неплохо согласуются с теорией Майлса. [c.89]

Математическое введение. Мы рассматривали в 3, 7, 8 синусоидальные собстве1шые колебания (их называют также нормальными колебаниями, ср. 3) некоторых упругих тел стержней, пластин, столбов газа, струн. Эти колебания имеют вид стоячих волн, удовлетворяющих волновому уравнению. Длина волны, а также расположение узлов и пучностей определяются условиями на границах упругого тела. [c.219]

Ондуляции на мелкой воде можно рассматривать как независимые длинные волны их распространение описывается уравнениями длинных волн на мелкой воде (до момента разрушения) и уравнениями разрывных волн (после разрушения и распространения в виде бора до уреза воды) . [c.169]

Неучет вертикального ускорения в уравнениях длинных волн приводит к так называемому парадоксу Ирншоу , заключающемуся в том, что любая 1Волна конечной амплитуды на мелкой воде будет или исчезать, или образовывать бор, причем последнее более вероятно (см. Рэлей [544]). Основываясь на этом парадоксе, Урселл [644] поставил под сомнение применимость теории длинных волн. Стокер [15] и Лэйтон [344] исследовали этот парадокс. Они пришли к выводу, что при включении в рассмотрение вертикального ускорения можно получить решение с устойчивым профилем типа уединенной или кноидальной волны. [c.208]

Найден класс точных аналитических решений системы нелинейных уравнений длинных волн. Он соответствует осесимметричным колебаниям идеальной несжимаемой однородной жидкости во вращающемся бассейне, имеющем форму параболоида вращения. Радиальная скорость таких движений является линейной функцией, азимутальная скорость и смещения свободной поверхности многочленами по радиальной координате с зависящими от времени коэффищ1ентами. Частота нелинейных колебаний равна частоте низшей моды линейных осесимметричных стоячих волн в параболическом бассейне. [c.158]

Таким образом, найдено точное аналитическое решение системы нелинейных уравнений длинных волн (1.1), описывающее осесимметричные периодические колебания жидкости в параболическом бассейне. Оно записьшается в форме [c.160]

Планк, стремясь разрешить проблему, впервые получил эмпирическое уравнение кривой зависимости энергии от длины волны, а затем попытался разработать механизм излучения, который соответствовал бы эмпирическому уравнению. Он смог показать, что система из гармонических осцилляторов с прерывным излуче-ниеи энергии позволяет объяснить форму кривой. Однако мысль, что излучение энергии происходит порциями (квантами), не согласовывалась с классической теорией, поэтому квантовая гипотеза была принята неохотно. [c.71]

На рис. 3.11 показан график зависимости ктп1коо и атп/аоо от Хтп Ькоо. При Хтп/Ькоо- -1 — коэффициент поглощения резко возрастает, а волновое число убывает это означает увеличение длины волны и скорости. В этой точке мода тп перестает распространяться. Частота, при которой наблюдается подобный эффект, определяется уравнением [c.109]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

Требования к интерференционному фильтру, который определяет ширину полосы фотоэлектрического пирометра, достаточно жестки. В частности, коэффициент пропускания при длине волны далеко за пределами основного пика должен быть меньше примерно в Ю раз, чем в максимуме. Если это не выполняется, то вычисление температуры по уравнению (7.69) существенно зависит от пропускания за пределами пика, и это ведет, вероятно, к погрещ-ностям. Если используется один из приближенных методов решения уравнения (7.69), становится очень трудно учесть пропускание за пределами пика и ошибка, несомненно, возрастет. На рис. 7.35 показаны кривые пропускания трех типичных фильтров, исследованных в работе [25]. Фильтры I VI 2 можно считать пригодными для фотоэлектрического пирометра высокого разрешения, а фильтр 3 нельзя из-за того, что его пропускание за пределами пика слишком высоко. Быстрое спадание чувствительности фотокатода 5-20 с длиной волны за пределами 700 нм удобно для компенсации длинноволнового пропускания фильтров, которое в противном случае было бы непреодолимым ввиду экспоненциалыгого возрастания спектральной яркости черного тела в этой области. [c.378]

В случае турбулентного потока длины волн, меньпгае диаметра частиц, учитываются постоянной времени или коэффициентом сопротивления (фиг. 2.1, стр. 31 и фиг.. 5.2, стр. 206), в то время как длины волн, больпше диаметра частиц, учитываются членом относительного ускорения и членом Бассе. Кроме того, если движение установившееся (член Бассе пренебрежимо мал) и не происходит сдвига, то для смеси с малой концентрацией частиц в правой части уравнения (6.41) остается только третий член. Логично также пренебречь объемом, занимаемым дискретной фазой, т, е. принять в уравнении (6.30) р р, особенно если р и рр близки по величине. [c.283]

Анализ этой системы уравнений приводит к следующим важным выводам для произвольной длины волны X нельзя удовлетворить всем четырем уравнениям (6.121). Следовательно, если осветить данную пространственную структуру излучением с непрерь1вным спектром, то она избирательно пропустит лишь излучение такой еполие определенной длины волны X, для которой при структуре, характеризуемой di, d.2, da, четыре уравнения [c.349]

Главные максимумы, иЕ1тенсивность которых N , отсутствуют и при освещении кристаллической решетки светом, длина волны которого существенно больше ее периода (d < X)- Действительно, уравнения (6.121) в этом случае не имеют решений для О - > то значит, что интегральная картина рассеяния [c.352]

Уравнения классической < )изики оказались неспособными объяснить, почему угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин волн.. . . [c.423]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...