Теория Блоха

В основе современного понимания проводимости металлов лежит идея Блоха [4, 5], что свободные электроны проходят через металл как плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодом, равным периоду решетки. Это позволяет преодолеть противоречия простой теории электронного газа, согласно которой атомы решетки сами должны являться главными центрами рассеяния электронов проводимости В результате длина свободного пробега может достигать нескольких миллиметров, что и наблюдается при низких температурах в особо чистых металлах. Сопротивление металлов, согласно теории Блоха, обусловлено только неидеальностью решетки. Наличие примесных атомов, точечных дефектов и границ зерен приводит к дополнительному рассеянию и, следовательно, к увели- [c.189]

При сравнении этого выражения с (17.4) становится ясно, что, когда экранирование улучшается (0/Ф—>0), отношение pj/pj быстро приближается к значению, вытекающему из теории Блоха. Если, с другой стороны, в/Ф > 1, то значение выражения [c.196]

В теории Блоха [59] процессами переброса (14.26) пренебрегается и считается, что (q) = 9 (q), т. е. распределение фононов считается равновесным кроме того, предполагается, что отклонение распределения электронов от равновесного не влияет на распределение фононов. Все поверхности постоянной энергии предполагаются сферическими, и если, кроме того, функция и х) в соотношении (13.1) считается сферически симметричной, то можно показать, что для поперечных фононов С обращается в нуль, а для продольных фононов С не зависит от q и но величине—порядка С- [c.261]

Сравнение с экспериментом другие металлы. В настоящее время подробная теория проводимости многовалентных металлов, учитывающая зонную структуру, отсутствует. В частности, не понятна температурная. зависимость при низких температурах. Поэтому количественная проверка теории для этих металлов, подобная той, которая была сделана в п. 15, невозможна. Однако некоторые выводы теории Блоха не зависят от конкретной структуры зон и могут применяться ко всем металлам. К таким [c.272]

При очень низких температурах M/i(s,s) п И (5,с ) сравнимы но порядку величины. Если предположить, что отношение Wi s,s)IW s,d) не зависит от температуры (это более или менее правильно в случае, когда соответствующие вероятности переходов пе зависят от волнового вектора фононов), то множитель А в соответствии с (16.1) будет равен 64-(0,6) 3=45 при =ь<1,5вд. Это согласуется с экспериментом, и, следовательно, теория Блоха лучше оправдывается при s—.у)-переходах в палладии, чем в случае одновалентных металлов. [c.274]

Этот результат составляет знаменитую теорему Блоха, которая для трехмерного случая гласит собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию Uk (г), периодическую в решетке кристалла [c.60]

Квантовомеханич. теория Блоха движения электронов в идеальной замороженной кристаллич. решётке сводит сложную многоэлектронную проблему к задаче о движении отд. электрона под действием строго периодич. потенциала. Волновая ф-ция Блоха, определяющая это движение электрона, представляет собой модулированную с периодом идеальной решётки плоскую волну [c.586]

Согласно элементарной теории Блоха для твердого тела, доля теплового рассеяния пропорциональна квадрату среднего перемещения иона из положения равновесия и, таким образом, пропорциональна Г/М0 , где Qe — температура Эйнштейна [96], а М — масса атома. Мотт [292] распространил эту теорию на жидкое состояние, не принимая во внимание влияния увеличения атомных перемещений, так что рь/ps — отношение удельных сопротивлений в твердом и жидком состояниях можно рассматривать как пропорциональное 6 /0 . Значения рь/рв можно найти из энтальпии плавления Н в предположении, что модель Эйнштейна можно применить к жидкости, как и к твердому состоянию (см. раздел 2). На основании этого, предположив, что энтропия плавления увеличивается только за счет изменений в колебательном движении, можно показать, что [c.102]

Доказать теорему Блоха для трехмерной решетки. [c.75]

Подбор функции и (г) в действительности сводится к определению нескольких чисел. Связано это с тем, что ввиду плавности функций фр(г) их можно разложить по плоским волнам (см. теорему Блоха (1.15)) [c.261]

В связи с этим Пайерлс ) оспаривал справедливость низкотемпературной теории, в которой тепловое равновесие допускается без достаточного доказательства. Он указывает, что в теориях Блоха и Бардина электроны при низких температурах сталкиваются с решёткой только под малыми углами, ио крайней мере в одновалентных металлах, в которых граница заполненной области удалена от границы зоны, и что число возбуждённых низкочастотных квантов не может соответствовать равновесию. Но до сих пор не ясно, насколько справедливы эти доводы. [c.560]

Применяя к граничному условию (8.22) теорему Блоха (8.6), находим [c.142]

Волновой вектор к, входящий в теорему Блоха, можно всегда считать относящимся к первой зоне Бриллюэна (или к любой другой примитивной элементарной ячейке обратной решетки, выбор которой оказывается более удобным). Это справедливо потому, что, если вектор к не лежит в первой зоне Бриллюэна, то его можно представить в виде [c.146]

Теория Блоха (гл. 8) обобщает равновесную теорию свободных электронов Зоммерфельда (гл. 2) на случай наличия периодического (не постоянного) потенциала. В табл. 12.1 мы сравниваем основные черты двух теорий. [c.216]

Мы откладываем до гл. 16 и 26 полное обсуждение реальных механизмов рассеяния. Пока лишь отметим, что теория Блоха заставляет нас теперь отказаться от наивной схемы электрон-ионного рассеяния, предложенной Друде. [c.218]

Здесь мы еще раз перечислим те свойства полной квантовомеханической теории Блоха, которые сохранены в полуклассической модели.) Волновой вектор электрона определен лишь с точностью до слагаемого, равного вектору К обратной решетки. Не существует двух различных электронов с одинаковыми номером зоны п и координатой г, но с волновыми векторами кик, отличающимися на вектор К обратной решетки обозначения п, г, к и п, г, к+К представляют собой два совершенно эквивалентных способа описания одного и того же электрона ). Поэтому все физически различные волновые векторы одной зоны лежат в пределах одной элементарной ячейки обратной решетки. При термодинамическом равновесии вклад в электронную плотность от электронов из -й зоны с волновыми векторами, принадлежащими бесконечно малому элементу объема к в /с-пространстве, дается обычным распределением Ферми [c.221]

Выбор способа описания электронных столкновений зависит от конкретного вида важнейших механизмов столкновений. Мы уже отмечали ) полную несостоятельность идеи Друде о столкновениях с отдельными ионами. Согласно теории Блоха, электрон в идеально периодической решетке совсем не испытывает столкновений. В приближении независимых электронов столкновения могут происходить лишь за счет отклонений от идеальной периодичности. Они делятся на два основных типа. [c.314]

Химики сказали бы о таком распределении заряда, что здесь имеются четыре углеродные связи. Однако с точки зрения теории Блоха это есть просто некоторое свойство заполненных электронных уровней, приводящее к тому, что плотность заряда [c.9]

Зная, что решение невозмущенного уравнения Шредингера имеет вид функций Блоха, и пользуясь методами теории возмущений, можно найти собственное значение энергии и собственные волновые функции уравнения (7.104). [c.236]

Сравнительное постоянство характеристической температуры в натрия (см. фиг. 26), вычисленной по формуле Блоха, можно на основании этой теории интерпретировать как свидетельство того, что среднее эффективное экранирование в этом металле является полным, и поэтому его свойства соответствуют модели свободных электронов. Падение в примерно на 50% в случае других металлов при низких температурах означает, что для них Ф 0,50, т. е. что радиус экранирования Ь сравним с постоянной решетки, которая приблизительно равна диаметру иона. Расчеты Мотта, проведенные на основе модели Томаса — Ферми, в предположении, что на каждый атом металла приходится один свободный электрон, приводят к соотношению [c.197]

Теория свободных электронов ). Излагаемая здесь теория электронной проводимости в твердых телах основана на работе Блоха [59], который рассмотрел задачу об электроне, движущемся в периодическом [c.256]

Рассмотрим теперь вопрос о поляризации фононов. Теория Блоха предполагает, что поперечные фононы но могут непосредственно взаимодействовать с электронами проводимости. Иногда предполагается, что электроны проводимости не влияют па ту часть решеточной теплопроводности, которая обусловлена поперечными волнами. В этом случае решеточная теплопроводность была бы почти столь жо волпка, как и в эквивалентном диэлектрике. Однако, если считать, что поперечные и продольные волны взаимодействуют посредством трехфононных процессов с сохранением волнового вектора, которые стремятся уравнять параметр т в формуле (7.5), то эффективные времена релаксации для продольных и поперечных волн соответственно равны [c.281]

В п. 15 было показано, что теория Блоха не согласуется с температурной зависимостью идеальной электронной теплопроводности и что это расхождение вызвано главным образом неучетом процессов переброса и дисперсии решеточных волн (хотя при низких температурах эти процессы и не дают вклада в величину однако о и существенны при определении х ). Таким образом, по-видимому, болёе правильно сравнивать We с низкотемпературным пределом х-, как это было сделано Клеменсом [72]. В этом случае сравниваются две величины, определяемые одинаковыми процессами, а также исключается влияние небольшого изменения С в зависимости от q. При сферической поверхности Ферми из формул (15.2) и (20.2) вытекает, что [c.282]

Эти результаты Пайерлс использовал при исследовании электропроводности при низких температурах. Электрическое поле стремится увеличить J с постоянной скоростью, и поскольку электрон-фононные взаимодействия сохраняют J, равновесие может быть достигнуто только за счет взаимодействия фононов между собой, при котором не сохраняется q, т. е. за счет того же взаимодействия, которое обусловливает тепловое сопротивление (п. 7). Таким образом, в стационарном состоянии Ь /= О, а " gp (время релаксации электронов, обусловленное взаимодействием с фононами), согласно (21.4), возрастает, превышая значение, вычисленное по теории Блоха. Если ад — проводимость, рассчитанная по теории Блоха в предположенип = 0, то, согласно (21.4), а равно [c.285]

Микроскопические теории. Теория Блоха, которая предполагает, что каждый электрон движется независимо в поле с периодическим потенциалом, обусловленным ионами и некоторой средней плотностью зарядов валентных электронов, дает хорошее качественное и в некоторых случаях количественное объяснение электрических свойств нормальных металлов, но оказывается не в состоянии объяснить сверхпроводимость. В большинстве попыток дать микроскопическую теорию сверхпроводимости учитывались взаимодействия, не входящие в теорию Блоха, а именно корреляция между положениями электронов, обусловленная кулоновским взаимодействием, магнитные взаимодействия между электронами и взаимодействия между электронами и фонопами. Хотя все эти взаимодействия, несомненно, должны учитываться полной Teopneii, изотопический эффект свидетельствует [c.752]

Адекватная математическая теория сверхпроводимости, основанная на электронно-фононном взаимодействии, еще не дана, поэтому основное внимание мы уделим формулировке задачи. Как Фрелих, так и автор исходили из теории Блоха, которая предполагает, что каждый электрон движется независимо в периодическом потенциальном ноле. Колебательные координаты и взаимодействие между электронами и колебаниями были введены точно так же, как это сделано в теории проводимости. Сила взаимодействия была оценена эмпирически по сопротивлению при высоких температурах. Существует два возражения против такой формулировки, заключающиеся в том, что кулоновское взаимодействие следовало бы ввести с самого начала и что смещения электронов, вызванные электронно-фононными взаимодействиями, оказывают сильное влияние на колебательные частоты, а также на эффективный матричный элемент взаимодействия. Существенная часть задачи состоит в том, что необходимо показать, как все это можпО было бы определить, исходя из основных принципов. Отправляясь от формулировки, включающей кулоновское взаимодействие между электронами, мы покажем, что обычная теория Блоха могла бы быть достаточно хорошей отправной точкой для развития теории сверхпроводггмости. Мы покажем также, почему электронио-фононное взаимодействие имеет большее влияние на волновые функции, чем кулоновское взаимодействие, хотя энергия первого и много меньше энергии второго. В п. 37—41 мы будем следовать изложению Пайнса п автора [19], [c.755]

Вывод гамильтониана. Чтобы сформулировать задачу расчета взаимодействия между электронами и фононами в металле, мы выведем здесь выражение для гамильтониана в форме, где с самого начала включено куло-новское взаимодействие между электронами и движениями ионов, но в то же время сделаны некоторые приближения для упрощения уравнений. Например, можно пренебречь анизотропией, которая, по-видимому, не очень существенна для проблемы сверхпроводимости. Предполагается, что колебания решетки можно разделить на продольные и поперечные и что электроны взаимодействуют только с продольными компонентами. Это приближение справедливо для волн с большой длиной волны, но неправильно для коротких волн (исключая некоторые напрапления распространения). Предположим также, как это часто делается в теории Блоха, что матричные элементы для электронно-фононного и кулоновского взаимодействий зависят лишь от разности волновых векторов в начальном и конечном состояниях. При вычислении кулоновских взаимодействий сделаны предположения, которые равнозначны рассмотрению валентных электронов как газа свободных электронов. [c.757]

Сплошной спектр соответствует при атом диссоциированному состоянию зкситона — электрону и дырке в свободном, не связанном состоянии, т. е. нахождению электрона в зоне проводимости. Может показаться, что приведенные рассуждения относительно энергетического спектра экситона противоречат положению, вытекающему из теории Блоха, согласно кото1р1ой между зоной лроводимости и валентной в идеальном кристалле не должно быть никаких разрешенных уровней энергии. Объясняется это противоречие тем, что в теории Блоха /МЫ имеем дело с невзаимодействующими между собой электронами (или дырками), тогда как введение экситонов представляет собой приближение более высокого порядка. [c.161]

Второй член в правой части формулы (1 ) характеризует часть сопротивления, зависящую от температуры по теории Блоха [8] должно быть п = 5. Этот теоретический результат получен при некоторых упрощающих предположениях и справедлив только для системы квазисвободного электронного газа в изотропной решетке и только при Г -> 0. При определении показателя степени п в формуле (1 ) по данным измерения удельного сопротивления р при температурах в несколько градусов Кельвина довольно важную роль играет остаточное удельное сопротивление р, делающее оценку п затруднительной в том случае, если металлы не подчиняются правилу Матиссена. На практике это ограничение имеет существенное значение. В случае щелочных металлов, для которых, согласно теории Блоха ( = 5), формула (1 ) должна выполняться, многочисленные измерения произведены Макдональдом и Мендельсоном [9], которые нашли следующие значения п = 4,85 для натрия в температурном интервале 8—20° К п = 4,56 для лития в интервале [c.190]

В результате (9.31) содержится утвержденпе, составляющее теорему Блоха. Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения функции плоской волны ехр(гй-г) на функцию иь(г), которая является периодической функцией в кристаллической решетке [c.321]

Тем не менее температурную зависимость проводимости при низких температурах можно установить с помощью довольно простых соображений. Более элегантная теория Блоха в ряде аспектов ненамного точнее рассуждений подобного типа [27]. Начнем с предположения, что при низких температурах также можно ввести некоторое время релаксации, хотя на самом деле это может быть и не так. В соответствии с этим запищем формулу для проводимости в виде [c.346]

Иногда теорему Блоха формулируют иначе собственные состояния оператора Н можно выбрать таким образом, чтобы с каждым из них был связан некоторый волновой вектор к и для любого В в решетке Р>равэ выполнялось (авенство ) [c.140]

Как и в случае свободных электронов, при рассмотрении проводимости, обусловленной блоховскими электронами ), возникают два вопроса а) Какова природа столкновений б) Как движутся блоховские электроны в промежутках между столкновениями Полуклассическая модель касается лишь второго вопроса, но теория Блоха критическим образом затрагивает и первый из них. Друде предполагал, что электроны сталкиваются с неподвижными тяжелыми ионами. Это нрэдположвпие несовместимо с очень большими длинами свободного пробега, возможными в металлах, и не позволяет объяснить наблюдаемую их зависимость от темперятуры (см. стр. 23). Теория Блоха исключает такое допущение и из теоретических соображений. Блоховские уровни — это стационарные решения уравнеиия Шредингера в присутствии полного периодического потенциала ионов. Когда электрон на уровне имеет отличную от нуля среднюю скорость (а это всегда так, если величина 5ё (к)/ 9к случайно не равна нулю), эта скорость сохраняется неограниченно долго ). Мы не можем рассматривать столкновения с неподвижными ионами как механизм, обусловливающий уменьшение скорости, поскольку взаимодействие электрона с фиксированной периодической решеткой ионов полностью учтено в исходном уравнении Шредингера, решением которого является блоховская волновая функция. Поэтому проводимость идеально периодического кристалла равна бесконечности. [c.218]

В настоящее время известно, что необычные свойства электронов проводимости являются следствием принципа Паули, действующего в металле это заставляет применять к электронам статистику Ферми—Дирака. Заслугой Зоммерфельда [6] является то, что он первый приложил этот принцип в теории перемещения электронов в металлах. Вскоре после работы Зоммерфельда появились работы Хаустопа [7,8] и Блоха [9 —11], в которых взаимодействие между электронами и решеткой рассматривалось с квантовомеханической точки зрения, после чего началось быстрое развитие современной теории металлов. Нужно, однако, отметить, что в период между работами Друде и Лоренца и появлением теории Зоммерфельда было предложено несколько новых теорий электронной проводимости, в которых, кроме вывода различных выражений для электропроводности, теплопроводности и вездесущего числа Лоренца, делались попытки объяснить другие явления. [c.155]

Дальнейшее развитие теории Зоммерфельда Хаустоном и Блохом. [c.160]

Задача, которая не была решена в работах Зомме])фельда и которую необходимо было решить для дальнейшего развития теории, заключалась в вычислении I — среднего свободного пробега электронов в процессе рассеяния на колебаниях решетки. Вначале Хаустои [7J пошел, по суш,еству, по пути В гна, предположив, что /1 изменяется пропорционально среднему квадрату амплитуды колебаний атомов. При этом он получил тот же результат р (7"/Ь) для Т > в и для Т с Н. Однако вскоре Хау-стон [8] и Блох [9] выяснили новые важные особенности процесса рассеяния. Оказалось, что акт рассеяния электроЕ1а колебаниями решетки, имеющими частоту V, может произойти только в том случае, если колебания решетки и электрон проводимости обменяются квантом энергии v. Таким образом, рассеяние )лектронов существенно неупруго, хотя при высоких температурах, когда кТ > Av, т. е. когда Т > О, его можно рассматривать как упругое, так как в этом случае обмен энергии сравнительно мал. Отсюда непосредствено следует, что при абсолютно.м нуле сопротивление, вызванное тепловыми колебаниями, должно исчезнуть, так как и электроны и решетка при понижении температуры быстро приходят в низшие энергетические состояния. Иными словами, нулевые колебания решетки не могут быть причиной появления сопротивления первоначально этот вывод вызывал некоторое сомнение. [c.160]

Теоретическое исследование температурной зависимости электрического сопротивления в значительной степени аналогично исследованию температурной зависимости теплоемкости, но отличается некоторыми дополнительными осложнениями. Для проведения такого исследования необходимы сведения не только о колебаниях решетки, но и о механизме взаимодействия между электронами и ионами, или, как говорят, о рассеянии электронов. Последний вопрос в свою очередь включает некоторые детали поведения самой совокупности электронов. Введенное Планком представление о нулевой энергии колебаний решетки не повлияло на теорию теплоемкости твердых тел много позже было выяснено, что нулевые колебания решетки не вносят вклад и в электрическое сопротивление металла (Блох, Хаустон и Зоммер-фельд). В настоящее время можно с полным основанием утверждать, что механизм электрического сопротивления, обусловленного колебаниями решетки, предложенный в работах периода 1927—1932 гг., в общих чертах был правилен (хотя этого нельзя сказать относительно некоторых вопросов в теории теплопроводности и термоэлектричества). Тем не менее оставалось много вопросов, в которых численное согласие расчетов с экспериментом и детальное понимание процессов были далеко недостаточными. Таким образом, хотя расчет теплоемкости простых твердых тел не вызывает сомнения, однако относительно электрического сопротивления простого металла этого сказать нельзя. [c.187]

Данные, приведенные в табл. 5, показывают, что среди щелочных металлов особое положение занимает натрий, у которого отношенне наблюдаемого сопротивления к вычисленному имеет самое низкое значение. (Калий находится на втором месте, но очень близок к натрию.) Этот результат можно рассматривать как доказательство того, что у натрия относительная энергия взаимодействия имеет минимальное значение. По-видимому, он свидетельствует также о том, что натрий лучше всех других металлов соответствует идеализированной модели свободных электронов . Бардин [97, 98] несколько улучшил модель рассеяния и показал, что результаты исследования натрия хорошо согласуются с развитой им теорией. Данные, относяш иеся к калию, находятся в удовлетворительном согласии с теорией, в то время как рубидий и цезий обладают сопротивлением, которое значительно превосходит теоретическое значение. Бардин учел тот факт, что когда поны смеш ены из своих положений равновесия упругими волнами, распространяющимися в решетке, то они создают при этом возмущенное распределение зарядов, которое в свою очередь вызывает рассеяние электронов проводимости aMif электроны проводимости имеют тенденцию группироваться таким образом, чтобы компенсировать нарушенное распределение зарядов. Это явление можно назвать динамическим экранированием. Конечно, и в статических условиях электроны имеют тенденцию экранировать заряды ионов, а с этой точки зрения модель Блоха соответствует но существу почти полному экранированию зарядов ионов. Действительно, ири полном отсутствии экранирования иона, рассматриваемого как точечный заряд, потенциальная энергия электрона вблизи него была бы равна—е 1г при наличии экранирования потенциальная энергия электрона убывает с расстоянием быстрее, а именно по закону—(е //-)й [48,37] (стр. 86). В модели Блоха подразумеваетс>], что ири этом получается формула (17.1). Из приближенной теории [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...