Интегральные уравнения и вариационные методы

Интегральные уравнения и вариационные методы [c.386]

В книге приводится приближенный метод расчета нестационарной теплопроводности для классических и неклассических тел, внутренних задач гидродинамики и теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубах и каналах с различной формой поперечного сечения. Предложен простой и эффективный метод расчета термоупругих напряжений прн переменных во времени температурных режимах внешней среды. Даны решения для системы уравнении взаимосвязанного тепломассопереноса, полученные путем совместного применения интегральных преобразований и вариационных методов. [c.136]

Целесообразность введения сосредоточенных сил объяснялась возникающими преимуществами при решении краевых задач. Однако это утверждение не распространяется в явном виде на решения, использующие численные методы (вариационные методы, методы интегральных уравнений и т. д.). Тем не менее возможен такой характер краевых условий (существенная величина напряжений на малом участке поверхности), что их достаточно точный учет в решении представляется затруднительным и, кроме того, по тем или иным причинам не требуется значение (с высокой степенью точности) решения в окрестности их задания. В этом случае также целесообразно перейти к решению с сосредоточенной силой, осуществив в дальнейшем суперпозицию с решением Буссинеска или с решениями, заранее полученными для какой-либо поверхности с теми же радиусами кривизны. [c.302]

НЕКОТОРЫЕ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЕ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.199]

Авторам неизвестны работы, в которых рассматривались бы динамические задачи для тел с трещинами, учитывающие возможность одностороннего контактного взаимодействия берегов. Исключение составляют лишь работы [104—107, 128—136, 138]. В список литературы включены работы, так или иначе связанные с основной темой монографии. Эту литературу можно условно классифицировать по следующим темам механика разрушения (в основном динамическая) динамическая теория упругости контактные задачи теории упругости и теории трещин вариационные принципы и теория вариационных неравенств интегральные уравнения и теория потенциала численные методы, метод граничных элементов литература математического характера. Каждая из упомянутых тем имеет обширную библиографию, часто насчитывающую тысячи источников, поэтому сделать достаточно полный обзор по каждой теме не представляется возможным. Цитируются в основном работы, близкие по теме или по математическим методам к нашим наследованиям, а также монографии и обзоры. [c.8]

Большое внимание уделено численным методам решения линейных и нелинейных задач механики деформирования упругих, упругопластических и вязкоупругих тел, численным методам решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также прямым вариационным методам. В учебнике изложены основные положения метода конечных элементов, что обеспечит лучшую подготовленность студентов к изучению курса строительной механики. Даются понятия о методе граничных элементов. [c.3]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

Рассмотрены данные о структуре и некоторых свойствах жидких и аморфных металлов модели, позволяющие описывать структуру и свойства этих объектов, статистическая теория структуры одно- н многокомпонентных жидкостей. Большое внимание уделено расчетам структуры и свойств с помощью ЭВМ, причем использованы методы интегральных уравнений статистической теории жидкостей, вариационные методы и прямое моделирование на ЭВМ. Обсуждены вопросы наиболее полного описания ближнего порядка в неупорядоченных системах, в частности с помощью учета угловых корреляций в расположении атомов. [c.36]

Следуя классификации, данной в работе [120], к методам решения нелинейных задач отнесем следуюш,ие аналитические и численные методы аналитические — вариационные, интегральные, методы взвешенных вычетов, метод итераций, методы сведения исследуемого уравнения к другим типам уравнений (в том числе метод подстановок, метод подобия и другие), численные — метод конечных разностей и метод прямых. [c.66]

В математической физике методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанные на сведении задач к решению системы алгебраических уравнений, принято называть прямыми методами. Прямые методы широко применяют непосредственно для построения приближенных решений задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, а также вариационных задач, к которым сводятся соответствующие задачи математической физики. [c.115]

Из решения интегрального уравнения (5.82) с приведенными выше значениями угловых коэффициентов находим распределение плотности потока эффективного излучения R(x) по цилиндрической поверхности. После того как это распределение получено, с помощью (5.106) рассчитывается распределение температуры. В работе [5] уравнение (5.82) решено методом экспоненциальной аппроксимации ядра, вариационным методом и численным интегрированием. В табл. 5.4 приведены результаты этих расчетов для безразмерной величины плотности потока эффективного излучения на стенке R x)/q при определенном значении q на стенках и нулевой температуре на концах полости. Результаты, полученные вариационным методом, лучше согласуются с численным решением, чем результаты, полученные с помощью экспоненциальной аппроксимации ядра. [c.220]

Методы граничных элементов (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР). применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам. [c.5]

Исследование законов квазистатического распространения трещин и определение коэффициентов интенсивности напряжений вдоль траекторий развивающихся трещин является исходным этапом [1, 66] в расчетах на прочность и долговечность пластинчатых элементов конструкций, подверженных воздействию внешних циклических нагрузок. Тем не менее к настоящему времени известно сравнительно небольшое число работ, посвященных определению траектории развития трещины в квазихрупком упругом теле. Среди них следует отметить работы, в которых расчет траекторий осуществляется с привлечением метода конечных элементов [10, 26, 160, 165], вариационных [46, 73] и аналитических 17, 119] подходов. Развитие общих методов решения двухмерных задач теории упругости для произвольных областей с гладкими и кусочно-гладкими криволинейными разрезами, в частности метода сингулярных интегральных уравнений, позволяет эффективно решать с их помощью указанные задачи о построении статических траекторий дифференциальным (поэтапным) способом 95, 102, 103, 125], когда на каждом этапе используется локальный критерий разрушения для определения направления приращения трещины у ее вершин. [c.41]

Заметим, что, взяв N однородных решений (5.49)-(5.53) и М неоднородных решений задачи (5.39), когда q x) = Т2 (ж)/у 1 — (п = = 1,...,М) (см. (5.76)-(5.78) и (5.81), (5.82)) и использовав метод Галеркина или вариационные принципы, получим простую и достаточно эффективную численную схему решения поставленной задачи. С другой стороны, решая интегральное уравнение (5.40), а затем выполняя условия (5.46) на боковой поверхности, можно без больших дополнительных затрат решать несколько задач для разных форм боковой поверхности при заданной постоянной Л одновременно. В данной работе нас в большей степени будет интересовать задача удовлетворения краевых условий на боковой поверхности Г, а последний подход позволяет применять численные методы нахождения наилучшего приближения, эффективность применения которых, в такого рода задачах, будет далее показана. [c.205]

В конце сборника помещено дополнение. В нем обсуждаются некоторые не нашедшие отражения в основном тексте аспекты практического применения рассматриваемого метода граничных интегральных уравнений [на примере задач гидродинамики несжимаемых идеальной и вязкой (в приближении Стокса) жидкостей и теории упругости] и рассматриваются численные методы решения, близкие к применяемым в сборнике (в частности, вариационные и вариационно-разностные методы). [c.7]

В то время как исследования, в которых используются интегральные уравнения для потенциала, были в большинстве своем направлены на выяснение теоретических вопросов, в прикладной математике пытались найти общие методы решения инженерных задач, исходя из решения дифференциальных уравнений. На этом пути был ряд крупных достижений, к которым относятся различные усовершенствования в методах бесконечных рядов и конечных разностей, приближенные методы вариационного исчисления и, наконец, метод конечных элементов, что привело к созданию мощных и общих численных методов прикладной механики. Метод конечных элементов является синтезом энергетических методов, представлений о конечных разностях и структурном моделировании при помощи вычислительных машин. [c.9]

В качестве примера применения вариационного метода рассмотрим решение задачи Крамерса (разд. 4 гл. VI) для БГК-модели [54] мы знаем, что данную задачу можно решить точно, но теперь игнорируем это обстоятельство. Если следовать методу, изложенному в разд. 12 гл. IV, то возмущение функции распределения можно выразить через единственный момент, а именно через <г-компоненту массовой скорости, V2> x). Дело в том, что плотность, температура и оставшиеся компоненты скорости остаются невозмущенными при линеаризованной постановке задачи (как нам известно из процедуры разбиения, использованной в гл. VI). Следовательно, можно записать интегральное уравнение для из, взяв соответствующий момент от [c.396]

Моментные методы использовались широко, но для около-свободномолекулярных течений их точность невысока. Это связано с тем, что аналитическое поведение при 6->0 не воспроизводится с достаточной точностью моментными методами. В самом деле, как известно (разд. 9 гл. V), в точные аналитические выражения для скорости и напряжения сдвига входят логарифмические члены, в то время как моментные методы имеют дело лишь с рациональными функциями (те же возражения относятся, конечно, и к вариационному решению, приводящему к (5.9), но не к вариационному решению интегрального уравнения). В простейшем варианте метод приводит к следующей формуле для напряжения сдвига [c.406]

Приведены методы, применяемые в теории дифракции, классифицируются задачи, решаемые этими методами. Указаны книги и оригинальные работы, в которых можно подробнее ознакомиться с данным методом. Методы изложены на конкретных примерах, Во внутренних задачах применены метод собственных функций, метод интегральных преобразований, вариационные методы, интегральные уравнения во внешних задачах — методы собственных функций и интегральных преобразований, интегральные уравнения, асимптотические методы, в том числе лучевые, метод фазовых интегралов (метод ВКВ) и метод эталонных уравнений. Рассмотрены методы синтеза антенн, [c.270]

Положение существенно изменилось в настоящее время. Теперь теорию трехмерных задач можно построить различными средствами укажем две из подобных возможностей. С одной стороны, — это современная теория обобщенных решений дифференциальных уравнений (методы гильбертовых пространств, вариационные методы), с другой, — теория многомерных сингулярных потенциалов и сингулярных интегральных уравнений. [c.9]

Для решения задач теории оболочек широко используют и совершенствуют целый арсенал имеющихся математических методов и приемов вариационные и прямые методы математической физики [20, 21, 25, 29], интегральные уравнения (в том числе и сингулярные) [20, [c.652]

К настояш,ему времени имеется довольно большой спектр аналитических и полуаналитических методов решения рассматриваемых в этом параграфе задач [3,4,11,12]. Среди них наибольшее распространение получили такие методы, как метод однородных решений [1, 5, 14, 57, 59, 60], метод сведения парных рядов-уравнений к интегральным уравнениям [44, 45], метод сведения парных рядов-уравнений и интегральных зфавнений с сумматорными ядрами к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей [2, 13, 25, 60], метод кусочно-однородных решений [41], метод сечений [26], вариационные методы [19-22, 24] и др. [c.157]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Систематически излагается термодинамика и статистическая теория миогочастичных райиовесных систем. В основу статистической физики равновесных идеальных и неидеальных систем положены метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. Излагается классическая и квантовая теория газа, твердого тела, равновесного излучения, статистическая теория плазмы и равновесных флуктуаций. Обсуждаются методологические вопросы курса, В книге рассматриваются также некоторые новые вопросы, еще не вошедшие в программу теория критических индексов, вариационный принцип Боголюбова, термодинамическая теория возмущений, интегральные уравнения для функций распределения (уравнение самосогласованного поля,, интегральное уравнение Боголюбова—Борна—Грина, уравнение Перкуса— Иевика). [c.2]

При расчетах напряжений и деформаций в конструк1щях ВВЭР широкое применение находят методы теории оболочек и пластин, аналитические методы решения краевых задач в зонах концентрации напряжений, а также численные методы решения с применением ЭВМ (методы конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностные и граничных интегральных уравнений). Эффективность применения численных методов резко увеличивается, когда решаются задачи анализа термомеханической на-груженности сложных по конструкции узлов ВВЭР (плакированные корпуса и патрубки, элементы разъема, контактные задачи с переменными граничными условиями, элементы главного циркуляционного контура при сейсмических воздействиях). [c.8]

К числу эффективных методов анализа напряженно-деформированных состояний в элементах реакторов относятся численные методы - метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностный метод (ВРМ), метод граничных интегральных уравнений ( ГИУ), получившие значительное развитие в последнее десятилетие благодаря их повьпиенной универсальности и появлению ЭВМ с большими быстродействием и памятью. Конечноразностный метод получил применение при определении термоупругих напряжений в зонах патрубков реакторов водо-водяного типа [10, 12]. [c.35]

Численное моделирование нагруженности. Численное моделирование рассмотренньк вьпне условий эксплуатации АЭС, термомеханической и динамической нагруженности ее оборудования заключается в последовательном решении краевых задач гидродинамики и теплопереноса (3.26)-(3.34), несвязанных неизотермических динамических в общем случае краевых задач термоупругости или термопластичности. Последние в зависимости от используемых методов решения могут быть представлены в локальной форме в виде дифференциальньк уравнений, в вариационной или интегральной форме. [c.97]

Доклады, помещенные в первых двух частях, посвящены аналитическим и численным методам решения задач тепло- и массообмена. В нескольких из них рассмотрены отдельные математические проблемы теории, в частности вопросы разрешимости краевых задач теплЬ- и массообмена, единственности их решения, теории интегральных преобразований и т. д. Вопросы, представляющие интерес для развития и расширения математического аппарата теории, затронуты и в ряде других докладов, в которых рассматриваются конкретные процессы и явления в физических системах (применение дуальных интегральных уравнений, асимптотические методы решения некоторых сингулярных интегральных уравнений, вариационные методы, метод конформных отображений,. математическая теория регулярного теплового режима и т. п.). [c.3]

В большинстве работ, посвященных теории больших прогибов, рассматриваются оболочки и пластинки постоянной толщины при упругих деформациях. В этих работах использованы вариационные методы (метод Бубнова—Галеркина, метод Ритца и др.) [76, 80, 1б4]. Для решения при нагрузках различного вида и граничных условиях необходим большой объем вычислений. Разложение функции прогиба в ряд и удержание ограниченного числа членов приводит к потере точности. Для расчета пологой оболочки переменной толщины при произвольной осесимметричной нагрузке следует применять численные методы. В настоящем параграфе алгоритм расчета строится на методе интегральных уравнений. Параметры упругости полагаются переменными, что позволяет в дальнейшем использовать это решение для рассмотрения упругопластического состояния материала диска. [c.40]

Некоторые авторы, прежде всего Плезет, Цвик и Зубр, рассматривали асимптотический рост и разрушение парового пузыря при кипении недогретой жидкости, считая такой рост и разрушение двумя отдельными процессами. На основе энергетических соображений и отправных предпосылок модели парового пузыря по Плезету и Цвику нам удалось вывести интегральное уравнение траектории поверхности раздела жидкость — пар в процессе роста и разрушения парового пузыря. Из этого интегрального уравнения находится простая зависимость как для асимптотического роста, так и для процесса разрушения, если отметить существование стационарной точки в момент разрушения и воспользоваться методами вариационного исчисления для отыскания траектории рост — разрушение. [c.410]

Поэтому авторы решили ограничить рассмотрение алгебраическшми и трансцендентными уравнениями. При зтом имелось в виду, что обобщения сами по себе обычно не приводят к новьш результатам, а также то, что численная реализация решения дифференциальных и интегральных уравнений, как правило, связана с их сведением к алгебраическим и трансцендентным с помощью вариационных, разностных и щ)угих методов. Специальная форма обо цения результатов на одномерные нелинейные краевые задачи рассмотрена в гл. 3. Эта форма с оцественно использует. ортогональную прогонку для решения пошаговых линеаризованных краевых задач. [c.11]

Другая теорема такого же характера гласит, что если потенциальная энергия при той же конфигурации уменьшается, а кинетическая остается неизменной, то периоды всех свободных колебаний возрастают, и наоборот. Результаты подобного рода, как и сама теорема стационарности, строго говоря, доказаны Рэйли только для конечного числа степеней свободы и для малых изменений соответствующих параметров, но он пользуется ими в общем случае и основывает на них способ приближенного вычисления собственных периодов или частот. Только значительно позже, почти через полвека, успехи в разработке вариационных методов и созданная в начале XX в. теория интегральных уравнений были использованы для строгого доказательства этих положений. [c.279]

В большинстве работ краевые и начально-краевые задачи теории упругости и математической физики сводятся к интегральным уравнениям или к системам интегральных уравнений, для решения которых развит достаточно широкий круг как численных методов (вариационно-разностный [13, 45, 46], граничных элементов [31, 41], коллокаций [41] и др.), так и аналитических и полуаналитических методов (асимптотические [27], ортогональных многочленов [101, 102], комплексных потенциалов [17, 18, 52, 55] и др.). [c.3]

В последнее время, в связи с бурным развитием вычислительной техники многие исследователи отдают предпочтение численным методам, поскольку они обладают определенной универсальностью и легко поддаются алгоритмизации и реализации на различных языках программирования. Однако при исследовании дигнамики контактного взаимодействия структурно-неоднородных, в том числе многослойных сред, непосредственное использование прямых численных методов (вариационно-разно стный, коллокаций, граничных элементов и т.д.) в значительной мере осложнено осцилляцией ядра интегрального оператора. Это обусловливает необходимость разработки специальных, приспособленных для решения интегральных уравнений с осциллирующими ядрами методов. [c.4]

Применимость вариационного метода, как разъяснялось выше, до некоторой степени ограничивается двумя обстоятельствами нам нуяшо выбрать подходящую функцию распределения и к тому я е удовлетворяющую заданным граничным условиям. В такой ситуации мы моя ем либо сделать плохой выбор, либо найти очень сложные пробные функции. Преимущества вариационного метода намного увеличиваются, если мы используем его для модельного кинетического уравнения, записанного в интегральной форме. Действительно, если используются модельные кинетические уравнения, записанные в интегральной форме, то выбор конечного числа моментов предполагает выбор функции распределения. [c.226]

Вариационный метод и метод интегральных уравнений позволили решить эту задачу также для широкого круга гладких дуг (см. М. А. Лаврентьев [2] н Биркгоф и Сарантонелло [4]). [c.185]

Лопасть рабочего колеса гидротурбины представляет собой слабоизогнутую пластину переменной толщины, имеющую в плане форму части кругового кольца, закрепленного по внутреннему дуговому краю на участке сопряжения с фланцем. Расчет напряжений в лопасти, вызываемых прилагаемым давлением, представляет трудную задачу вследствие сложности исходных дифференциальных уравнений и краевых условий 15]. До настоящего времени отсутствует точное решение этой задачи и более эффективными являются приближенные расчеты напряжений, основанные на вариационном методе и приближенном решении интегральных уравнений [7], [И]. Но и эти методы сопряжены с трудоемкими вычислениями и их применение в инженерной практике затруднительно. Поэтому особенно важны экспериментальные исследования напряженного состояния лопасти. [c.437]

В. М. Александровым, Ю. Н. Пошовкиным [24] и Н. В. Генераловой, Е. В. Коваленко [32] решены соответственно плоская и пространственная контактные задачи о вдавливании без трения полосового в плане штампа в поверхность линейно-деформируемого основания, армированную тонким упругим покрытием переменной толщины, жесткость которого соизмерима или меньше жесткости основного упругого тела. Обе задачи сведены к исследованию интегрального уравнения Фредгольма второго рода с коэффициентом при старшем члене, являющимся достаточно произвольной функцией поперечной координаты. Для его решения в первом случае использовался метод сплайн-функций в сочетании с методом ортогональных многочленов, когда толщина покрытия постоянна. Во втором варианте применялся проекционный метод Бубнова-Г алеркина с выбором в качестве координатных элементов систем ортогональных полиномов или дельтаобразных функций (вариационно-разностный метод), а также алгоритм сращиваемых асимптотических разложений, когда упомянутый выше коэффициент мал. Доказано, что неравномерность толщины покрытия существенно влияет на закон распределения контактных давлений. [c.463]

В опубликованных за последние 20 лет статьях по динамике полета аэропланов и ракет методы вариационного исчисления нашли широкую область приложений- При помощи вариационного исчисления мы выявляем такие классы движений, при реализации которых некоторые интегральные характеристики будут наилучшими (например, время полета до цели — минимально дальность полета при заданном запасе топлива — максимальна). Более того, в ряде нелинейных динамических задач методы вариационного исчисления позволяют получить простые аналитические зависимости ( опорные решения), так как для оптимальных режимов полета уравнения движения интегрируются в конечном виде. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач допускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и играют в задачах динамики ракет и самолетов роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики [25]. [c.15]

Обобщенные соотношения Стефана-Максвелла (учитывающие термодиффузию и влияние внешних массовых сил) методами кинетической теории одноатомных газов были получены в книге Гиршфельдер и др., 1961) в рамках учета первого приближения теории Чепмена-Энскога для многокомпонентных коэффициентов диффузии J и второго приближения для коэффициентов термодиффузии (т.е. когда в вариационном представлении интегральных уравнений, определяющих первую итерацию Чепмена-Энскога, использовалась пробная функция, содержащая единственный полином Сонина-Лаггера) в виде [c.98]

Другой метод с использованием интегральных уравнений, по-видимому, впервые рассматривался Рэлеем [61. Некоторые задачи (простейшие из них относятся к полуплоскости) приводят к таким интегральным уравнениям, которые можно точно решить методом, развитым Винером и Хопфом ). Его использование Копсопом [81, Швннгером и другими, дало ряд новых решений в замкнутой форме [9—11] (более подробная библиография указана в [12, 131). В этой связи следует упомянуть также о мощном, хотя и несколько сложном вариационном методе, которым можно воспользоваться при расчете энергии, дифрагирующей через отверстие [141. [c.514]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...