Граничные условия переменных

Задачи при граничном условии, переменном во времени, решаются методом Дюамеля. См. Карслоу [1], 9. [c.145]

Другие детали. Все другие детали, рассмотренные в 2.4 и 2.5, напрямую применимы и к нестационарной задаче. Поэтому представление граничных условий, переменной теплопроводности, решение алгебраических уравнений и другие операции проводятся аналогично. [c.61]

Рассмотрим довольно сложную ситуацию. Задача разработана для иллюстрации таких особенностей, как различные граничные условия, переменная теплопроводность и непостоянный источниковый член (рис. 8.2). Численные значения и соотношения для свойств материала заданы следующими [c.131]

Основные положения метода конечных разностей. Рассмотрим уравнение (4.17). Пусть XeR (R — ограниченная область изменения независимых переменных), заданы граничные условия. [c.160]

Системы уравнений (5.14), (5.15) или (5.15), (5.16) при сформулированных граничных условиях можно решить в аналитической форме методом разделения переменных. Например, при граничных уеловиях [c.99]

Оценить влияние параметров Ре, на корни этого уравнения и решение всей задачи при переменных значениях зависящих от граничных условий, в общем случае затруднительно. Поэтому, в первую очередь, остановимся на ряде частных случаев исследуемого процесса, когда корни последнего уравнения удается выразить в простом виде. Все эти частные случаи позволяют упростить уравнение (5.17). [c.100]

Решение при однородном граничном условии (5.39) может быть получено методом разделения переменных i 2 ( , f) = v ( )i//(S), причем для определения функций 1 (П и ф( ) применимы уравнения (5.17) и (5.18), а первое из них в рассматриваемом частном случае д = в приведет к (5.21). [c.104]

Используя решение приближенных уравнений (4. 5. 5) в виде (4. 5. 6) и определение переменных х, у, Т (4. 5. 7), сформулируем граничные условия к уравнениям (4.. 5. 9), (4. 5. 10) [c.152]

Решение уравнения (5. 5. 3) с граничными условиями (5. 5. 7) — (5. 5. 8), полученное при помощи метода разделения переменных, запишем в виде [c.217]

Переходя в уравнении (6. 2. 13) и условии (6. 2. 15) к новым переменным и подставляя в полученное уравнение разложение (6. 2. 24), получим для нулевого приближения Фд уравнение с граничным условием на бесконечности [c.247]

Можно показать, что в рамках этих предположений массоперенос в диффузионном пограничном слое вблизи задней поверхности пузырька также описывается уравнением (6. 4. 11), где для переменных у, л следует использовать выражения (6. 4. 31). Сформулируем граничные условия к этим уравнениям. Для удобства значения концентрации целевого компонента в различных пограничных с.лоях будем помечать индексом, обозначающим номер зоны на рис. 80. Для диффузионного пограничного слоя вблизи задней поверхности пузырька (зона V) граничные условия имеют вид [c.262]

Система уравнений (9. 1. 1), (9. 1. 2) с граничными условиями на бесконечности (9. 1. 3), (9. 1. 4) и на поверхности пленки (9. 1. 7) в безразмерных переменных (9. 1. 19), (9. 1. 20) преобразуется к виду [c.336]

Последнее граничное условие из (4.46) позволяет решать уравнения (4.44) и (4.45) методом разде.ления переменных, т. е. представляя [c.173]

Уравнения динамики в совокупности представляют (jV+1) уравнений связи между (2Л/-(-2) физическими переменными (токи, напряжения катушек, частота вращения и момент ротора). Следовательно, для решения этих уравнений кроме граничных условий необходимо задать также поведение (Л +1) переменных. В качестве заданных принципиально можно выбрать любые из физических переменных. Однако считая, что напряжения катушек и момент на валу являются внешними силами, действующими на обобщенную модель, и для большей определенности будем предполагать, что заданными являются функции п=1,, Ы, M(t). Задавая также постоянные коэффициенты и параметры, а также начальные условия, можно получить однозначное решение уравнений динамики относительно токов и частоты вращения. [c.64]

Заметим, что в большинстве практически важных задач Р можно задать лишь в виде функций пространственных координат, следовательно, при использовании переменных Лагранжа для решения таких задач в правой части условия (1.160) будут содержаться производные от вектора перемещений, заранее неизвестных вид этой зависимости можно конкретизировать, если задать форму начальной границы (в момент времени t = tn) So, очевидно, что динамическое граничное условие можно записать и через компоненты тензора Пиола — Кирхгоффа [c.34]

Отметим, что естественной переменной для дальней области является не сама радиальная координата г, а произведение р = rR. При введении этой переменной из уравнения (20,20) выпадает число R — в соответствии с тем, что при 1/R вязкие и инерционные члены в уравнении сравниваются по порядку величины. Число R входит при этом в решение только через граничное условие сшивки с решением в ближней области. Поэтому разложение функции v(r) в дальней области является разложением по степеням R при заданных значениях произведения р = rR действительно, вторые члены в (20,24), будучи выражены через р, содержат множитель R. [c.97]

Начальные функции определяют из граничных условий на плоскостях (линиях) г=0(у=0) и z=h y=h) из системы трех (двух) линейных дифференциальных уравнений по переменным х, у х). Порядок этих уравнений зависит от числа членов разложения по степеням z y), удерживаемых для дифференциальных операторов L общего линейного преобразования (1.22). [c.16]

Здесь Л и В — постоянные коэффициенты, подлежащие определению U x), V (г/) — функции, зависящие каждая только от одного переменного, указанного в скобках, и выбираемые заранее так, чтобы удовлетворялись заданные относительно функции напряжений ф граничные условия, с учетом того, что [c.27]

Х х), Y(у) — функции, зависящие также только от одного переменного и выбираемого заранее так, чтобы удовлетворялись граничные условия, заданные на краях прямоугольного контура относительно функции перемещений w. [c.27]

Рассмотрим продольное обтекание плоской непроницаемой пластины потоком несжимаемой жидкости с постоянным значением коэффициента вязкости при отсутствии теплообмена. В этом случае duo/dx = 0, Р = О, УУ=1, Ло = О, а уравнения движения (31) и энергии (32) становятся независимыми, причем уравнение энергии (32) имеет тривиальное решение g = , т. е. температура сохраняется постоянной в пограничном слое. Так как граничные условия и коэффициенты в левой части уравнения (31) не зависят от то существует автомодельное решение /(ri), зависящее лишь от переменной ri, [c.291]

Чтобы использовать конформное отображение (6.116) при решении основных задач и вообще задач плоской теории упругости, преобразуем граничные условия (6.109), (6.111) к переменному [c.133]

В гл. 12, 13 мы рассмотрели микроканоническое, каноническое и большое каноническое распределения Гиббса, соответствующие различным способам выделения системы (различным граничным условиям) и наборам переменных, описывающих состояние системы Е, V, N Т, V, N и Т,. у, (j,y. Значения этих параметров для каждого данного распределения фиксированы и входят в него в качестве параметров. Поэтому их флуктуации в рамках этого распределения равны нулю. Сопряженные этим параметрам динамические величины испытывают флуктуации. [c.293]

Введем новую переменную Т = t — Тогда уравнение (3.53) и граничные условия перепишутся в виде [c.287]

Значение постоянной разделения переменных найдем из граничного условия. [c.295]

Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одну и ту же задачу, не разрешимую в произвольно выбранной системе, можно решить, если выбрать подходящую специальную систему координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но наиболее широко используемыми разделами математики являются обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.23]

Рассмотрим частный случай течения в тонком слое. Пусть обе поверхности неподвижны и течение происходит только под действием перепада давления в слое переменной толщины h (х, г). Тогда граничные условия будут иметь вид = О при [c.307]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

Рассмотрим метод конечных разностей применительно к охлаждению однородной плоской стенки в юреде с пастоянной температурой и постоянными коэффициентами теплоотдачи на ее поверхностях (в общем случае неодинаковыми). Метод пригоден и для случая, когда граничные условия (переменны во времени. [c.105]

Здесь Jm — функция Бесселя первого рода порядка т, где m2 — константа разделения по переменной 0, qmn — волновое число, равное kmn + iomn для моды тп. Постоянные Атп и Втп определяют амплитуду фт , которая задана распределением смещения г, 0) поверхности излучателя. Хтп является еще одной действительной постоянной, характеризующей моду тп и получающейся из граничного условия, по которому нормальная к поверхности компонента скорости равна нулю на стенках канала [c.108]

Отсюда следует, что последней величиной (а следовательно, и нелинейными конвективными членами) можно пренебречь по сравнению с и при более слабых, чем (5.8.7), ограничениях, а именно при WiAr <С 1, что всегда выполняется при выполнении (5.8.2). Таким образом, при переходе к безразмерной переменной Tj r a t) фиксируется граничное условие на поверхности пузырька (г = 1) и за счет появления дополнительного члена [c.298]

Граничные условия (5.68)...(5.70), (5 7), (5.12) для общего решения (5.71) и его отдельных составляющих запишем соответственно в графах а , б , в табл. 5.2. Разделение общего решения на две составляющие позволяет вьщелить для однородное граничное условие (5.76 в) на боковой поверхности вставки и в итоге получить аналитическое рещение методом разделения переменных. [c.112]

По поводу последнего условия необходимо сделать следующее замечание. Если рассматриваемое течение является изэнтропическим, то вместо дифференциальной связи (2.11) с граничными условиями (2.12) можно использовать одно изопериметрическое условие (2.7). о показывает, что соответствующий множитель Лагранжа Л2 будет постоянен, а его величина определяется из условия (2.7). В этом случае равенство (2.23) является условием трансверсальности. Если же течение неизэнтропично, то величина Л2 переменна, а равенство (2.23) можно рассматривать как граничное условие для Xj. Последнее означает, что условие (2.23) выполняется на всех функциях сравнения. Это различие в смысле равенства (2.23) при изэнтропических и неизэнтропических течениях несущественно при рассмотрении необходимых условий экстремума, но оно должно быть использовано при выводе необходимых условий минимума. [c.72]

Независимыми переменными задачи будут Xi, Х2, в случае, когда граница одного из тел плоская, придем к граничным условиям, построенным в предыдущей задаче. В рассматриваемой здесь задаче граничные условия сносятся на плоскость Oxix и из полученных выше результатов вытекает, что эти условия представляют собой первое приближение по перемещениям точек границы и величине начального зазора. [c.297]

Фактически искомое решение уравнений движения относится лишь к области г позади ударной волиы, и к достаточно малым временам t (при которых R <С Ro). Но формально получаемое решение охватывает все пространство r R — от поверхности разрыва до бесконечности, и все времена t 0 при этом переменная I пробегает все значения от 1 до оо. Соответственно, граничные условия для функций G, V, Z должны быть поставлены при = 1 и g = оо. [c.564]

При Ki oo функции этого параметра в (127,5—6) стремятся к постоянным пределам. Это утверждение является следствием существования предельного (при Mi->oo) режима обтекания, свойства которого в существенной области течения не зависят от М (С. В. Валландер, 1947 К- Oswatits h, 1951). Под существенной подразумевается область течения между передней, наиболее интенсивной, частью головной ударной волны и поверхностью обтекаемого тела, не слишком далеко от его передней части (подчеркнем, что именно эта область, с наибольшим давлением, определяет действующие на тело силы). Если описывать течение приведенными скоростью v/u], давлением P/P 0f и плотностью р/р как функциями безразмерных координат, то картина обтекания тела заданной формы в указанной области оказывается в пределе независящей от М]. Дело в том, что, будучи выраженными через эти переменные, оказываются независящими от М] не только гидродинамические уравнения и граничные условия на поверхности обтекаемого тела, но и все условия на поверхности ударной волны. Ограничение области движения существенной частью связано с тем, что пренебрегаемые в последних условиях величины — относительного порядка i/m 51п ф, где ф —угол между Vi и поверхностью [c.660]

При постановке краевых задач температура на забое нагне -тательной скважины (галереи) считалась СОпа . Для по. 1учения решения, удовлетворяиаего переменному во времени граничному условию на забое нагнетательной скважины (галереи), достаточно воспользоваться интегралом Дюамеля 56 . [c.18]

Пискунов П. С. fVII.4], т. I, гл. XII, 3), разделим переменные и проинтегрируем при граничном условии г/ (0)=0 [c.436]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени при неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при 1- о° нестационарного-решения при стационарных (не зависяш их от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

Любое из этих уравнений должно решаться при определенных граничных условиях. Последние ввиду изломанности подземного контура напорных гидросооружений крайне осложняют определение потенциала скорости Ф или функции тока Ф в отличие от рассмотренных выше простых случаев потенциального движения. При этом для решения таких вопросов приходится прибегать к некоторому специальному математическому аппарату теории фу икций комплексного переменного, конформным отображениям и др. [c.323]

В последнем случае нужно, построив эквипотенциальные линии, переменить места шин, сделав водопроницаемые контуры исследуемой области водонепроипцаемыми, а водонепроницаемые — водопроницаемыми. Полученные при новых граничных условиях линии равных потенциалов будут перпендикулярны ранее построенным и, следовательно, дадут линии тока исследуе.мой области. [c.328]

В некоторых задачах (кручение и изгиб авиационных профилей и др.) эффективен своеобразный смешанный метод, разработанный Л. С. Лейбензоном, М. Канторовичем и др Он состоит в том, что искомые функции представляют в виде произведения двух функций, из которых одна известная, причем подбираемая так, чтобы частично удовлетворить граничные условия другая же функция неизвестная, зависящая от меньшего числа переменных, и ее следует определять при помощи вариационного уравнения. [c.66]

Сначала рассмотрим двухслойную модель, т.е. уравнения (3.7) и (3.9), причем для уравнения (3.9) граничные условия примем при у = Л (у = 1). Распределение скоростей в вязком подслое описывается уравнением (2.21). Однако, поскольку толщина вязкого подслоя существенно меньше радиуса потока, то, согласно современным представлениям /135, 144, 222, 261/, в пределах вязкого подслоя распределение скоростей линеаризуется, т.е. касательное напряжение считается постоянным и равным касательному напряжению на стенке трубы. Это условие при приближенных расчетах, которые присущи полуэмпирическим теориям пристенной турбулентности, особого влияния на конечные резулыаты не оказывает, тем более что и в основном турбулентном потоке касательное напряжение нередко принимается постоянным. В действительности, как следует из уравнения равновесия сил, действующих на выделенный объем потока, касательное напряжение является величиной переменной и подчиняется линейному закону. Ф. Г. Галимзянов /33 - 56/ использовал линейный закон распределения скоростей в пределах вязкого подслоя. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...