Уравнение самосогласованного поля

Уравнение самосогласованного поля [c.287]

Подставляя (16.3) в (16.1), получим замкнутое нелинейное интегральное уравнение самосогласованного поля (с исключенным самовоздействием) для одночастичной функции распределения кристалла [c.288]

Метод статических концентрационных волн решения уравнений самосогласованного поля в теории упорядочения [c.176]

Уравнение самосогласованного поля. Бесстолкновительная плазма [c.496]

Показать, что в равновесном состоянии уравнение самосогласованного поля может быть приведено к виду [c.498]

Поэтому система уравнений самосогласованного поля сводится к уравнениям [c.104]

Рассматривается сферически симметричный случай. При этом электростатический потенциал, характеризующий взаимодействие облака электронов с заряженной частицей, для случая термодинамического равновесия определяется из уравнения самосогласованного поля [c.154]

Численным методом получено решение уравнения самосогласованного поля, образующегося около частиц термически эмитирующих электроны для двух случаев одна частица в центре сферы и две частицы в цилиндре. На основе этих решений вычислена плотность электронов в изотермических дисперсных гетерогенных системах. [c.207]

Усредним теперь уравнение (6.6) согласно правилу (6.7), сделав при этом предположение, что падающее на /-й пузырек поле р (г) не зависит от координат /-го рассеивателя г . Если при этом окажется вдобавок, что рассеяние на каждом из пузырьков мало, то среднее падающее поле вблизи любого из N пузырьков можно заменить на приближенно равное ему полное среднее поле р(г). Оценка справедливости этих предположений будет приведена ниже. После подобных замечаний и соответствующих операций получаем сразу уравнение Дайсона для среднего поля, или так называемое уравнение самосогласованного поля [c.163]

Обобщение уравнений самосогласованного поля, позволяющее учесть так называемый обмен . [c.331]

Уравнения (38.5) и (38.8) соответственно для и сходны с теми, которые выведены методом самосогласованного поля Хартри, а также с уравнением, выведенным путем канонического преобразования (см. ниже). [c.761]

Подставляя (7.67) в (7.65), получим с учетом (7.69) кинетическое уравнение для электронов плазмы в приближении самосогласованного поля — кинетическое уравнение Власова [c.129]

Анализ работы лазера обычно проводится в полуклассическом приближении. Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла, а поляризация среды, определяющая отрицательное нелинейное сопротивление, описывается на квантовом языке Амплитуды и фазы колебаний, генерируемых лазером, можно найти методом самосогласованного поля. Электромагнитное поле, воздействуя на активную среду, создает в ней поляризацию < (г, I). В свою очередь поляризация является источником электромагнитного поля. Необходимо отметить, что поляризация среды зависит не от мгновенного значения напряженности электромагнитного поля, а от его амплитуды. Поэтому лазер представляет собой автоколебательную систему с инерционной нелинейностью (см. 5.6). [c.360]

Др. условием, связывающим п(г)н У (г), является Пуассона уравнение для самосогласованного поля К(г) [c.123]

Величины а и Ае не являются независимыми. Кроме того, поскольку Ае прямо связано с флюктуациями числа частиц в рассматриваемом объеме, то характер пульсаций Ае определяется статистическими свойствами системы частиц и, следовательно, Ае является некоторым функционалом от /. Таким образом, а и также функционально зависят от /, и уравнение (1.5) является аналогом кинетических уравнений теории самосогласованных полей [8]. Уравнение (2.4) показывает, что в общем случае имеет место резко выраженная анизотропия статистических характеристик v( ). В случае изотропного состояния G = q = w = 0 и [c.441]

В 89 мы рассматривали кинетическое уравнение для плазмы в приближении самосогласованного поля без учета столкновений между частицами. В этом параграфе мы перейдем к рассмотрению эффектов, вызванных столкновениями между частицами, и в результате преобразования интеграла столкновений в уравнении Больцмана мы получим кинетическое уравнение для плазмы (Ландау [44]). [c.515]

Особый интерес представляет недавно высказанная американскими учеными идея теоретически обоснованного кроссовера [240], которая, по их мнению, позволит сшить уравнение, справедливое в области самосогласованного поля, с асимптотическим уравнением состояния. Возможно, что на этой основе будет сформулирована и решена задача построения единого уравнения состояния для индивидуальных веш,еств, описывающего их свойства от идеального газа до кривой плавления, включая критическую область. [c.159]

Рассмотрим теперь несколько простых кинетических уравнений, которые могут быть выведены из уравнения (3.4.21). Если пренебречь интегралом столкновений, то получим кинетическое уравнение Власова [12] для бесстолкновительной плазмы. В этом приближении взаимодействие между частицами описывается самосогласованным полем Е. [c.219]

Уравнение Власова до сих пор широко используется в физике плазмы. С его помощью естественным образом можно учесть и магнитные эффекты, если ввести самосогласованные поля Е и В, удовлетворяющие системе уравнений Максвелла. С основными свойствами уравнения Власова и его приложениями можно ознакомиться, например, по книгам [55, 74]. [c.220]

Член (4тг/А ) (k,a ) возникает из-за внутреннего самосогласованного поля в уравнении (4.1.74). Мы записали его в более простом виде с помощью соотношения (4.1.68). [c.262]

Как мы видим, двухчастичная матрица плотности (4.2.25) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое после подстановки в (4.2.13) приводит к члену, связанному с самосогласованным полем. Очевидно, что для разреженного газа этим членом можно пренебречь. Второе слагаемое в (4.2.25) определяет интеграл столкновений. Таким образом, мы приходим к кинетическому уравнению для одночастичной матрицы плотности [c.270]

Систематически излагается термодинамика и статистическая теория миогочастичных райиовесных систем. В основу статистической физики равновесных идеальных и неидеальных систем положены метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. Излагается классическая и квантовая теория газа, твердого тела, равновесного излучения, статистическая теория плазмы и равновесных флуктуаций. Обсуждаются методологические вопросы курса, В книге рассматриваются также некоторые новые вопросы, еще не вошедшие в программу теория критических индексов, вариационный принцип Боголюбова, термодинамическая теория возмущений, интегральные уравнения для функций распределения (уравнение самосогласованного поля,, интегральное уравнение Боголюбова—Борна—Грина, уравнение Перкуса— Иевика). [c.2]

В заключение этого параграфа полезно сделать следующие замечания. Одним из предположений, сделанных нами при выводе уравнения самосогласованного поля (78.15), было предположение о том, что в решетке взаимодействуют только ближайшие соседи, т. е. что силы взаимодействия являются короткодействующими. Как было выяснено впоследствии [27], это допущение не имеет принципиального характера, и, более того, оказалось, так же как и в случае уравнения Ван-дер-Ваальса (см. конец 77), что уравнение состояния (78.15) можно вывести из одного единственного допущения (без второй гипотезьт Брэг- [c.423]

Ответ заключается в следующем так как уравнения механики обратимы, то необратимость возникает тогда, когда уравнения механики мы дополняем чуждыми самой механике вероятностными гипотезами. В случае уравнений Фоккера - Планка такой гипотезой является предположение о марковском характере процесса (уравнение Смолухов-ского). В выводе уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова роль такой гипотезы выполняет условие ослабления корреляций (87.17), приводящее к появлению асимметрии по отношению к отражению времени и т. д. Введение подобных гипотез теснейшим образом связано с ролью взаимодействия между частицами (в частности, с ролью столкновений). Оно является фактором, вызывающим направленную эволюцию состояния, которое описывается функцией распределения. Не случайно поэтому, что в кинетических уравнениях, при выводе которых взаимодействием частиц, в частности столкновениями, мы пренебрегаем, необратимость не возникает. Примерами подобных уравнений являются уравнение самосогласованного поля ( 89) и уравнение свободно-молекулярного течения ( 88), обратимость которых без труда обнаруживается. [c.547]

Исходя из заданного числа атомных орбиталей, получим решение для энергий и волновых функций электронов в самосогла-сован1юм поле, если найдем итеративное решение дляй путем вариационного расчета с /, и Можно уточнить это решение, увеличив число атомных орбиталей, используемых в уравнениях самосогласованного поля использование полного набора атомных орбиталей приводит к так называемому пределу Хартри — Фока. Очевидно, число используемых базисных функций атом [c.188]

Система уравнений (26.1) —(26.8), полутавшая название уравнений самосогласованного поля, легла в основу больпюго числа работ по теории колебаний и устойчивости плазмы. Продуктивность приближения самосогласованного поля впервые была показана А. А. Власовым [1]. Ниже мы рассмотрим несколько простейших задач кинетической теории плазмы без столкновений, основываясь на уравнениях самосогласованного поля ). [c.104]

Зонная теория [13, 14]. Трудно ожидать, что представление о свободных электронах будет одинаково хорошим приближением для всех металлов. Соотношение (8.6), определяющее уровни энергии, справедливо лишь для частицы в поле с постоянным потенциалом, тогда как на самом деле потенциальная энергия электрона в металле не постоянна, а зависит как от строения иоиной решетки, так и от состояний других электронов. Определение ее точного вида приводх1т к задаче самосогласованного поля, подобной рассмотренной Хартри. Решение Зоммерфельда, исходившего из предположения о постоянстве потенциала, является, по сути дела, первым приближением к решению такой задачи. Второе приближение можно построить, предполагая, что потенциал, обусловленный самими электронами, постоянеп, и учитывая в уравнении Шредингера лишь иоле положительных ионов решетки. Для приближенного решения соответствующего уравнения Шредингера были предложены различные методы, позволяющие провести хотя бы качественное обсуждение поведения электронов в реальных металлах. [c.324]

Метод самосогласованного поля. В этом методе, разработанном Хартри без учета обмена электронов, а затем Фоком с учетом обмена электронов, исходными являются волновые функции отдельных элек1ронов без взаимодействия. При помощи исходных собственных функций вычисляется потенциал, действующий на отдельные электроны. С этим потенциалом, как известным, решается уравнение Шредингера для каждого электрона и находятся новые волновые функции. С их помощью определяется уточненный потенциал и затем с этим потен- [c.282]

Силу fi , действующую на частицу в дисперсной смеси, вычисляют, используя различные схематизации (ячеистая схема, замена вторичных частиц точечными силамп или источниками, схема самосогласованного поля), как силу на некоторую пробную частицу. При этом удобней уравнения движения рассматривать в неинерциальной системе координат, движущейся с макроскопи-ческоп скоростью несущей фазы v, и ускорением d yjdt, в которой пробная частица движется со скоростью Wai = Vj — v, и ускорением kw.Jdt. Тогда в уравнениях импульса к внешним массовым силам gi необходимо добавить одинаковую во всех точках силу инерции которая приводит к выделению так на- [c.73]

Т. о., кинетич. ур НИЛ и ур-ння Максвелла образуют связанную систему ур-ний, определяющих все неравновесные явления Б плазме. Такой подход наз. приближением самосогласованного поля. При этом столкновения между электронами учитываются не явно, а лишь через создаваемое ими самосогласованное поле (см. Нинетические уравнения для плазмы). При учёте столкновений электронов возникает кинетич. ур-ние, в к ром эфф. сечение столкновений очень медленно убывает с ростом прицельного расстояния, становятся существенными столкновения с малой передачей импульса, в интеграле столкновений появляется логарифмич. расходимость. Учёт эффектов экранирования позволяет избежать этой трудности. [c.355]

Ф. р. частиц плазмы удовлетворяют кинетическому уравнению для плазмы, в к-ром столкновения между заряж. частицами часто не учитываются явно, а лишь через создаваемое ими самосогласованное поле. Парные столкновения для нерелятивистской классич. (невырожденной) плазмы учитываются с помощью интеграла столкновений вформе Ландау или Балеску —Лепарда. Ф. р. частиц плазмы / полностью определяет лиэлектрич. проницаемость плазмы, а значит, её колебат. и волновые свойства, устой чивость, степень неравновесности системы и т. п. Так, для равновесной (максвелловской) Ф. р. заряж. частиц существует бесстолкновительная диссипация энергии электрич. поля волны в плазме—Ландау затухание. [c.385]

Так как теория Каца довольно сложна, мы ограничимся рассмотрением весьма простого вывода уравнения Ван-дер-Ваальса, основанного на замене взаимодействия частиц самосогласованным полем, в котором частицы движутся независимо друг от друга. Это одночастичное поле и г) таково, что для каждой частицы существует запрещенный объем Ко, в который она не может проникать (U r) = oo при г Е Ко). Относительно этого объема делается естественное допущение, что он пропорционален общему числу частиц N, Ко = Nb. Когда частица находится в доступном объеме К — Nb, на нее действуют дально-действующие силы притяжения с потенциалом и = onst, относительно которого предполагается, что он пропорционален плотности числа частиц и = — a N/V). Для одночастичного статистического интеграла получаем тогда выражение [c.415]

Различают несколько вариантов метода МО в зависимости от выбора пробных функций Ч . Наиболее авторитетным является метод Хартри—Фока (ХФ, англ.— HF), в котором отыскиваются оптимальные одноэлектронные функции Т,, приводящие к. минимальной энергии системы в однодетерминантном приближении. Эти функции подчиняются весьма сложным нелинейным уравнениям Хартри— Фока, которые решают методом самосогласованного поля (ССП, англ.— S F). Отсюда название рассматриваемого варианта метода МО есть МО—GGIT—ХФ (англ.— МО—SGF—HF). Нелинейность уравнений Хартри —Фока возникает из-за того, что Ч- , играя роль собственных функций, входят в кулоновские и обменные операторы. Поэтому при решении этих уравнений прибегают к итерационной процедуре сначала задают пробные функции Т , которые позволяют вычислить новые, функции первого приближения затем, используя функции определяют функции второго при- [c.135]

Уравнение (11.7.9) — это просто уравнение Пуассона для электростатического потенциала е Щ (q t). Теперь ясно видно, что, хотя (11.7.8) формально и является уравнением Лиувилля для одной частицы, движущейся во внешнем поле, последнее создается самими частица ли и зависит от их мгновенного распределения. Поэтому и (q t) представляет собой типичное самосогласованное поле. Вследствие этой самосогласованности уравнение Власова фактически нелинейно, что ясно видно из (11.7.5). Нелинейность должна присутствовать потому, что уравнение Власова описывает процессы взаимодействия. В зтом отношении уравнение Власова заметно отличается от одночастичного уравнения Лиувилля. [c.45]

Член (12.1.12) обладает весьма большой обпщостью он сохраняется в неизменном виде для всех кинетических уравнений. Самосогласованный член (12.1.13) присутствует во всех тех случаях, когда играет роль усредненное поле, т. е. он пренебрежимо мал в обычном газе молекул с короткодействующими силами. Вклад столкновительного члена пока что наиболее сложен. Кроме того, столкновительный член весьма чувствителен к деталям механизма столкновений и имеет совершенно различный вид в зависимости от того, какое уравнение используется, скажем, Больцмана или Ландау. Мы не будем проводить подробную его оценку, но введем новое удобное обозначение [c.54]

Теперь рассмотрим применение метода Резибуа к задаче об электронной плазме. Основное отличие состоит в присутствии в кинетическом уравнении самосогласованного члена. Основываясь на априорных интуитивных соображениях, можно полагать, чт самосогласованный член, который является чисто обратимым (как установлено в разд. 12.2), не должен играть важной роли в определении козффициентов переноса, количественно характе-ризуюшдх диссипацию. С другой стороны, из макроскопической теории, изложенной в разд. 12.7, нам известно, что самосогласованное кулоновское поле радикально изменяет спектр нормальных мод. Покажем теперь, что оба утверждения справедливы, хотя на первый взгляд они противоречат друг другу. [c.111]

Приближение, использованное для получения решений (8.9) и (8.10) уравнения (8.6), является радикальным. Третий член в уравнении (8.7) описывает взаимное электростатическое отталкивание электронов н оказывает значительное влияние на электронные энергии и волновые функции. Поэтому движения электронов уже не считаются независимыми друг от друга, как это было бы при описании их функцией ф в уравнении (8.9) в действительности эти движения коррелированы друг с другом. Несмотря па приближенный характер, собственные функции Фе очень полезны для классификации собственных функций Яе по типам симметрии и для их описания. При учете усредненного эффекта отталкивания остальных электронов путем соответствующей добавки к Н описание электронных собственных функций в виде произведения молекулярных орбиталей сохраняется, но при этом достигается лучшее приближение к точному решению. Этот усовершенствованный метод называется приближением самосогласованного поля (ССП), а усовершенствованный однозлектронный гамильтониан обозначается символом [см. например, уравнение (9.99) в книге [41]]. Второй член в уравнении (8.7) также связан со взаимодействием движения электронов, по вклад этого члена корреляции в кинетическую энергию зависит от масс ядер и имеет тот же порядок величины, что и члены, которыми пренебрегают в приближении Борна —Оп-пенгейыера. Поэтому во всех случаях, когда не требуются особо точные расчеты, этим членом можно пренебречь. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...