Моментные методы

Существует несколько методов приближенного решения уравнений Больцмана. Все они связаны с весьма громоздкими и длинными вычислениями и не могут быть подробно изложены в этой книге. Ниже мы же изложим упрощенный вариант одного из этих методов, а именно метод Энскога - Чепмена, и наметим принципиальный ход рассуждений в другом методе, называемом моментным методом Града. За более детальными изложениями этих расчетов мы отсылаем читателя к специальным монографиям [40, 41, 45]. [c.533]

Выше для простоты различные моментные методы и их точность продемонстрированы на модельном уравнении. Все эти методы применимы и для линеаризированного уравнения Больцмана. Принципиально решение строится, как и для модельного уравнения. При произвольном законе взаимодействия молекул основная трудность состоит в вычислении моментов от интеграла столкновений. Ниже будут рассмотрены лишь максвелловские молекулы, для которых эта трудность легко преодолевается. [c.271]

На рис. 28 и 29 дано сравнение решения модельного уравнения, полученного моментным методом, с точным. Как видно из графиков, точность моментного метода уменьшается по мере увеличения перепада температур. На этих же рисунках приведены результаты расчета теплопередачи методом последовательных приближений. Приведенные результаты получены путем подстановки свободномолекулярного решения в правую часть уравнений (2.85а) и (2.85в) и выполнения соответствующих квадратур. Совпадение этих результатов с точным решением при больших а гораздо лучше, чем можно было ожидать. [c.285]

Эта бесконечная система уравнений (уравнений переноса Максвелла) эквивалентна уравнению Больцмана в силу полноты множества ф . Общая идея, лежащая в основе так называемых моментных методов, состоит в замыкании системы и решении только конечного числа уравнений переноса, или моментных уравнений. При этом функция распределения / может оказаться в значительной степени неопределенной, так как лишь бесконечная система уравнений (2.1) (с заданными начальными и граничными условиями) может определить /. Это означает, что / можно выбрать с некоторой степенью произвола и затем при помощи моментных уравнений определить детали, которые мы не зафиксировали. [c.220]

Различные моментные методы отличаются друг от друга выбором множества ф и произволом задания /. Их общая характерная черта состоит в том, что функция распределения / задается так, чтобы она была функцией от и содержала N независимых параметров (1 = 1,. . ., N), зависящих от х и Это означает что если мы выберем N моментных уравнений, то получим N дифференциальных уравнений в частных производных для неизвестных (х, ). [c.220]

Мы видели, что для решения уравнения Больцмана в его полной или линеаризованной форме наиболее эффективны процедуры, основанные на применении моментных методов или на исполь- зовании кинетических модельных уравнений. При переходе от решения уравнения Больцмана к применению моментных методов пли модельных кинетических уравнений отказываются от намерения точно исследовать функцию распределения и ограничиваются изучением пространственных изменений некоторых моментов, имеющих конкретный физический смысл, таких, как плотность, массовая скорость, температура и тепловой поток. [c.224]

Подробно моментные уравнения в полупространстве для максвелловских молекул рассмотрены в [1] гл. 3. Дальнейшие подробности по поводу моментных методов приведены в книге Когана [10] гл. 1. [c.239]

Для нелинейных задач можно воспользоваться моментными методами (разд. 2), которые сводятся к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще говоря, решение этой системы вызывает большие трудности, чем решение уравнений Навье — Стокса, поэтому для решения таких систем приходится прибегать к численным методам. Но тогда может оказаться более удобным применять численный метод, основанный на методе дискретных ординат, непосредственно к самому уравнению Больцмана (разд. 2). Наконец, много исследований посвящено методу статистического моделирования Монте-Карло (разд. 4). [c.390]

Моментный метод и метод дискретных ординат [c.391]

Ясно, что, если разумно выбирать произвольные элементы, то моментные методы могут давать хорошие результаты, но — и это следует помнить — в конце концов они приводят к столь сложным уравнениям, что для их решения могут быть применимы только численные методы. [c.393]

Следует отметить, что моментные методы, основанные на непрерывных аппроксимациях функции /, плохо применимы в пределе свободномолекулярных течений, так как в этом случае граничные условия играют определяющую роль. [c.394]

К моментным методам тесно примыкает метод дискретных ординат (или дискретных скоростей). Выберем ряд значений скорости где / = О, N—1 затем, используя какой- [c.394]

Уравнения, полученные методом дискретных ординат, всегда содержат в левой части простой линейный дифференциальный оператор, в то время как в моментных методах для полного уравнения Больцмана получаются квазилинейные дифференциальные выражения (если разложение типа (2.2) основано не на фиксированном максвелловском распределении). [c.394]

Моментные методы и метод дискретных ординат могут применяться к интегральной форме уравнения Больцмана (разд. 12 гл. IV) еще с большим успехом, чем к его стандартной интегро-дифференциальной форме [43—46]. Это обстоятельство должно [c.394]

Моментные методы использовались широко, но для около-свободномолекулярных течений их точность невысока. Это связано с тем, что аналитическое поведение при 6->0 не воспроизводится с достаточной точностью моментными методами. В самом деле, как известно (разд. 9 гл. V), в точные аналитические выражения для скорости и напряжения сдвига входят логарифмические члены, в то время как моментные методы имеют дело лишь с рациональными функциями (те же возражения относятся, конечно, и к вариационному решению, приводящему к (5.9), но не к вариационному решению интегрального уравнения). В простейшем варианте метод приводит к следующей формуле для напряжения сдвига [c.406]

На основе интегрального уравнения точно решена также задача о течении Пуазейля в кольцевой трубе [50]. Моментные методы [ПО] и метод дискретных ординат [35] не дают удовлетворительных результатов для задач такого рода. Из других задач цилиндрической геометрии, решенных с использованием БГК-модели, можно назвать цилиндрическое течение Куэтта и теплоперенос между коаксиальными цилиндрами [111, 45]. [c.411]

Этих затруднений можно избежать, использовав моментный метод. [c.190]

Исследованию структуры ударной волны в бинарной смеси газов посвящено большое число теоретических и экспериментальных работ. Задача стала тестом, на котором могут быть проверены различные методы решения уравнения Больцмана и приближенные кинетические теории. В теоретических работах представлены моментный метод [1], двухжидкостная модель [2], численный анализ, базирующийся на кинетических моделях [3]. метод прямого моделирования Монте-Карло [4], применение консервативного метода расщепления [5] для бинарной смеси газов [6, 7] и конечно-разностный анализ уравнения Больцмана [8]. В работах [9, 10] представлены экспериментальные результаты. [c.154]

Динамическая балансировка. При уравновешивании сил инерции вращающихся роторов, имеющих небольшую длину по сравнению с размером диаметра (маховики, шкивы, зубчатые колеса и др.), можно ограничиться только статическим уравновешиванием. Однако при значительной длине роторов статическое уравновешивание является уже недостаточным, так как становится существенным влияние моментной неуравновешенности, которую методом статической балансировки обнаружить невозможно. [c.189]

Наконец, Био [13] развил новые методы динамического анализа многослойных ортотропных вязкоупругих пластин. Он учел как высокие градиенты напряжений вблизи поверхности анизотропного материала ( скин-эффект ), так и эффекты микроструктуры (используя моментные напряжения). [c.176]

Теоретическое решение задачи о теплообмене в промежуточной области возможно также на основе моментного метода, основанного на простейшем представлении функций распределения до и после соударения молекул со стенкой и предположении о диффузном характере отражения молекул. Результаты, полученные этим методом для передачи теплоты через плоский слой разреженного газа Ю. А. Кошмаровым, показаны на рис. 11.5 (линия 2). [c.401]

Нелинейные задачи. Моментный метод. Рассмотрим прежде всего решение задачи Куэтта при произвольных числах Кнудсена методом моментов. Будем рассматривать полное уравнение Больцмана. Чтобы упростить вычисления моментов от интеграла столкновений, будем считать газ максвелловским. В нелинейном приближении задача о сдвиге не отделяется от задачи о потоке тепла между пластинками. [c.273]

Интерполяционные подходы к решению уравнения Больцмана в переходной области развиваются в двух основных направлениях моментные методы и методы, связанные с решением интегральных уравнений. В первом случае получают дифференциальные уравнения в частных производных, во втором пытаются найти- или разложения, справедливые для больших чисел Кнудсена, или численные решения. В этих двух направлениях можно упростить вычисления (иногда существенным образом), используя модельные [c.219]

Моментные методы отличаются друг от друга различными системами функций ф и степенью произвола самой функции /. Их общей чертой является предположение о том, что / есть заданная функция от и содержит N произвольных параметров Мг (/=1, /V), зависящих от х и , таким образом, если взять N моментных уравнений, то получится N ураЕнеиий в частных производных для определения неизвестных Мг(х,1). Несмотря на значительную степень произвола, можно надеяться, что любой алгоритм даст для достаточно больших N результаты, по существу не зависящие от первоначального выбора. Более того, на практике можно надеяться, что и для достаточно малых N при надлежащем выборе произвольных элементов можно получить хорошие результаты. [c.391]

Важной проблемой для моментных методов является выбор граничных условий, которым должны удовлетворять решения моментных уравнений. Особых трудностей не возникает для методов, основанных на кусочно непрерывных функциях от , если разрывы расположены так, что они имеют место на границах при —0. В случае аппроксимации функции распределения непрерывными функциями типа (2.2) мы сталкиваемся с той трудностью, что граничные условия выражают функцию распределения вылетающих с поверхности частиц через функцию распределения падающих поэтому из граничных условий можно получить соотношения только для полупространственных моментов. [c.393]

Полные нелинейные задачи о течении Куэтта и теплопере-носе между параллельными пластинами также рассматривались разными авторами. Эти методы включают моментный метод Лиза [102], численное регнение интегральных уравнений для БГК- и ЭС-моделей [103, 104, 461, методы дискретных ординат [25, 30] и методы Монте-Карло [74]. Насколько известно автору, сравнение с экспериментом в широких масштабах не проводилось. [c.406]

Ясно, что результаты Навье —Стокса не согласуются с экспериментальными при М- > 2. Положение не улучшается при использовании уравнений Барнета (разд. 3 гл. V) или трина-дцатимоментных уравнений Грэда. Эти системы уравнений фактически неимеют решений при М-> 2,1 и М >1,65 соответственно. Вообще, как было указано в разд. 2, при М >], В5] ь моментных методах возникают трудности. [c.416]

Микроскопическое описание 95, 266 Милна задача 329, 334 Миогогрупповая теория переноса нейтронов 355 Мода нормальная 227 Молекула-мишень 75, 81 Молекула-пуля , 75, 81 Молекулярный пучок 123, 155 Момент импульса 38, 81 Моментные методы 390—395, 406 Моменты функции распределения 265, 289, 322, 375, 376, 424 Монте-Карло методы 390, 400—402, 418, 423, 427 Мотт-Смита метод 413—416 Мягкие сферы 454 [c.489]

Грубо приближенные методы можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, в которых приближенно заменяют искомую-функцию распределения, ко второй — методы, в которых аппроксимируюг (упрощают) интеграл столкновений, заменяют уравнение Больцмана, модельными уравнениями. К первой группе относятся, прежде всего, моментные методы, когда функцию распределения аппроксимируют той или иной зависимостью от скоростей молекул с некоторым числом неизвестных макроскопических параметров, для которых соответствующее число макроскопических уравнений получают последовательным умножением уравнения Больцмана на весовые функции и интегрированием по скоростям молекул. В качестве весовых функций, как правило, выбираются пять сумматорных инвариантов столкновения молекул и некоторое число дополнительных функций. В соответствии с этим обычно получают систему уравнений более сложную, чем уравнения Навье — Стокса. Поэтому до сих пор решаются главным образом одномерные задачи о структуре ударных волн, течении Куэтта и т. п. (см., например, С. П. Баканов, и Б. В. Деря1 ин, 1961 В. Д. Перминов, 1969). В методе моментов имеется определенный произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе весовых функций. Последний произвол отсутствует в вариационном методе, предложенном И. Г. Таммом (1965) ). Очевидно, что. функционал [c.430]

После обсуждения постановки задачи сначала раосматриваот-ся простейшие приближенные методы решения, имеющие в основной локальвый характер. Далее излагается метод аппроксимации по отдельным координатам, который является обобщением моментного-метода. В случае заостренных и тонких тел используются как общие методы, так и специальные. Асимптотические решения при [c.7]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Книга соответствует программе для строительных вузов. В ней рассматриваются основные уравнения теории упругости и методы их решения вопросы изгиба и устойчивости пластинок вариационные методы прикладной теории упругости основы расчета оболочек по моментной и безмоментной теориям основные уравнения теории малых упруго-пластических деформаций и методы их решения. Каждый метод по воаможности иллюстрируется примером. [c.2]

Рабинович С. В. Определения пере.чещения в балках ступенчато-переменного сечения по методу Мора с применением способа перемножения моментных факторов. Сб. ст. Расчеты на прочность . Вып. 11. М., 1965. [c.627]

Для вычисления этих прогибов используем метод Мора и правило Верещагина, для чего построим отдельно эпюры от нагрузок М и X (рис. 170, в), а также от единичной нагрузки, приложенной в сечении В (рис. 170, г). Далее вычислим значения ординат t i и эпюры Of единичной нагрузки, находящихся против центрав тяжести соответствующих моментных площадей [c.284]

Существует метод упрсчнения, при котором звенья камеры приваривают не к козырькам, а непосредственно к поясам статора (см. рис. II. 15) так, чтобы момент в заделке был мал и напряжения были близкими к напряжениям в без-моментном торе. [c.71]

До недавнего времени основное содержание работ по механике композиционных материалов состояло в сведении задачи неоднородной (чаще всего изотропной) теории упругости к задаче однородной анизотропной теории. Это достигалось введением так называемых эффективных модулей, которые либо вычислялись различными методами (как стохастическими, так и детерминированными), либо определялись экспериментально как средние модули материала в целом. В данной книге этому вопросу посиящены главы 1—3. Понятно, что описание поведения композиционных материалов при помощи эффективных модулей пригодно только для решения задач об упругих композитах, Б некоторых случаях принцип Вольтерры (или, как его еще называю г, принцип соответствия) позволяет распространить теорию эффективных модулей и на линейные вязкоупругие композиты (глава 4), В настоящее время в отечественной литературе появились работы, в которых неоднородная задача теории упругости (вязкоупругости) сведена к последовательности задач анизотропной однородной моментной теории упру- [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...