Численные решения нелинейных систем

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [c.179]

Рассмотрим еще один численный метод решения нелинейных систем вида [c.30]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Сформулированную задачу характеризует сильная нелинейность уравнений. Система уравнений может быть решена с помощью приближенных или численных методов с использованием ЭВМ. В дальнейшем будет описан примененный к ее решению численный алгоритм. Предварительно систему уравнений целесообразно привести к безразмерному виду. Используем преобразование Дородницына—Лиза. Вводим безразмерные координаты по формулам [c.62]

Метод интегральных соотношений. Развитием метода прямых является метод интегральных соотношений, предложенный в 1951 г. А. А. Дородницыным. С помощью этого метода интегрирование систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к численному решению некоторой аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.182]

Несмотря на то что автор, в основном, занимался аналоговыми методами исследования явлений теплообмена и является сторонником этих методов, тем ке менее он считает, что только тогда можно достичь значительного прогресса в деле решения нелинейных задач теории поля, если с успехом будут развиваться и аналитические (точные и приближенные), и численные методы решения этих задач, а также вычислительные средства, способствующие реализации этих методов. Это в полной мере относится к совместному использованию различных методов и вычислительных средств, в том числе и к созданию гибридных аналого-цифровых методов и систем. [c.5]

Приведенный пример использования аналоговых методов при разработке современных гибридных систем лишний раз свидетельствует о необходимости развития этих методов наряду с другими (аналитическими и численными) методами решения нелинейных задач. [c.61]

Подробнее о численных методах решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (включая методы решения нелинейных задач, методы решения систем уравнений, задачи на собственные значения, метод конечных элементов и метод пристрелки) см. [8, 32, 72]. [c.147]

Итак, приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61]

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

Разрешающая система уравнений для конструкции, состоящей из Л/оболочек, составляется из Л/систем(II. 19). К граничным условиям на торцах конструкции присоединяется N — 1 условие сопряжения оболочек (11.23). Сформулированная нелинейная краевая задача может быть сведена к системе нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений и к задаче Коши для начального вектора. Однако в силу жесткости задачи Коши подобный алгоритм решения нелинейных задач неустойчив. Более эффективно применение итерационного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача в сочетании с устойчивым численным методом прогонки [30, 90, 134, 1861. В практике решения [c.36]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Задача расчета выходных характеристик лазерных устройств, т. е. лазеров и усилителей (а также и различного рода преобразователей и отдельных элементов лазерных систем), сводится к необходимости решения системы линейных или нелинейных дифференциальных уравнений (чаще всего в частных производных, в большинстве случаев нестационарных) при заданных граничных и начальных условиях. Тип исходных уравнений, степень их сложности и число взаимосвязанных уравнений в системе зависят от типа лазера, режима работы, учета различных, одновременно протекаюш,их явлений. Это определяет и математическую сложность задачи, возможный выбор метода численного решения, расчетной схемы. [c.37]

Разностные уравнения удобны для численного решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений методом Эйлера с восходящими разностями и могут рассматриваться как дискретные модели непрерывных систем. [c.528]

В отличие от систем с запаздыванием, исследования распределенных систем, описываемых уравнениями в частных производных, чрезвычайно ограничены. Здесь можно указать лишь работы [51, 165], в которых аналитически произведена оценка размерности аттрактора для некоторых типов уравнений в частных производных, работы [25, 38, 41, 123, 213, 306], в которых исследуются цепочки, моделирующие одномерные диссипативные среды, а также немногочисленные работы, в которых были обнаружены хаотические режимы при численном решении уравнений в частных производных. Об одной из таких работ уже говорилось в 7 [300]. К ним относятся также [687], в которой решались уравнения, подобные уравнению Кортевега-де-Вриза, и [396, 406, 509, 524], в которых моделировалось уравнение си-нус-Гордона с затуханием и внешней силой. Имеется, правда, сравнительно большое количество экспериментальных работ, посвященных наблюдению и исследованию хаотических колебаний в гидродинамике (см., например, [395, 411, 469, 470, 561, 569]), в лазерах [376—378, 488, 492, 505, 525, 592, -674, 675], нелинейной оптике [431, 454, 525, 591, 594] и некоторых других системах [2]. Однако большинство из этих работ еще требует осмысливания. [c.380]

Для нелинейных задач можно воспользоваться моментными методами (разд. 2), которые сводятся к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще говоря, решение этой системы вызывает большие трудности, чем решение уравнений Навье — Стокса, поэтому для решения таких систем приходится прибегать к численным методам. Но тогда может оказаться более удобным применять численный метод, основанный на методе дискретных ординат, непосредственно к самому уравнению Больцмана (разд. 2). Наконец, много исследований посвящено методу статистического моделирования Монте-Карло (разд. 4). [c.390]

Дифференциальные краевые задачи (8.5) и (8.21) в результате дискретизации, являющейся первым этапом численного метода, сведены к нелинейным разностным задачам (8.11), (8.12), и (8.22), (8.23). Рассмотрим теперь второй этап численного метода, состоящий в численном решении полученных в гл. 8 нелинейных систем уравнений. [c.206]

Широко использованы теоретические методы решения уравнений движения линейных и нелинейных систем большое внимание уделено использованию электронных вычислительных машин для решения динамических задач и параметрического анализа расчетных схем. Кроме теоретических анализов и исследований, широко представлены методы экспериментальных исследований, многие задачи доведены до численных расчетных примеров. [c.2]

Одни подпрограммы выполняют основные вычисления и реализуют посг-роенные в 9.1 численные прикладные алгоритмы или их отдельные этапы.. Эти подпрограммы осуществляют численное решение нелинейных систем уравнений, к которым в результате дискретизации сводится дифференциальное уравнение упругой линии стержня. Процедура дискретизации дифференциальной за-дачи, которая соответствует разностной задаче, автоматизирована. Это позволяет задачи расчета изгиба стержней формулировать в терминах дифференциальной задачи, имеющей понятный физический смысл. [c.215]

В теоретич. исследованиях П. ваиб. внимание уделяется численным методам моделирования, поскольку они позволяют получать количеств, оценки при решении нелинейных систем ур-ний газодинамики радиац. газодинамики), описывающих эволюцию П. Согласно результатам аналитич. и численных методов, коллапс гравитационного неустойчивого фрагмента газово-цыле-вого облака протекает негомологично (неоднородно). Не-гомологичность может быть обусловлена изначально неоднородным рас1 делением плотности (напр., в ядрах молекулярных облаков отмечается концентрация веще- [c.163]

Освоение программы NASTRAN служит стимулом для изучения различных областей теории упругости и пластичности, строительной механики, механики композиционных материалов, линейной алгебры и проблемы собственных значений, динамики и устойчивости конструкций, численных методов решения нелинейных систем, оптимизации конструкций. При этом NASTRAN имеет сравнительно небольшой набор базовых понятий, которые необходимо усвоить, чтобы начать использовать его на практике. [c.15]

Из теории, изложенной в предыдущих параграфах, ясно, что статическое поведение конечных элементов при конечных упругих деформациях описывается большими системами нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Хотя системы нелинейных уравнений встречаются в прикладных задачах механики уже в течение нескольких веков, общих методов получения их точных решений не существует. Таким образом, неизбежно приходится использовать численные методы, и в общем случае решение можно пол5П1ить лишь с некоторой заданной степенью точности. В этом параграфе мы обсудим основные идеи, на которых основываются некоторые схемы численных решений больших систем нелинейных уравнений ). [c.293]

На современном научном уровне излагаются основы вычислительных методов проектирования оптимальных конструкций. Рассматриваются вопросы моделирования линейных и нелинейных систем методом конечных элементов. Показано применение метода обратных задач динамики к решению задач синтеза оптимальных систем виброзащиты и стабилизации. Приводятся методы и алгоритмы построения оптимального управления колебаниями сложных динамических систем. Даны рекомендации по нсиользованию численных методов оптимального нроектировапни в САПР. Материал пособия иллюстрируется примерами решения многочисленных задач с помощью приведенного алгоритмического и программного обеспечения. [c.127]

Исходная система уравнений (5.17). .. (5.21) нелинейна и включает коэффициенты, зависящие от решения и входяище под знаки дифференцирования. Решение подобных систем возможно только численными методами [6,35]. [c.139]

Аналитич. описание процессов в Н. с. затруднено ввиду отсутствия общих методов решения нелинейных ур-ний. Наиб, доступно изучение динамики слабонели-нейных систем. Описывающие их ур-ния содержат нелинейные члены с малым параметром, что позволяет использовать разл. варианты метода возмущений (см. Возмущений теория). Нелинейность в таких системах проявляется либо в возникновении малых поправок к решению линеариэов. системы ур-ний, получаемой в пренебрежении нелинейными членами, либо, что более важно, в медленном изменении его параметров. При исследовании сильнонелинейных систем, за исключением ограниченного числа точно решаемых случаев, используется численное моделирование. [c.312]

Принципиально более высокая ступень использования УВМ возможна только ирн наличии в вычислительном устройстве нелинейной математической модели динамики блока, которая отличается от линейной тем, что коэффициенты уравнений сохранения (3-18) — (3-22) становятся функциями времени. Аналитически решить нелинейную задачу для парогенератора в целом удается лишь при очень существенных упрошениях (см. 8-2). В принципе нелинейную модель блока можно получить из линейной при непрерывной перестройке коэффициентов линеаризованных уравнений в соответствии с ироходи-мыми стационарными состояниями. Справедливость этого предположения более вероятна при медленном изменении нагрузки описание динамики резкопеременных режимов (аварийные ситуации) требует привлечения более совершенного математического аппарата. Так, Т. Краус описал [Л. 43] метод решения нелинейных уравнений динамики для поверхности нагрева парогенератора с помощью двумерных передаточных функций и рядов Воль-терра. Подходы к созданию нелинейной модели динамики паротурбинного блока обсуждаются в (Л. 82]. Нелинейности в обоих исследованиях представлены в виде квадратичных членов разложения нелинейной функции в ряд Тейлора. Нелинейной заменой зависимой [Л. 35] и независимой [Л. 29] переменных исходную систему уравнений для отдельных конкретных случаев иногда удается привести к виду, разрешимому аналитически или численно. [c.358]

В [л. 77] на простейшем примере одиночной ГЭС лроверялась возможность использования метода Ньютон а—Р а ф с о н а для оптимизации длительных режимов ГЭС. Если записать в конечных -разностях дифференциальные уравнения (2-13),. то получим систему нелинейных алгебраических уравнений. Одним из наиболее эффективных путей численного решения этой системы уравнений является метод Ньютона— Рафсона. [c.42]

Некоторые разновидности шаговых методов. Рассматриваемые метод последовательных жесткостей и ряд модификаций шаговых методов единообразно укладываются в схему известного в. прикладной математике метода дифференцирования по параметру (методы продолжения) Методы продолжения использовались для доказательства суш,ествования решения еш,е в прошлом столетии [84]. Впервые этот метод для численного решения систем нелинейных уравнений был применен, по-видимому,. яэемом [82]. Кроме того Д. О. Давыденко [22] применил метод дифференцирования по параметру к широкому классу задач, в том числе и для решения систем нелинейных уравнений. В ряде более поздних работ [10, 74] эти методы были снабжены четким физическим смыслом, что обусловило их широкое распространение при решении различных нелинейных задач механики. [c.80]

Исходную систему компонентных и топологических уравнений (3.1) и (3.2) можно рассматривать как окончательную ММС, которая и подлежит численному решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает ал-гебраизацию дифференциальных уравнений, например, с помощью преобразования Лапласа или формул численного рштегрирования. В программах анализа нелинейных объектов на макроуровне, как правило, применяются формулы численного интегрирования, примером которых может служить неявная формула Эйлера [c.96]

Четыре уравнения (106), (107) образуют замкнутую систему относительно четырех неизвестных функций Nq,, N , iVap, h. В отсутствие объемных сил эта система расщепляется на систему (106) и уравнение (107), служащее для определения h. Последний случай для оболочек вращения был рассмотрен в предыдущем параграфе. Уравнения (106) справедливы при любом поведении материала (упругого, пластичного, вязкого и т. д.). Полученные уравнения нелинейны, и поэтому общего решения их найти не удается. Аналитическое исследование возможно лишь для некоторых частных случаев (в основном для осесимметричных задач). В общем случае нужно прибегнуть к численному решению при помощи ЭВМ. [c.35]

Зональные методы находят применение и при моделировании радиационно-конвективного теплообмена. Объем рабочего пространства печи, а также поверхности ограждения и обрабатываемо1Х) материала разбивают на объемные и поверхностные зоны. При этом для каждой зоны записывают уравнения теплового баланса, учитывающие для объемных зон радиационный и конвективный перенос теплоты, конвективную теплоотдачу к поверхности и тепловыделение при горении, а для поверхностных зон — радиационную и конвективную составляющие теплоотдачи. В результате получают систему нелинейных алгебраических уравнений, которая и подлежит численному решению. Теория и практика применения зональных методов для математического моделирования внешнего радиационно-конвективного теплообмена описаны в [2, 3, 34, 35]. [c.76]

Решение в промежуточной по числам Кнудсена области (переходной области) в настояш ее время иш ется при помощи интерполяционных процедур более или менее утонченного характера. К тому же необходимо отметить, что хорошая процедура не обязательно предполагает хороший метод решения, так как во многих случаях процедура приводит к системе нелинейных уравнений в частных производных. Последняя должна быть решена в соответствии с конкретными задачами, и, вообще говоря, решение этой системы вызывает большие трудности, чем решение уравнений Навье — Стокса для тех же самых задач. Поэтому для решения таких систем прибегают к численным методам. [c.219]

Применяя прямое и обратное преобразования, а также теоремы комплексного исчисления и методы решения нелинейных алгебраических уравнений, Г. Е. Пухов решил ряд задач с доведением их до численных результатов. В частности, получены формулы для расчета периодических процессов и процессов установления в электрических машинах постоянного тока с учетом нелинейности дифференциальных уравнений, в магнитных усилителях, в статических утроителях частоты и др. Кроме того, им получены расчетные формулы для определения периода колебаний и амплитуд гармоник лампового генератора, рассчитаны периодический процесс в цепи параметрического генератора и переходные процессы в ряде систем автоматического регулирования. При этом выяснилось, что определение качества переходных процессов проще производить комплексным методом, а не наиболее распространенным методом трапецоидальных частотных характеристик. Если комплексным методом исследовать почти синусоидальные процессы в нелинейных системах, то можно убедиться в том, что в этом случае он будет тождественен методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Бого-л1обова. Метод Г. Е. Пухова подробно изложен в его книге [13]. [c.94]

Конечно-амплитудные движения. С ростом числа Грасгофа в замкнутых полостях происходят последовательные перестройки движения с усложнением пространственно-временной структуры. Расчеты развитых конвективных движений требуют применения численных методов. Наиболее употребительными являются методы сеток и Галеркина — Канторовича. При использовании метода Галеркина — Канторовича исходная система уравнений в частных производных заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, иногда сравнительно невысокого порядка, моделирующей наиболее существенные свойства исходной системы. Данный подход развит для решения нелинейных задач гидродинамики в работах А.М. Обухова с сотрудниками, построивших общую теорию нелинейных систем гидродинамического типа [108, 109]. В области применимости маломодовых моделей использование аппарата качественной теории дифференциальных уравнений позволяет получить обширную информацию о типах движений, их устойчивости и взаимных переходах. Следует подчеркнуть, однако, что маломодовые модели могут оказаться недостаточными для описания реальных явлений (см. [63, 64]). [c.282]

Фактическое вычисление интенсивностей мультиполей из граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего системы функций у , Г , необходимо последовательно орто-гонализировать. Эта процедура монсет оказаться весьма трудоемкой, если для построения приближенного численного решения требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по пе-линейиости, характерных для решений уравнений движения обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов, возникающих в результате итераций но нелинейности, асимптотически мал при оо, поэтому достаточно ограничиться решением линейной задачи при больших N, что сильно упрощает алгебраическую систему для определения В , С , Д . [c.293]

Методика численного решения. Рассмотрим методику итерационного численного решения системы уравнений (21), (23) и (31). Каждая итерация состоит из решения уравнения (21) для некоторого размера концевой области трещины с проверкой условий (23) и (31). При выполнении последних двух условий получаем размер концевой области трещины и величину критической внешней нагрузки в состоянии предельного равновесия. При увеличении длины трещины итерационный процесс повторяется. Основным этапом численной схемы является решение уравнения (21), которое также выполняется по итерационной схеме, подобной методу упругих решений, если закон деформирования связей является нелинейным. Уравнения (21) представляют собой систему нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядрами типа Коши. Для их решения используем коллокационную схему с кусочно-квадратичной аппроксимацией неизвестных функций. [c.230]

Системы с несколькими степенями свободы, как правило, неитегриру-емы. Исключение составляют системы, обладающие определенными симметриями, с каждой из которых связан первый интеграл. Это обстоятельство позволило, например, найти решение задачи Кеплера (см. лекцию 6). Однако в настоящее время нет общих методов, позволяюпщх найти первые интегралы не существует и общего метода интегрирования нелинейных систем. Любопытно отметить, что известны случаи, когда удалось догадаться о существовании скрытого интеграла при помощи численного эксперимента. Более того, использование ЭВМ в значительной мере способствовало пониманию характерных особенностей поведения существенно нелинейных систем [93]. [c.161]

Электростатические линзы с гиперболическими электродами уже исследовались [160, 200] с целью уменьшения сферической аберрации, но первая реальная попытка синтеза толстых линз была предпринята в 1952 г. Касьянковым [327]. Он вывел систему нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка, решение которой должно минимизировать некоторые интегралы аберраций. К сожалению, как начальные условия, так и практические методы численного решения этих уравнений остаются неясными. [c.514]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...