Базисные функции линейных

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

Опишем кратко алгоритм решения задачи (5.1) —(5.2) с использованием метода конечных элементов. (Заметим, что этот способ был известен до изобретения метода конечных элементов под названием метода Бубнова — Галеркина метод конечных элементов дал лишь способ построения базисных функций, удобных для реализации метода на ЭВМ.) Итак, пусть xpi, фд —базис, построенный одним из описанных выше способов функции фь. ... .., Флг зависят только от пространственных координат. Будем искать приближенное решение задачи (5.1) —(5.2) в виде линейной комбинации функций pi,. .., фд. с коэффициентами, являющимися функциями времени [c.213]

Рис. 7. Кусочно-линейные базисные функции.

В силу линейности и однородности исходного уравнения функция-ошибка L будет линейной и однородной относительно варьируемых параметров с,-. Для минимизации функции-ошибки требуют, чтобы она была ортогональна всем базисным функциям fi х, у), т. е. выполнялись условия [c.169]

Функция f x) в области (а, Ь) допускает представление в виде линейной комбинации базисных функций иначе говоря, допускает разложения вида [c.209]

Базисные функции при этом должны быть линейно независимы, т. е. между ними не должно существовать никакого соотношения вида [c.209]

Наиболее удобны для применения линейные модели, модельная функция которых строится как линейная комбинация известных базисных функций [c.469]

Базисные функции должны быть однозначно определены и взаимно линейно независимы. Гибкость линейных моделей в самом общем случае обеспечивается возможностью изменять список базисных [c.469]

Удовлетворительную обусловленность, как правило, обеспечивают линейные модели, базисными функциями которых служат так называемые ортогональные многочлены, например многочлены Чебышева. Последние рекомендуется использовать при Xj <, к = 1, 2,..., N. При заданном значении аргумента х многочлены Чебышева можно рассчитывать с помощью рекуррентных соотношений [c.470]

Здесь применены обозначения у = ln(/)j/pg) х = = T/Tq, Pq н Tq — масштабирующие множители соответственно для давления и температуры. Выражения для первых трех базисных функций следуют из решения уравнения Клапейрона—Клаузиуса (см. п. 2.3.2 настоящего справочника) при следующих предположениях теплота парообразования линейно зависит от температуры удельный объем жидкой фазы пренебрежимо мал по сравнению с удельным объемом пара пар — идеальный газ. Параметры 02 и 63 при этом с точностью до положительных коэффициентов совпадают соответственно с теплотой парообразования и производной от нее по температуре и поэтому должны удовлетворять неравенствам 02 > О, 0з < 0. Указанные выше предположения справедливы для значений температуры, заметно отличающихся от ее критического значения. Для расширения области применимости модели в нее введены дополнительные базисные функции (i >3). [c.470]

Линейная модель обработки считается адекватной искомой зависимости, если используемый набор базисных функций [fi(x) j таков, что при определенных ( истинных ) значениях параметров модели [c.470]

В современной вычислительной практике нормальная система, как правило, не используется. Одна из проблем состоит в том, что при отсутствии специального выбора базисных функций фд, ф[,.... .., уже при т > 5 нормальная система обычно оказывается очень плохо обусловленной. Для решения линейной задачи метода наименьших квадратов применяются другие, более надежные методы, учитывающие, например, информацию о погрешности данных и относительной точности используемой ЭВМ (об одном из таких методов см. [33, 74]). Есть и методы, предваряющие решение нормальной системы численной ортогонализацией системы базисных функций [34]. [c.136]

Соответственно, в зависимости от желаемой плавности аппроксимации, базисные функции могут быть постоянными, захватывающими один интервал (рис. 7.9, а), кусочно-линейными, ненулевыми на двух интервалах (рис. 7.9, б), квадратными параболами, охватывающими три интервала (рис. 7.9, в), и т. д. [c.160]

Тот же прием используется и в многомерных полях. Для. примера на рис. 7.10 показаны кусочно-линейные базисные функции, позволяющие дать соответствующую аппроксимацию функции двух аргументов [c.160]

Рассмотрим двумерную задачу теплопроводности, определяемую уравнениями (18.1)—(18.3). При формулировке метода конечных элементов область S разбивается на треугольные элементы, как показано на рис. 18.29, а границы i и С заменяются совокупностью ломаных линий. В качестве базисных функций для 0 (х, у) выберем в каждом элементе линейные функции х к у. [c.449]

В областях той или иной гладкости решений многомерной задачи знание хороших аппроксимирующих агрегатов (базисов), построенных часто с помощью аналитических конструкций, передающих основные закономерности дифференциальной задачи, позволяет решить еще одну весьма важную задачу — об экономичном представлении информации, полученной в результате численного решения сложной многомерной задачи. Иногда линейные комбинации или рациональные дроби из удачных базисных функций позволяют при ограниченном наборе коэффициентов разложения построить достаточно точную аппроксимацию параметров физических полей в трехмерных задачах. [c.15]

Предлагаются конструкции рядов по системам специальных базисных функций, содержащих произвольные функции одного аргумента, для представления решений задач Коши и смешанных задач Коши в случае нелинейных уравнений с частными производными от двух независимых переменных. Описаны системы базисных функций, позволяющие вычислять коэффициенты рядов рекуррентно из систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для широкого класса исходных нелинейных уравнений. Приводятся примеры применения построенных рядов. [c.217]

Итак, построен формальный алгоритм получения решения уравнений Буссинеска для случая валов в задаче Ре лея в виде рядов (1.3) при произвольных параметрах Решение дифференциального уравнения (1.13) получено явно. Возникает вопрос о ра-циональном выборе управляющих параметров с целью обеспечения достаточно хорошей сходимости рядов (1.3). Теоретические результаты исследования сходимости этих рядов как в случае рассматриваемой задачи, так и в более простых ситуациях 7] отсутствуют. Трудность доказательства теорем сходимости усугубляется тем, что системы базисных функций в рядах (1.3) линейно зависимые. Поэтому в дальнейшем сходимость рядов исследуется экспериментально. [c.386]

Из выражений (2.3), (2.4) видно, что если ф О, то амплитуда а не зависит от Этот вывод подтвержден численными расчетами при 7V > 5. Если при N = 3 имеем один положительный корень уравнения (1,20), то при N = Б — два корня, один из которых дает решение, не имеющее физического смысла. Численные расчеты при N > 5 показали, что уравнение (1.20) имеет, как правило, три положительных вещественных корня один дает невозмущенное течение, другой — решение, не имеющее физического смысла, и только третий дает нужное решение. Если корней уравнения (1.20) больше трех, то какие-то два решения одинаковы с высокой степенью точности. Эти эффекты обусловлены применением линейно зависимой системы базисных функций. [c.388]

Линейные базисные функции [c.173]

Так как вряд ли удастся подобрать подходящую функцию указанного выше преобразования всей нашей рыбы , мы вынуждены иметь дело с последовательностью произвольно малых элементов нашей системы, криволинейные границы которых локально аппроксимируются линейными, квадратичными или кубическими базисными функциями. [c.207]

При вычислении линейных интегралов от ядер и базисных функций, зависящих от С, мы должны будем по аналогии с преобразованием (8.15) выбрать направление элемента dl ) в пространстве Z. Поэтому, если rf/(Q будет направлен, например, вдоль j, то [c.211]

Теперь мы можем применить изложенные выше идеи к преобразованиям ортогональной декартовой системы координат X в косоугольную декартову систему Z, что позволит нам определить базисные функции для целого класса элементов, вдоль границ которых изучаемые параметры изменяются линейно (так называемых линейных элементов). [c.211]

Таким образом, фактически рассмотрев лишь преобразование плоской треугольной ячейки (1, 2, 3) (рис. 8.3) при переходе из системы координат х в систему т), мы достигли существенного прогресса в описании дифференциальных элементов площади. Ясно, что в соответствии с (8.4) соотношение (8.28) также может быть записано в виде Х = Х,рМв,где геометрические базисные функции просто совпадают с. Аналогично мы можем определить линейно меняющееся поле смещений в треугольнике путем введения, скажем, U ta —матрицы узловых смещений, так что М = == (см. соотношение (8.3)), или некоторой скалярной пе- [c.215]

Согласно всему изложенному выше, для линейных элементов (с треугольными гранями), заданных координатами своих узлов, элементы матрицы Якоби преобразования являются константами и соответствуюш,ие базисные функции тесно связаны с однородными координатами элементов. [c.216]

Эта интерполяционная функция ф может быть использована для построения базисных функций для так называемых линейных прямоугольных элементов. Для построения большинства базисных функций более общего вида, используемых в методах конечных элементов, прибегают к выражениям более высокого порядка [1, 5, 6]. Так как в каждом узле в координатах ii мы имеем по одному узловому значению (Ф1 отвечает узлу 1 и т. д. см. рис. 8.7,6), то, очевидно, можно найти четыре функции из уравнений вида (например, для узла 1) Ф1 =/о +/1 +/2 +/з и т. д. После отыскания / = /(Ф ) соотношение (8.3]) можно переписать в виде [c.217]

Уравнения, соответствующие (8.31) и (8.33) в случае преобразования трехмерного параллелепипеда, показанного на рис. 8.8, а, и связанные с ними линейные базисные функции можно легко [c.218]

Интегрирование произведений ядер на базисные функции для получения матриц систем линейных алгебраических уравнений. [c.413]

ДЛЯ линейной и поверхностной областей интегрирования соответственно. Детальное описание подобных квадратурных формул можно найти в приложении В. Ясно, что перед их использованием для вычисления интегралов от произведений ядер на базисные функции соответствующие граничные элементы необходимо преобразовать в канонические с единичными пределами интегрирования. [c.417]

Базисные функции могут быть линейными, квадратичными и т. д. Заметим, что порядок интерполяции функций и ti может быть различен (tj) и Ф (tj). Учитывая, что усилия в теории упругости могут быть представлены через производные смещения щ, по-видимому, целесообразно выбирать аппроксимацию для усилий на порядок ниже, чем для перемещений (линейные перемещения — постоянные усилия, квадратичные перемещения — линейные усилия и т. д.). [c.56]

Число базисных функций т при расчете континуальной кон> струкции обычно не определяется условиями задачи, а назначается как один из параметров расчетной модели конструкции. Если при размерности пространства L, равной 6я, задать таким же и число базисных (линейно независимых) функций, это будет означать, что все пространство совместно (разрешены любые векторы ё). Но при этом устраняется возможность существования самоуравновешенных напряжений модель конструкции статически определима. Она непригодна даже при большом числе п. Например, моделируя з адачу об изгибе бруса с помощью статически определимой фермы (рис. 7.11, толщина линии пропорциональна усилию в стержне), получим абсолютно неверную модель усилия в стержнях, определяемые только условиями равновесия, могут быть самыми различными в зависимости от типа фермы. Статически неопределимая конструкция дает в этом случае уже вполне адекватную модель (рис. 7.11, е). [c.162]

Выше было показано, что в процессе ортонормализации базиса из большого числа базисных функций можно отобрать меньшее, отбрасывая близкие к линейно зависимым. Это наталкивает на мысль, нельзя ли, задав набор базисных функций так же, как это принято в МКЭ, затем его сократить, выбрав наилучшие комбинации из задаваемых Это позволило бы решить проблему выбора базисных функций, и в то же время число т можно было бы принимать произвольно, соизмеряя желаемую точность с располагаемым временем счета. Не будем останавливаться на выводе формул МКЭ, он хорошо известен [26, 75]. Так и иначе, при решении неупругой задачи методом дополнительных деформаций с использованием МКЭ получаем матрицы, необходимые для реализации обычного процесса упругого решения [c.222]

Рассмотрим сначала применение метода Релея — Ритца к принципу стационарности потенциальной энергии. Будем следовать известной процедуре этого метода и выберем систему п линейно независимых допустимых функций u), (х), называемых базисными функциями, которые удовлетворяют (2.81). Предположим, что W — линейная комбинация базисных функций, а именно, что [c.70]

В дальнейшем (обзор работ дан в [14]) этот метод был обобщен для некоторых систем базисных функций Sk, в частности при Sk (f) = для случая квазилинейных гиперболических систем уравнений, и хорошо зарекомендовал себя при решении ря да сложных пространственных задач газовой динамики. Оказалось, что коэффициенты go gi определяются геометрией поверхности (7) (в том числе и для многомерного слу чая), коэффициент д2 — из нелинейного уравнения первого порядка, а последующие коэффициенты — из линейных дифференциальных уравнений. Применение специаль ных независимых переменных позволило для большой серии пространственных задач газовой динамики проинтегрировать в квадратурах системы уравнений для gk и полу чить их явные представления. Решение конкретных задач показало быструю сходимость зядов (6) и возможность их применения для описания зон течения газа с большими гра диентами газодинамических величин, в частности, в зонах сильных волн разрежения, расчет которых с высокой точностью обычными численными методами весьма труден. [c.20]

Интерполяционные функции являютсячаппаратом для построения весьма полезных криволинейных базисных функций. Снова простейшим введением в технику их применения может быть исследование линейных внутренних ячеек, на этот раз параллелограммов (в двумерном случае) и параллелепипедов (в трехмерном). [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...