Методы решения нелинейных краевых задач

Использование численных методов предполагает наличие уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние данной конструкции при линейной связи напряжений и деформаций (с учетом температурных градиентов) или конечно-разностный аналог этих уравнений методов решения нелинейных краевых задач [c.176]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Решение нелинейных краевых задач механики деформируемого твердого тела осуществляется в этом случае численными методами (см. гл. 8) с использованием модельных представлений или обобщенных кривых циклического и длительного циклического деформирования ГЗ—7]. Если для оценки прочности и ресурса предполагается использование нормативных подходов [2], расчет напряжений проводится для основных режимов эксплуатационного нагружения и их многочисленных комбинаций с тем, чтобы выявить ситуацию с максимальными амплитудами напряжений и наибольшими повреждениями (см. гл. И). Для сокращения объема выводимой информации в этом случае анализ напряжений и деформаций осуществляется для заранее заданного набора сечений (типа 1 — il, 2 2 по рис. 12.1). [c.256]

При решении нелинейной краевой задачи для зоны концентрации используют аналитические, численные и экспериментальные методы. Эти методы яв-ляются весьма трудоемкими и поэтому в инженерных расчетах наиболее эффективны приближенные аналитические решения, связывающие теоретические коэффициенты концентрации аа и коэффициенты концентрации напряжений Ка И деформаций Ке в неупругой области [c.166]

Кузнецов В.В., Петров В.В. Использование метода возмущения области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин [c.212]

При решении задач такого класса широко применяют шаговые методы, сводящие решение исходной задачи к последовательности решений нелинейных краевых задач на временных слоях. Наибольшее распространение получили одношаговые методы (приращений, прогноза и коррекции). В настоящее время применяют также многошаговые методы (методы Адамса), хотя они не являются само-стартующими. При этом используют как явные, так и неявные схемы. [c.249]

В случае применения всех этих методов к решению нелинейных краевых задач для коэффициентов (для нестационарных задач часто берут (t)) вместо (11) [c.21]

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [c.314]

Практическое применение изложенного метода определения разрушающих интенсивностей давления для всех компонентов композита и всех слоев оболочки требует организации вычислительного процесса, включающего в себя 1) решение линейной задачи прочности и формирование на ее основе начального приближения 2) выполнение цикла длины 2т (т — общее число слоев оболочки), на (2к — 1)-м и 2 -м шагах которого (к = 1, 2,. .., т) определяются нагрузки начального разрушения связующего и армирующих волокон -го слоя по итерационным формулам (8.3.11), (8.3.12). Всякое применение последних требует решения нелинейной краевой задачи (8.3.5), (8.2.7а) при соответствующем значении параметра А. Это решение строилось итерационным методом, изложенным в гл. 7, причем в качестве начального приближения принималось решение линеаризованной задачи, а возникающие на каждой итерации линейные краевые задачи (7.5.11) эффективно интегрировались методом инвариантного погружения. Принятые начальные приближения оказались (см. ниже) весьма близкими к истинным и обеспечили [21] быструю сходимость всех итерационных процессов. Нагрузка начального разрушения Р композитной оболочки определялась по формулам (2.2.8). [c.242]

В отличие от использованных ранее точетаний методов конечных разностей, конечных элементов, локальных вариаций с итеративными процессами, в настоящей монографии построена методика, базирующаяся на линеаризации краевых задач, сведение их к ряду задач Коши и метод ортогональной прогопкн С. К. Годунова. Главным в ней, однако, является не тот или иной конкретный метод решения нелинейной краевой задачи, а исключение контактного давления из числа неизвестных функций введением его явной связи с поперечным обжатием податливого слоя между оболочкой и штампом или самой оболочки. В задачах о контакте оболочки с вниклеровым основанием такая связь возникает естественным образом, при изучении взаимодействия оболочки со штампом она вводится ранее, чтобы выразить прогиб через контактное давление. [c.3]

Решение нелинейных краевых задач обычно строится с помош ыо различных итерационных методов, основанных на известных методах последовательных приближений. Выбор метода неоднозначен, он зависит и от характера самой краевой задачи, вида входя-Едих в нее дифференциальных уравнений, степени нелинейности, и от возможностей используемой для решения ЭВМ. [c.158]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

Для неньютоновских жидкостей квазиодномерные уравнения могут быть построены практически теми же методами, что и для ньютоновской. Например, для нелинейно-вязких жидкостей изменениям подлежат только соотношения (2.7) и (2.8), где следует учесть зависимость от (0, t) и g L t) соответственно, и замыкающие соотношения (4.5) и (4.8) [6]. Процедура их получения может быть основана на решении нелинейной краевой задачи div(/ Vг )Vг ) = дрс/дх U p i ) = U wi ) заменяющей (4.1). В частности, для жидкостей со степенным реологическим законом f(a) при = 0 заведомо получим степенные зависимости иГгот и7 . [c.651]

Десятая глава посвящена проблеме изучения и использования условий устойчивого закритического деформирования материалов в элементах конструкций. Рассмотрены наиболее простые деформируемые тела, допускающие аналитическое решение нелинейной краевой задачи. Полученные решения, иллюстрируя закономерности изучаемого механического явления, являются, кроме того, элементами методического обеспечения некоторых зкспериментальных исследований. Показано, что обеспечение условий равновесного накопления повреждений на закритической стадии деформирования является способом использования резервов несущей способности, которые могут быть весьма значительными, и целью оптимального проектирования конструкций на базе соответствующего развития численных методов решения кргъевых задач механики. Рассмотрен вопрос оценки устойчивости накопления повреждений на закритической стадии деформирования при решении краевых задач методом конечных элементов. Приведены аналитические и численные решения краевых задач, иллюстрирующие процессы развития зон разупрочнения в деформируемых телах. Обсуждается методология прочностного анализа на основе понятия "катастрофичность разрушения . [c.13]

Возможны различные подходы к решению нелинейных краевых задач. Широкое распространение здесь получили проекционные и вартационные методы типа методов Бубнова и 1 тца, а также разностные и вартацион-но-разностные методы, такие как метод конечных разностей и метод конечных элементов. С помощью всех этих методов нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с параметром, для решения которых непосредственно применимы алгоритмы продолжения решения по параметру, разработанные в гл. 1. Такие подходы предлагались А.А. Курдюмовым [232], И.И. Во-ровичем и В.Ф. Зипаловой [69] и др. [c.83]

С , р] R 4-1 В регуля1 1ых и предельных точках множества решений нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1 2) rang(/) =/, поэтому подпространство в R/+1, которому принадлежат решения уравнения (3.1.15), одно-мерто. В дальнейшем под с будем понимать орт этого подпространства. Как было показано в 1.1, определение с из уравнений (3.1.15) методом ортогонализации устраняет различия между регулярными и предельными точками и равносильно использованию на каждом шаге продолжения решения такого параметра, который обеспечивает максимальную обусло в-ленность систем уравнений (3.1.15). Для операции нахояоденияединичного вектора с,, ортогонального векторам-строкам матрицы /, воспользуемся обозначением (1.1.24) [c.86]

Б у т е н к о В.Ю, Использование метода продолжения решения по параметру для решения нелинейных краевых задач теории тонких пластин // Теория автоматизированного проекпфования Сб. статей. - Харьков, 1980. - № 2. - С. 97-100. [c.203]

Кузнецов В.В. Фюленное решение нелинейных краевых задач осесимметричного деформирования непологих оболочек врашекия//Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек Сб. статей. - Саратов, 1981. - С. 73 - 74. [c.212]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...