Решение Гамильтона общих уравнений движения

РЕШЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.354]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там характеристической функцией эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз главной функцией . Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) [c.257]

С этим согласуется положение, заключающееся в том, что, найдя полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, соответствующий динамической задаче (консервативной), можно найти общее решение уравнений движения Лагранжа из равенств [c.302]

Гамильтона—Якоби, что, как мы знаем, позволяет определить общее решение уравнений движения (предыдущая глава, п. 35), квадратура выполняется. Мы отложим доказательство этого положения до п. 26, где речь будет идти о лагранжевых системах общего вида. [c.404]

В предыдущем изложении были отмечены те условия, при которых функция Гамильтона и обобщенные импульсы остаются постоянными при движении системы. Согласно одной точке зрения, постоянство импульсов является следствием того обстоятельства, что координаты оказываются циклическими главный результат здесь заключается в том, что соответствующие уравнения движения (Лагранжа или Гамильтона) можно сразу проинтегрировать. Согласно другой точке зрения, такое постоянство само по себе рассматривается как важное свойство системы. Последняя точка зрения широко распространена в наиболее важных приложениях данного метода к современной физике, и приемлемое решение задачи может состоять в определении всех интегралов движения. В общем смысле термин интеграл движения применяется к любой динамической переменной [c.67]

Остановимся на одном обстоятельстве, требующем пояснения. Функции R ш S зависят лишь от двух постоянных h и а, между тем общее решение уравнений движения Лагранжа или Гамильтона для системы с двумя степенями свободы должно содержать четыре постоянные. Выясним значение двух опущенных постоянных, а также установим, почему они играют второстепенную роль в теории классификации траекторий. [c.308]

Гамильтон говорил если функция У известна, то остается только исключить Я из 3 + 1 уравнений (25а), (25с) для того, чтобы получить все Зп первых интегралов, или из (25Ь) и (25с) для получения всех Зп конечных интегралов дифференциальных уравнений движения в конечном счете это сводится к получению Зп искомых соотношений между 3 переменными координатами и временем, включающих, следовательно, массы и 6п вышеупомянутых начальных данных открытие этих соотношений явится общим решением общей проблемы динамики ). [c.819]

Принципы не всегда вносят новое физическое содержание в механику или упрощают практическое решение механических задач. Тем не менее они в ряде случаев более удобны для общего анализа движения механических систем. Так, интегральные принципы Гамильтона и Якоби позволили построить такой метод интегрирования уравнений динамики, благодаря которому было решено много задач, представлявшихся до того неразрешимыми. [c.501]

Этот пример показывает, что ничего нового по сравнению с уравнениями Лагранжа канонические уравнения движения не представляют. Действительно, и уравнения (33.11), и уравнения (33.14) совпадают с соответствующими уравнениями движения Лагранжа и Ньютона, а остальные уравнения (т. е. уравнения (33.12), (33 15)) являются следствиями определения обобщенных импульсов. И вообще, трудно указать такую динамическую задачу, которую нельзя было бы решить, пользуясь уравнениями Лагранжа, и для решения которой следовало бы обратиться к каноническим уравнениям движения (33.4). Действительное преимущество метода Гамильтона, если говорить о самой классической механике, состоит в том, что он позволяет существенно упростить рассмотрение некоторых общих проблем механики (например, проблемы отыскания интегралов движения). Но главное преимущество метода Гамильтона состоит все-таки в том, что он дает необходимую математическую основу для построения квантовой механики и статистической физики. [c.191]

Согласно теореме Остроградского — Гамильтона — Якоби для построения общего решения уравнений движения консервативной системы достаточно найти лишь полный интеграл упомянутого уравнения [40] . [c.6]

Однако формализм скобок Пуассона позволяет не толь-ко элегантно записать уравнения механики, но и выписать их общее решение, конечно в виде разложения в ряд, параметром малости которого является время, протекшее с начала движения. Чтобы показать это, ограничимся сперва случаем, когда функция Гамильтона не зависит от времени явно, и будем искать зависимость от времени произвольной динамической переменной /(р, д), также не зависящей явно от времени, т. е. описываемой уравнением движения (60а). [c.117]

Общий интеграл и ход движения. Определив для уравнения Гамильтона — Якоби Н=Е полный интеграл (120), мы получим согласно правилу п. 38 общее решение канонической системы, если, определив значения Wji по формулам (125), подставим полный интеграл в уравнения (74а) п. 88, определяющие траекторию, и в уравнение (74б), определяющее закон движения по этой траектории. Таким образом, принимая во внимание выражение (133 ) для величины и [c.341]

Задачи построения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби и общего интеграла канонической системы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, математически эквивалентны. Степень трудности их, вообще говоря, одинакова. Однако может быть отмечен ряд частных случаев, когда уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться более податливым, чем каноническая система. Об этом говорится в п. 10.14. Более важно то обстоятельство, что решение (10), получаемое с помощью теоремы Якоби, является каноническим преобразованием, а это, как мы увидим в главе 11, значительно упрощает форму уравнений возмущенного движения. [c.537]

Гамильтонов подход в теории сингулярно-возмущенных уравнений существенно упрощает вычисления. Более того, необходимость оставаться в группе движений кососимметричной метрики позволяет построить единый алгоритм общего решения [1, 126]. [c.463]

Характерно, что для получения такого общего решения нам необходимо предварительно полностью решить систему уравнений Гамильтона, т.е. задачу о чисто механическом движении систем, от рассмотрения которой мы по ряду причин уже отказались. [c.27]

Применение криволинейных координат общего вида мы рассмотрим в части курса, посвященной аналитической механике в аналитической статике и в главах, содержащих уравнения Лагранжа 2-го рода и уравнения Гамильтона. В этой главе рассмотрим лишь полярные координаты точки на плоскости, координаты весьма удобные для решения многих задач динамики точки, например, задач о движении точки в центральных силовых полях. [c.15]

Ньютон (1642—1727). На основе более ранних исследований Леонардо да Винчи и Галилея Ньютоном были сформулированы основные уравнения движения. Были введены такие фундаментальные понятия, как импульс и действующая сила. Ньютонов закон движения решил задачу о движении изолированной частицы. Он мог также рассматриваться как общее решение задачи о движении, если только согласиться разбивать любую совокупность масс на изолированные частицы. Возникла, однако, трудность, связанная с тем, что не всегда были известны действующие силы. Эта трудность была частично преодолена с помощью третьего закона Ньютона, провозгласившего принцип равенства действия и противодействия. Это исключило неизвестные силы в случае движения твердого тела, однако движение механических систем с более сложными кинематическими условиями не всегда поддавалось ньютонову анализу. Последователи Ньютона считали законы Ньютона абсолютными и универсальными законами природы, интерпретируя их с таким догматизмом, к которому их создатель никогда бы не присоединился. Это догматическое почитание ньютоновой механики частиц помешало физикам отнестись без предубеждения к аналитическим принципам, появившимся в течение XVHI века благодаря работам ведущих французских математиков этого периода. Даже великий вклад Гамильтона в механику не был оценен современниками из-за преобладающего влияния ньютоновой формы механики. [c.387]

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора—Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Галгильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.827]

Не применяя никаких приближений, основанных на малости возмущающего гамильтониана, общую задачу возмущенного движения можно прставить в следующем виде пусть дано решение канонических уравнений [c.387]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Лагранж (Lagrange) Жозеф Лг/ (1736-1813) — выдающийся французский математик и механик, В1754 г. стал профессором артиллерийской школы. Основатель знаменитой Туринской академии. В 1766-1787 гг. преподавал в Берлинской академии наук. В 1787 г. переехал в Париж, где до конца жизни был профессором Нормальной школы и Политехнической школы. В 1788 г, издал знаменитую книгу Аналитическая механика , которую У. Р. Гамильтон назвал научной поэмой . Развил основные понятия вариационного исчисления и предложил общий аналитический метод для решения вариационных задач. Придал уравнениям движения форму, названную его именем, В Аналитической механике значительное место занимают вопросы механики сплошной среды (гидростатика, гидродинамика, теория упругости). Автор ряда фундаментальных работ по математическому анализу, теории чисел, алгебре, астрономии, картографии и др. [c.38]

В этой главе мы свели дифференциальные уравнения промежуточного движения к квадратурам и рассмотрели в общих чертах качественную сторону задачи. Для решения уравнений движения был использован метод Гамильтона — Якоби [1]. Другой способ интегрирования, основанный на использовании регуляризирующего времени, был предложен в работах Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина и автора [2], [3]. [c.66]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Общая теория дисперсии цугов медленно меняющихся нелинейных волн была предложена Уиземом [7, 8]. Она основана прежде всего на допущении, что цуги волн локально представляют собой однородные решения уравнений движения, пользуясь которыми можно вычислить средний лагранжиан через волновые параметры. Уравнения, описывающие медленные изменения этих параметров, выводятся затем из принципа Гамильтона, т. е. из требования стационарности интеграла по времени от лагранжиана всей системы. [c.195]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Завершающий 6.5 главы посвящен управляемому движению гиперона и аналитическому интегрированию гиперреактивных уравнений в центральном гравитационном поле. Показывается, что управляемое ускорение силы тяги может быть выбрано оптимальным по энергетическим затратам, причем гамильтонов функционал качества на оптимальной траектории принимает постоянное значение, обеспечивая тем самым консервативность системы и выполнение закона сохранения энергии. Решение задачи в этом случае доводится до общего интегрирования в квадратурах по методу Гамильтона-Якоби. [c.175]

Общее решение уравнений промежуточного движения в этом случае также может быть найдено методом Гамильтона — Якоби. Оно получено в работе [26]. Приведем здесь первые интегралы задачи Акс неса. Они таковы [c.580]

Если возмущение е не очень мало, то существенную роль играют вторичные резонансы [см. (2.4.9) ], которые изменяют или разрушают адиабатический инвариант J Это резонансы между гармо" никами фазовых колебаний на первичном резонансе (п. 2.4а) и невозмущенными колебаниями основной частоты со 2- В адиабатическом пределе их структура показана на рис. 2.9, а. Устранение малых знаменателей вторичных резонансов можно провести по общей схеме п. 2.4а, хотя здесь имеются, как будет видно ниже, некоторые дополнительные особенности. Начнем с усредненного гамильтониана (2.4.10), в который необходимо ввести новые переменные действие — угол (Iфх) для фазовых колебаний. Вместо решения уравнения Гамильтона—Якоби (1.2.50) исследуем, как и в п. 2.2а, движение в окрестности центра резонанса с помощью теории возмущений. Обозначим через /Со преобразованный гамиль тониан и, следуя логике принятых обозначений, будем писать [c.130]

Закончим этот параграф применением наших результатов к ла-гранжевым решениям ограниченной задачи трех тел. Эти решения, которые мы изучали применительно к общей задаче трех тел, сохраняют свое значение также и для ограниченного случая. Мы предполагаем, что Pi, Рг — частицы масс /i, 1 — соответственно, и рассматриваем движение точки Рз нулевой массы во вращающейся системе координат, в которой Pi, Р2 неподвижны. При этих условиях уравнения для координат (xi, Х2) точки Р3 имеют гамильтонов вид [c.330]

Первые общие теоремы касаются движения центра массы н были даны Ньютоном в Началах . Десять интегралов н теоремы, к которым онн приводят, были известны Эйлеру. Следующим общим резуль ятом было доказательство существования и рассмотрение свойств неизменной плоскости Лапласом в 1784 г. В зимнем семестре 1842 4i г. Якоби прочел курс лекций по дишмнке в Кенигсбергском университете. В этом курсе он привел результаты некоторых очень важных исследований интегрирования диференциальных уравнений механики. Во всех случаях, когда силы завися г от одних координат и когда существует потенциальная функция (условия, выполненные в задаче я тел), он доказал, что если все интегралы, кроме двух, найдены, то последние два могут быть всегда найдены. Он также показал, развивая некоторые исследования В. Гамильтона, что задача может быть приведена к решению диференциального уравнения с частными производными, порядок которого в два ряза меньше порядка первоначальной системы. Лекции Якоби опубликованы в дополнительном томе к собранию его сочинени.1. Они очень важны сами по себе, а также абсолютно необходимы как вступление к чтению составивших эпоху мемуаров Пуанкаре и должны быть доступны для каждого изучающего небесную механику. [c.246]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...