Интегралы канонической системы

Предположим, что интегралом канонической системы дифференциальных уравнений (132.5) является функция вида [c.374]

Теорема Остроградского — Якоби, на которой основывается предложенный ими метод, формулируется так если известен полный интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то 2s независимых интегралов канонической системы уравнений (132.5) имеют следующий вид [c.382]

Соотношения (139.3) и (139.4) показывают, что интегралы канонической системы уравнений получаются дифференцированием полного интеграла по обобщенным координатам и произвольным постоянным. [c.383]

Каким способом по двум известным интегралам канонической системы уравнений можно найти третий интеграл [c.390]

Будут ли скобки Пуассона (ф, Н) интегралом канонической системы уравнений в том случае, если функция ф не зависит явно от времени [c.390]

Как по методу Остроградского—Якоби получаются интегралы канонической системы уравнений [c.390]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Напомним, что первым интегралом канонической системы дифференциальных уравнений движения называется функция времени и канонических переменных, превращающаяся в постоянную величину на основании дифференциальных уравнений движения, т. е. после замены q, . ... р, . ... pN функциями [c.366]

Следовательно, каждый первый интеграл системы канонических уравнений удовлетворяет уравнению (11.363). Справедливо и обратное утверждение каждая функция, удовлетворяющая уравнению (11.363), является первым интегралом канонической системы. Чтобы доказать это утверждение, достаточно произвести приведенные выше вычисления в обратном порядке, исходя из уравнения (11.363). Рекомендуем читателю это выполнить самостоятельно. [c.367]

Эти соотношения представляют собой к первых интегралов канонической системы. Значения р, которые находим из этих уравнений, обращают в полный дифференциал выражение [c.251]

Эта теорема является почти непосредственным следствием тождества Пуассона—Якоби. Действительно, предположение, что функции /и /2 являются интегралами канонической системы (5), выражается уравнениями (п. 21) [c.275]

Этим соотношениям удовлетворяют, таким образом, интегралы канонической системы, находимые по способу Гамильтона. [c.28]

Если функция / и (р являются первыми интегралами канонической системы уравнений Гамильтона, то скобки [c.225]

Соотношение (46) является первым интегралом канонической системы уравнений и выражает закон сохранения механической энергии. [c.515]

Задача интегрирования системы (74) состоит в нахождении канонических переменных р2,. .ps, йи Яъ > s, в функции времени и 25 произвольных постоянных. Первым интегралом канонической системы дифференциальных уравнений назЫ вают соотношение вида [c.517]

Легко видеть, что к соотношений вида (80) представляют собой систему к первых интегралов канонической системы, так как для них условие (79) тождественно удовлетворяется. Заметим, что обобщенные координаты системы весьма желательно выбирать таким образом, чтобы возможно большее число этих координат было циклическим. Например, при изучении движения точки под действием центральной силы полярные координаты выгоднее декартовых, так как угол (р будет циклической координатой. Если система обобщенных координат выбрана так, что все обобщенные координаты являются циклическими, то мы получим S первых интегралов канонической системы в виде [c.519]

Применяя теорему Остроградского, мы можем 2з первых интегралов канонической системы представить в виде уравнений [c.523]

Пуассон доказал при помощи скобок следующую весьма важную теорему об отыскании первых интегралов канонической системы уравнений (74). Если [c.528]

Будучи постоянными, эти выражения представляют все 2м интегралов канонической системы уравнений (1). Поэтому, согласно теореме Пуассона, любая из скобок Пуассона [c.533]

Теперь предположим, что нами взята не любая система 2м независимых интегралов канонической системы уравнений (1), а ее полный интеграл Коши. Это значит, что постоянные и определены как значения обобщенных координат и импульсов в некоторый момент времени t = t [c.533]

Для доказательства теоремы необходимо убедиться в том, что (27.6 а), (27.66) представляют интегралы канонической системы (27.5). [c.279]

Первые интегралы ),..., канонической системы находятся в инволюции, т. е. скобки Пуассона (/ , // .) = = О (г, А = 1, ш). Показать, что первые интегралы вида Ф(/1, /2, . . . , /т) и (/1, /2, , /т) также находятся в инволюции. [c.214]

Функция /(q, р, ) является первым интегралом канонической системы с гамильтонианом Я(q, р, 1). Доказать, что интеграл [c.227]

Вообще редко когда удается отыскать какие-либо другие интегралы канонической системы общего вида, кроме уже указанных. Однако полезно иметь в виду важное свойство интегралов канонической системы, выражаемое так называемой теоремой Пуассона. [c.295]

Тогда условие, что Ф = С является первым интегралом канонической системы (6.32), можно записать в виде [c.295]

Уравнение (6.98) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных. Если известны интегралы канонической системы, то определяется и общее решение уравнения (6.98). Произвольная функция независимых интегралов канонической системы уравнений, имеющая непрерывные производные, является общим решением уравнения (6.98). [c.174]

М. В. Остроградский и независимо от него Якоби рг работали метод, применение которого к нахождению интегралов канонической системы уравнений (133.5) во многих случаях оказывается проще непосредственного интегрирования этой системы уравнений. [c.569]

Какое свойство интегралов канонической системы уравнений устанавливается теоремой Пуассона [c.575]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

Покажем, что интегралы канонической системы дифференциальных уравнений движения можно определить через главную функцию Х. Для этого рассмотрим вариацию функции W, предполагая, что из.иенение этой функции вызвано изменением начальных условий движения. Этот способ варьирования принадлежит М. В. Остроградскому. [c.369]

Если в формулах (64) теории преооравований прикосновения в х ш р мы заменим всюду х , Xi, pi, Pi, ф соответственно через а , q , — 6 , р , S, то формулы (64) перейдут в формулы, определяющие интегралы канонической системы через главную функцию Гамильтона. Что же касается формул (69), то, поскольку значение параметра t было взято произвольно, в этих формулах li, можно заменить через [c.35]

Если ф не содержит времени в явном виде, то (ф, Я)=0 и нового интеграла получить нельзя. Следовательно, в тех случаях, когда скобка Пуассона тождествеино равна нулю, теорема Пуассона не дает новых интегралов канонической системы. [c.529]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...