Общее решение для клина

Двумерные и трехмерные задачи, рассмотренные в примерах I и II, являются частными случаями общей задачи для клина с углом раствора тс/т, где т — любое целое положительное число. Рассматривая эту задачу, мы ограничимся случаем двух измерений, т. е. рассмотрением линейного источника в точке (х, у ), причем ребро клина совпадает с осью z. Решение трехмерной задачи с точечным источником в точке (х, у, z ) и распространение полученного решения на более общий случай любой начальной температуры не представляют трудностей. [c.271]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Разработан новый аналитический метод расчета обтекания тел вращения и плоских контуров потоком идеального газа с большой сверхзвуковой скоростью. Метод основан на представлении решения уравнений газовой динамики в виде рядов по степеням (7 — 1)/(7-Ь1), где 7 — отношение теплоемкостей. Получены в общей форме выражения первых двух членов этих рядов для основных газодинамических величин составляющих скорости, давления и плотности. Точность приближенных решений, основанных на сохранении первых двух членов рядов, оценена путем их сравнения с точными решениями для обтекания клина и конуса. Установлено, что для 7 = 1.4 метод может быть использован при значениях параметра подобия К = = М 8Ш(Т > 3-4. [c.51]

Множитель при каждой степени г в этих выражениях заключает четыре произвольные постоянные. Дл их определения мы будем иметь всего четыре условия, так как напряжения 00 и г0 заданы на обеих гранях клина. Например, в случае равномерного нормального давления р по грани ОА берем иа общего решения (а) члены, не заключающие г. Условия на поверхности дадут нам для определения произвольных Ь , уравнения [c.101]

При выбранном чисто радиальном распределении напряжений (72) по сечениям, перпендикулярным к пластинке и проходящим через точку приложения силы, нет никаких напряжений. Следовательно, мы можем воспользоваться нашим решением для напряжений в клине, подвергающемся действию силы Р, сосредоточенной в вершине При этом нужно будет только соответствующим образом выбрать коэффициент к в общем решении (Ь). Возьмем, например, случай симметричного клина (рис, 38). Если предположить, что в каждой точке действует простое радиальное сжатие гг — [c.107]

Ввиду громоздкости, общее решение здесь не приводится. Для клина постоянной толщины (Н(х) = Н, а = -Ь) интегралы в общем решении пропадают и оно расщепляется на задачу о нагруженной бесконечно тонкой вставке [17] и задачу о расклинивании, в которую параметры Р, М и уже не входят. Решение дается формулами [c.657]

Решение задачи ищем в классе функций Hq [12] с оценками поведения в конечных особых точках (4) и убывающих на бесконечности сильнее, чем /z. Аналогично предыдущему, для приведения задачи к стандартной форме снимем неоднородность в скачках смещений на участке х < 1 рассмотрением вспомогательной задачи для функций Затем для функций Xi хЬ Х2 Х2 Х в верхней полуплоскости 2 возникает задача, сходная с задачей (5), (6). Изменение сводится к замене элемента q в верхней строке матрицы Н на элемент р = Ьц+ bi2, а элемент q в нижней строке этой матрицы вычисляется теперь как q = bji + bjj- Две действительные постоянные — угол (f и постоянная q, входящая в общее решение соответствующей однородной задачи, — определяются из условия равенства нулю момента сил, приложенных со стороны среды к клину, и задания скачка смещений в каком-либо его сечении. Дополнительные условия в форме неравенств подлежат проверке апостериори и являются, в частности, ограничениями на форму клина. При их нарушении следует, как и в статике, изменить постановку задачи введением неизвестных точек отрыва среды от щек клина. [c.659]

Распор арки, вызываемый произвольной симметричной нагрузкой, можно определить при помощи формулы (25). Точные значения входящих в нее интегралов могут быть, однако, найдены только для некоторых случаев в общем же приходится удовлетвориться приближенным решением при помощи формулы Симпсона, применяя ее для двух полуарок, разбитых на равное число клиньев. [c.458]

Задача о диффракции плоских и поверхностных волн на импедансном клине допускает строгое решение (см. работы [53], [54] и [55], а также статьи [56] и [57], в которых рассмотрена диф-фракция цилиндрической волны на импедансном клине). Это решение является в общем случае довольно громоздким, однако из него можно получить ряд численных результатов и простые формулы для величин, имеющих физический интерес. Так, при равенстве реактивных импедансов граней [c.349]

Вопрос о единственности решения прямой задачи в общем случае остается открытым. Дадим простое доказательство для частного случая обтекания конечного клина звуковой струей в рамках уравнения Трикоми [c.299]

Рассмотренные выше подобные решения уравнений пограничного слоя охватывают сравнительно узкий класс течений, который почти полностью исчерпывается приведенными примерами продольного обтекания плоской пластины, плоского и осесимметричного течений вблизи критической тб ки, течения около клина и течения в суживающемся канале. Способ расчета пограничного слоя для общего случая двумерного течения около цилиндрического тела с осью, перпендикулярной к направлению течения, впервые был дан Г. Блазиусом [ ]. Впоследствии этот способ был [c.161]

В общем случае решение задачи о входе тела в жидкость представляет большие математические трудности. Простейшими задачами подобного рода являются равномерное погружение прямолинейных клина и кругового конуса в невесомую жидкость, которые автомодельны. Для этих задач, а также в случае погружения слабо искривленных профилей. используются различные приближенные подходы, основанные на методе Вагнера [250, 251]. В точной постановке решение задачи об автомодельном погружении клина было получено 3. Н. Добровольской [46, 49, 167] с использованием ЭВМ. [c.73]

На рубеже XX века появился новый раздел математической физики — математическая теория дифракции, были получены строгие решения задач о дифракции на клине, сфере и бесконечном цилиндре. Впоследствии к этому прибавились другие строгие решения, однако общее число решений сравнительно невелико. Для достаточно коротких волн (по сравнению с размерами тела или другими характерными расстояниями) эти решения, как правило, неэффективны прямые численные методы здесь также становятся непригодными. [c.3]

Получаются также очень сильные ограничения на критические точки коранга > 1. Если существует решение ( г > 0) уравнений Ландау, то всякое достаточно близкое решение также будет положительным, и, применяя предыдущее рассуждение, мы для критической точки коранга г получим [г— )-параметрическое семейство гиперплоскостей, опорных по отношению к видимому контуру. Итак, всякая особенность коранга >1 имеет вид клина (ср., например, рис. 23). Но это совсем не тот вид, который имеют особенности общего положения по Тому (определение которых мы напоминаем в приложении I). Следовательно, особенности коранга >1 для графов мно- [c.56]

Уравнения двумерного пограничного слоя являются уравнениями параболического типа. Общие свойства уравнений двумерного пограничного слоя сохраняются и для пространственного пограничного слоя. Это означает, что главный механизм, определяющий характер течения в направлении, перпендикулярном к стенке, является механизмом диффузии момента количества движения и диффузии потока тепла в сжимаемых средах. Произвольное возмущение мгновенно передается поперек пограничного слоя, так как в этом направлении скорость диффузии бесконечно велика. Произвольное возмущение в пограничном слое распространяется вдоль линий тока с конечной скоростью. В трехмерном пограничном слое возникает понятие о зоне зависимости и о зоне влияния [14]. Возмущение, возникающее в некоторой точке пограничного слоя, распространяется не на всю его область, а только на пространство влияния этой точки. Область зависимости и область влияния определяются в виде клина, образованного двумя поверхностями, перпендикулярными к поверхности, проходящей через предельную линию тока на теле и линию тока внешнего течения. Угол между двумя поверхностями задает максимальный угол разворота вектора скорости в плоскости, касательной к поверхности тела. Когда угол между двумя поверхностями стремится к нулю, предельные линии тока имеют то же направление, что и линии тока внешнего течения, и области зависимости и влияния вырождаются в одну поверхность, перпендикулярную к поверхности тела. Если начальные условия заданы на некоторой поверхности, перпендикулярной к поверхности тела, т. е. известны составляющие скорости (в несжимаемой жидкости) и температура или энтальпия (в сжимаемом газе), тогда решения уравнений пространственного пограничного слоя можно найти только в некоторой области, определяемой областью, которая зависит от начальных данных на поверхности. Правильную картину течения в пограничном слое, особенно вблизи отрыва , можно построить только с учетом перетекания жидкости, т. е. зон зависимости и зон влияния. [c.135]

Очень важные результаты по проблеме движения тел в плавящейся среде были получены Г.Г. Черным в 1980—1990 гг. [34-36]. Эта проблема связана с задачей проникновения горячих тел в твердые, например, ледяные массивы, с задачами металлургии, с общими задачами тепло- и массообмена. Г.Г. Черным предложена наиболее общая физико-математическая модель, включающая уравнение теплопроводности для твердого тела, уравнения пограничного слоя для расплава и соотношения на заранее неизвестной поверхности раздела. Для случая малой толщины плавящегося слоя развит асимптотический метод решения указанных уравнений. На его основе рассмотрены такие интересные случаи общей проблемы, как слой расплава под брусом, прижатым к горячей движущейся пластине, движение клина и кругового цилиндра в плавящейся среде, [c.7]

Первый достаточно общий подход к плоским задачам содержится в трактате А. Кдебша Теория упругости твердых тел S где он рассмотрел, в частности, плоскую задачу для круглой пластинки. Решение весьма интересной задачи об изгибе кривого (очерченного по дугам концентрических окружностей) бруса было дано в 1881 г. X. С. Головиным С другой стороны, еще в 1862 г. Дж. Эри обнаружил существование функции, получившей впоследствии его имя, вторые производные от которой определяют компоненты напряжений в плоской задаче при отсутствии объемных сил. Дж. Максвелл указал что эта функция удовлетворяет бигармоническому уравнению. Глубокие исследования плоских задач были проведены в 1899—1900 гг. Дж. Мичеллом который продолжил исследование Максвелла о зависимости решений от упругих констант материала и дал, в частности, решение для клина, нагруженного сосредоточенной силой в вершине. [c.57]

Применяя общую теорию к частным случаям ), Мичелл исходит из простого радиального распределения напряжений, найденного Буссинеском и Фламаном (см. стр. 398). Таким путем он приходит к решениям для полубесконсчной пластинки при условии, если сила действует под некоторым углом к прямолинейному краю пластинки, а также для клина, нагруженного в вершине (рис. 172). Заключение о точности формулы для простой балки может быть [c.422]

В случае изгиба клина (рис, 39) мы можем воспользоваться прежним решением (Ь). Угол 0 отсчитываем от направления силы Р. Находим, что по линии Ох напряжения обрапцаются в нуль — здесь пройдет нейтральный слой. Для точек дежаш их выше нейтрального слоя, будем иметь радиальное растяжение, в точках, расположенных ниже нейтрального слоя,— сжатие. Коэффициент к в общем решении (Ь) определится из уравнения [c.108]

Качественно более сложным для математического рассмотрения оказались задачи расклинивания вдоль прямой границы раздела кусочно-однородной упругой плоскости. Проблема сводится к обобщенной векторной задаче Римана Гильберта с несколькими особыми точками, общее решение которой неизвестно. Аналитические решения одного частного класса таких задач построены И. В. Симоновым [21] и нашли обобщение в работе Е. Л. Нахмейна и Б. М. Нуллера [14] на случаи произвольного числа участков и большего числа типов условий контакта упругих полуплоскостей. Подробно изучены две задачи расклинивания о несимметричном клине конечной длины, нагруженном силой и моментом и вставленном без трения в разрез между двумя сцепленными различными упругими полуплоскостями, [19] и об установившемся движении несимметричного клина по линии склейки с образованием трещины и каверны (дорэлеевский режим) [20]. Методом сращива- [c.654]

В пределах каждой грани тип краевых условий не меняется. Простейшими нртамерами таких смешанных задач являются равновесие упругого слоя, на одной грани которого заданы напряжения, а на другой перемещения, а также аналогичные задачи для клина, полого цилиндра, конуса и др. Решения указанных конкретных задач можно получить по методу интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и т. н. Как указано Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым (1966), общие проблемы подобного типа в принципе сводятся к бесконечным системам уравнений. Эти задачи в настоящем обзоре не затрагиваются. [c.33]

Общее решение [77] можно применить также для выраженных в виде полиномов распределений нагрузки по наклонным граням клина. Определяя составляющие напряжения на основании уравнения [77] обычным путем и беря только члены, содержание г при О, находим следующие выражения для составляющих нзпряжения по восходящим степеням аргумента г. [c.137]

Более трудную задачу представляет собой расчет неавтомодельных пограничных слоев, когда уравнения в частных производных можно проинтегрировать только численно. (Автомодельные решения могут служить хорошей проверкой для численных решений уравнений в частных производных.) Существует обширная литература по этому вопросу, на которой мы не будем останавливаться. Небольшой раздел отведен этому вопросу в книге Шлихтинга [1968]. Блоттнер [1970] дал обзор ссылок по расчету ламинарного пограничного слоя в несжимаемой и сжимаемой жидкости. Ламинарные сжимаемые пограничные слои обсуждаются также в работе Смита и Клаттера [1965]. Патан-кар и Сполдинг [19676] рассмотрели тепло- и массонередачу в турбулентных пограничных слоях несжимаемой жидкости. Для получения решений турбулентного пограничного слоя необходимо (1) выбрать модель турбулентности (или выбрать выражения либо для рейнольдсовых напряжений, либо для длины пути перемешивания Прандтля, либо для вихревой вязкости, или, в наиболее общем случае, записать уравнение для энергии турбулентного движения) (2) вблизи стенки применить локальное решение для течения Куэтта, что обусловлено большими изменениями величин касательных напряжений в турбулентном пограничном слое. В трудах Станфордской конференции (Клини и др. [1968]) приведен обзор работ в этой области по состоянию на 1968 г. [c.451]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Как мы уже говорили, решение данной задачи для малой окрестности любой точки гладкого фронта (рис. 42) можно считать не зависящим от координаты г, отсчитываемой вдоль фронта трещины (рис. 46). Самый общий случай полей деформаций и напряжений у кончина трещины могкио получить путем взаимного наложения напряжений следующих частных видов плоской и антнплоской деформаций (рис. 47). Вид 7 связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна от другой во взаимно противоположных направлениях (так происходит при забивании клина). Вид 77 соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу (так, например, снимает стружку резец токарного станка). Вид 777 связан с антиплоской деформацией (разрезание ножницами), при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины. Решения этих задач, очень сложные в математическом отношении, были получены в пятидесятые годы. Оказалось, что для любых задач теорий упругости поля напряжений и смещений вблизи вершины трещины имеют почти одинаковую структуру. Первыми поняли это английские ученые Дж. Ирвин и М. Вильямс, хотя строгое доказательство общности формул было дано позже. Сейчас мы приведем все формулы, описывающие распределение напряжений и смещений, прпчем многоточия в них ставятся вместо слагаемых, которые пренебрежимо малы по сравнению с выписанными. Мы приводим эти довольно громоздкие выражения совсем ие для того, чтобы лишний раз вызвать трепет перед механикой разрушения. Наша задача — обратить впимаипе на некоторые их общие свойства и постараться сделать для себя поучительные выводы. Все [c.76]

Теорема 3.1 доказывается в следующих параграфах для наиболее типичных канонических задач. В число однородных решений, естественно, входят решения Сен-Венана, которыми мы будем в общем случае называть однородные решения, дающие конечные главный вектор и главный момент. Эти решения получаются из обычной теории изгиба, растяжения и кручения стержней, а также отвечают решениям задач о сосредоточенной силе и сосредоточенном моменте в вершине клина и в вершине конуса (в случае слоя рехиение Сен-Венана соответствует чистому изгибу и однородному растяжению). Однородные реще-ния, не являющиеся решениями Сен-Венана, по определению дают главный вектор и главный момент, равные или нулю, или бесконечности. [c.55]

В монографии В. Л. Рвачева, В. С. Проценко [31] (гл. 4, 2) также рассмотрена задача о клинообразном штампе. Использованный подход к решению этой задачи позволил выявить особенность, которую имеет давление в окрестности вершины клина, а затем приближенно определить гладкую часть решения. В монографии [31] указывается, что аналогичные и несколько более общие задачи с использованием той же идеи были исследованы в работе [42], в которой для нахождения показателей особенности применен вариационный метод в сочетании с методом сеток. [c.141]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распределению смещений соответствует случай так называемой антиплоской деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле, возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова (1961). В отличие от трещин нормального разрыва и трепщн поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь возможно непосредственное применение широко развитых методов и результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидродинамики. В указанной работе были получены точные решения задач для бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами, нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением (аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном. в 1961 г.). Здесь же исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин, расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига, а также трепщн, форма которых мало отличается от прямолинейной или круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь- [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...