Уравнения дифференциальные промежуточного движения

Вторая и третья главы посвящены решению главной проблемы в теории спутника — построению промежуточной орбиты. В них проводится интегрирование дифференциальных уравнений промежуточного движения, подробно исследуются первые интегралы этих уравнений, дается качественная картина. Особое внимание уделяется выводу всех необходимых формул, описывающих промежуточную орбиту. [c.9]

В четвертой главе выводятся различные формы дифференциальных уравнений для элементов промежуточного движения. Дается общий метод решения этих уравнений, позволяющий находить все возмущения в движении спутника, которые не были учтены при построении промежуточной орбиты. Приводятся также некоторые качественные исследования возмущенного движения спутника. [c.9]

Дифференциальные уравнения промежуточного движения теперь запишутся в виде [c.50]

Рассмотрим подробнее этот вопрос. Пусть у есть параметр, характеризующий малость возмущающей функции R. Тогда, подставив в частные производные В по элементам формулы промежуточного движения, мы получим в правых частях дифференциальных уравнений члены, пропорциональные Y, 78 , и т. д. Поскольку имеет порядок 10 , то наиболее существенные возмущения будут получаться в результате интегрирования членов, пропорциональных у. Что касается комбинированных возмущений, то они будут результатом интегрирования членов, пропорциональных Y8 , yг и т. д. [c.144]

Будем исходить из дифференциальных уравнений (4.11.13) для элементов промежуточного движения. Пренебрегая в них членами порядка и имея в виду, что [c.191]

Рассмотренная в предыдущем параграфе промежуточная орбита учитывает главный член, а также вторую, третью и часть четвертой зональные гармоники потенциала притяжения Земли. Чтобы построить полную теорию движения спутника, которая учитывала бы все остальные возмущающие факторы, нужно иметь дифференциальные уравнения для элементов промежуточного движения. Здесь мы приведем одну систему таких уравнений. Она получена в работе [54]. [c.591]

Жидкости, занимая по молекулярному строению промежуточное положение между газами и твердыми телами, проявляют свойства, присущие как газам, так и деформируемым твердым телам. Это позволяет описать механическое движение всех упомянутых сред едиными дифференциальными уравнениями, составляющими основу механики сплошной среды. Решение этих уравнений требует учета специфических свойств каждой из упомянутых сред, поэтому механика сплошных сред разделяется на ряд самостоятельных дисциплин гидромеханику, газовую динамику, теорию упругости, теорию пластичности и др. [c.6]

Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно позиционных координат qi. Однако, введя в качестве промежуточных величин импульсы [c.195]

Таким образом, если бы эта функция V была известна, оставалось бы только исключить Я из Зц + 1 уравнений (С) и (Е) для того, чтобы получить все Зп промежуточных интегралов или из (О) и (Е) для того, чтобы получить все Зп конечных интегралов дифференциальных уравнений движения, т. е. получить искомые Зп зависимости между Зп переменными координатами и временем, включающие также массы и упомянутые выше 6 начальных данных. Открытие этих зависимостей (как мы уже говорили) представляло бы собой общее решение общей задачи динамики. Таким образом, мы по крайней мере свели общую задачу к отысканию и дифференцированию единственной функции V, которую мы будем называть характеристической функцией движения системы, а уравнение (А), выражающее фундаментальный закон ее вариации, будем называть уравнением характеристической функции или законом переменного действия. [c.180]

Для проверки, которой не следует пренебрегать, и в то же время для иллюстрации этого нового принципа мы можем вывести известные дифференциальные уравнения движения из нашей системы промежуточных интегралов и затем снова показать соответствие их нашей конечной интегральной системе. В качестве предпосылки к такой проверке полезно отметить, что конечное уравнение (6) живой силы в сочетании с системой (С) принимает следующий новый вид р] [c.181]

Подобным же образом мы можем (при помощи дифференцирования) вывести из интегралов (С) и из выражения (Е) все другие известные дифференциальные уравнения движения второго порядка, содержащиеся в группе (3), или, точнее, мы можем сразу же вывести формулу (1), которая содержит все эти известные уравнения, приняв во внимание, что промежуточные интегралы (С) вместе с соотнощением (Е) дают [c.182]

Шесть уравнений (К ) дают щесть промежуточных интегралов, а щесть уравнений (8 ) дают щесть конечных интегралов шести известных дифференциальных уравнений движения для любой бинарной системы, если мы исключим или определим три вспомогательные величины Л, Н Н при помощи трех условий (Р), (Т ), (и ). Таким образом, если мы заметим, что расстояния г, и заключенный между ними угол зависят только от относительных координат, которые могут быть обозначены [c.204]

Три уравнения (К ) в том случае, когда вспомогательная постоянная исключается посредством формулы (Ь ), строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка (М ) для относительного движения бинарной системы (т,- т ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты 1, 0 как функции их начальных значений и начальных скоростей а р,, v , а, / , т и времени /. Подобным же образом три уравнения (I ), по исключении посредством (Ь ), представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы (т,/Пп), возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек т, всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части У/2 полной характеристической функции относительного движения V вместе с главной частью приближенного значения Уравнения (Х ), (У ) двенадцатого параграфа дают строго [c.227]

Члены, стоящие в этих равенствах слева, суть частные производные функции 5, которую мистер Гамильтон назвал главной функцией движения притягивающихся или отталкивающихся систем. Он думает, что если математики изучат эту главную функцию 5 и эти группы уравнений (5) и (6), они должны будут оценить их значение. Из группы (5) определяют Зп промежуточных интегралов известных уравнений движения (4) в форме Зп отношений между временем I, массами т, варьированными координатами х, у, z, варьированными составляющими скорости х, у, 2 и Зп начальными константами а, Ь, с, в то время как группа (6) определяет Зп конечных интегралов тех же известных дифференциальных уравнений, как.Зл отношений с бл начальными и произвольными константами а, Ь, с, а, Ь, с между временем, массами и Зл варьированными координатами. Эти Зп промежуточных и Зл конечных интегралов разрешают проблему динамики. Математики же находят семь промежуточных и ни одного конечного интеграла. [c.285]

Решение. В таблице 17.12 приведены выражения для кинетической и потенциальной энергий для 2—5 вариантов систем обобщенных координат. Поскольку получение дифференциальных уравнений движения при наличии выражений для Т VI и было показано в примере 17.28 и в принципе оно не представляет сложности здесь опущены промежуточные преобразования и сразу приведены дифференциальные уравнения для случая свободных колебаний, которые также помещены в таблицу 17.12. Для большей наглядности в таблицу 17.13 помещены матрицы А и С всех вариантов (2—6). [c.173]

Если обозначить через i жесткость образца и промежуточных звеньев, а через сг — жесткость торсиона, то дифференциальные уравнения движения системы (без учета сил трения, которые здесь невелики) запишутся в виде [c.166]

Между периодом колебаний и моментом инерции маятника относительно оси подвеса существует определенная зависимость. Чтобы получить эту зависимость, составим дифференциальное уравнение движения маятника. Силами трения проушины шатуна о призму и сопротивлениями воздуха пренебрегаем. Рассмотрим в процессе колебаний какое-то промежуточное положение шатуна, при котором ось его, проходящая через точку подвеса О и центр тяжести 5, отклонилась на текущий угол 9 (рис. 6. 8). Очевидно, [c.67]

Итак, получена система дифференциальных уравнений (2.7) и (2.15), описывающая оптимальное движение ТМ в промежуточные моменты , т < I < Ьр. Анализ (2.15) дает повод считать, что режим оптимального движения ТМ допускает интерпретацию в виде движения ТМ в некотором потенциальном поле, причем функция Лагранжа равна мощности У. Задача 2.2 требует приведения ТМ в состояние [c.164]

Итак, получена система дифференциальных уравнений (4.7) и (4.14), описывающая оптимальное движение МТМ в промежуточные моменты i, т < t < tp. Задача 4.2 требует приведение МТМ в состояние (4.4), что возможно только лишь за счет выбора начальных скоростей [c.180]

Следует подчеркнуть, что дифференциальные уравнения движения колебательной системы совместно с возбудителем не обязательно автономны, как это имело место в указанном выше примере (инерционное возбуждение колебаний возбудителем асинхронного типа). В ряде случаев целесообразно выделять некое промежуточное звено, служащее возбудителем для колебательной части системы, причем ритм работы этого возбудителя задается другим весьма мощным источником и может считаться не зависящим от движения системы. Хотя в этих случаях ритм работы возбудителя является заданным, но возникающие при движении колебательной части системы силы все же зависят от этого движения. При этом имеется существенное взаимодействие колебательной части системы с возбудителем, но уравнения движения оказываются неавтономными. [c.108]

Чтобы составить уравнение расчетных перемещений для этой цепи, необходимо знать, как работает конический дифференциал, суммирующий вращательные движения двух валов. Валы В, 82 и Во (рис. 28, а) связаны между собой коническими колесами. Два вала Bi н В2 и установленные на них конические колеса называются центральными звено Во (вал) называют водилом, а промежуточные конические колеса Zo, находящиеся в зацеплении с двумя центральными колесами, сателлитами. Из трех валов дифференциального механизма два любых могут вращаться независимо друг от друга в любых направлениях и любой скоростью третий ведомый вал при этом будет вращаться со скоростью, равной алгебраической сумме скорости первых двух валов. Если направления обоих вращений совпадают, то скорость ведомого [c.45]

Промежуточной между работами второй и третьей групп является работа [Л. 128], в которой все исходные дифференциальные уравнения, кроме уравнения движения, анализировались с учетом распределенности параметров. Отказ от анализа уравнения движения с учетом распределенности связан с математическими трудностями использования координатной системы Лагранжа. Однако даже при частичном учете распределенности одним из определяющих становится параметр, связан-ный с временем прохода парообразующего участка. [c.21]

Теперь о промежуточном гравитационном поле Земли. В гравиметрии гравитационное поле Земли обычно разбивают на две части нормальную и аномальную. Под нормальным гравитационным полем понимают поле некоторой идеализированной Земли, потенциал которого содержит наиболее значительные члены разложения нулевого, первого и некоторые члены второго порядка относительно сжатия Земли. В аномальный потенциал включают члены второго порядка и выше. В этом отношении введенное в 1.9 промежуточное гравитационное поле Земли может рассматриваться как нормальное поле. Главное же отличие промежуточного потенциала ] от других нормальных потенциалов заключается лишь в том, что он позволяет строго проинтегрировать дифференциальные уравнения движения спутника. [c.44]

В предыдущих главах было подробно изучено проме-н уточное движение искусственного спутника. Была рассмотрена качественная картина движения, введены элементы промежуточной орбиты и получены все необходимые формулы, позволяющие определять положение спутника и его скорость для произвольного момента времени. В настоящей главе будут выведены дифференциальные уравнения, которые дадут возможность находить возмущения, не принятые во внимание при построении промежуточной орбиты. [c.110]

Полученные в 4.5, 4.9 и 4.10 дифференциальные уравнения для элементов промежуточной орбиты позволяют довольно просто построить аналитическую теорию движения спутника со всей необходимой для практики точностью. Важной особенностью этих уравнений является то, что они дают возможность уже в первом приближении находить возмущения, обусловленные совместным влиянием различных возмущающих факторов и сжатия Земли. [c.144]

Если предположить, например, что уравнения движения (4) для так называемой промежуточной орбиты с характеристической функцией Ну могут быть проинтегрированы, то согласно методу Гамильтона —Якоби сначала необходимо рассмотреть дифференциальное уравнение в частных производных [c.521]

В этой главе мы свели дифференциальные уравнения промежуточного движения к квадратурам и рассмотрели в общих чертах качественную сторону задачи. Для решения уравнений движения был использован метод Гамильтона — Якоби [1]. Другой способ интегрирования, основанный на использовании регуляризирующего времени, был предложен в работах Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина и автора [2], [3]. [c.66]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Главная проблема в теории ИСЗ может быть решена двумя способами во-первых, с помощью классических методов возмущений и, во-вторых, путем построения промежуточных орбит на базе некоторых аппроксимирующих выражений для геопотенциала, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения в замкнутой форме. Поскольку результаты применения классических методов приведены во многих монографиях по небесной механике ), в нашей книге мы ограничимся изложением второго способа. При этом в основу построения промежуточных орбит будет положена обобщенная задача двух неподвижных центров, силовая функция которой включает в себя как вторую, так и третью зональную гармонику геопотенциала и позволяет проинтегрировать уравнения движения в квадратурах. [c.8]

Канонические элементы a , и аналогичны каноническим элементам Якоби в кеплеровом движении. Известно, что элементы Якоби не являются удобными переменными при решении уравнений возмущенного движения. Их недостаток заключается в том, что в правых частях дифференциальных уравнений появляются смешанные члены, т. е. члены вида t sin yt, где у — постоянная ). По аналогичным причинам элементы и р необходимо заменить другими, более удобными каноническими элементами. В теории кеплерова движения такими элементами служат элементы Делоне и элементы Пуанкаре. Здесь мы введем аналогичные системы элементов. Заметим, однако, что в данном случае задача существенно осложняется тем обстоятельством, что рассматриваемая промежуточная орбита характеризуется тремя частотами, [c.111]

В этой главе изложена теория промежуточных орбит ИСЗ. Эти орбиты строятся на основе некоторых аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения спутника в квадратурах. Поскольку аппроксимирующие выражения включают в себя основную часть возмущающей функции, обус ловленной несферичностью Земли, промежуточные орбиты оказываются более близкими к истинной орбите спутника, чем кеп-леровский эллипс. В некоторых случаях метод промежуточных орбит позволяет математически строго решить главную проблему в теории движения ИСЗ. [c.577]

В этом параграфе будет рассмотрен другой тип аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли. Эти выражения были предложены Р. Барраром [29], Дж. Винти [30] и М. Д. Кисликом [31]. Все они обладают двумя важнейшими свойствами. Во-первых, они отличаются от потенциала реальной Земли членами порядка выше первого относительно сжатия. Во-вторых, дифференциальные уравнения движения в гравитационном поле, определяемом аппроксимирующими потенциалами, строго интегрируются в квадратурах. В отличие от промежуточных потенциалов, рассмотренных в предыдущих параграфах, они зависят только от постоянных гравитационного поля Земли, и не зависят от элементов орбиты спутника. Возмущающая функция в этом случае не содержит второй зональной гармоники. [c.581]

Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное состояние в этом случае представляет собой движение на некотором подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы, на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия, периодическое и квазипериоди-ческое движение. И только сравнительно недавно, в пионерской работе Лоренца [283], было показано, что и в диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355 ] использовали для аттрактора с хаотическим движением термин странный аттрактор ). Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью ), при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. д. [c.19]

При этом координаты i и р, получим выраженными через время и 2 (ге — 1) постоянных интегрирования — параметров. Эта орбита, по Гильдену, называется промежуточной орбитой. Если параметры этой орбиты считать переменными, то можно вывести для них дифференциальные уравнения первого порядка, которые полностью соответствуют общим уравнениям движения (1). [c.196]

Вариадионная кривая. В первом приближении орбита Луны определяется обычно как эллипс — неподвижный или с вращающейся линией апсид. Вращающийся эллипс имеет то преимущество перед неподвижным, что отклонения реального движения от вращающегося эллипса носят почти периодический характер. Вместо того чтобы относить реальную орбиту к эллипсу, Хилл вводит в первом приближении промежуточную орбиту, которая носит название вариационной кривой . Посмотрим, как эта орбита получается из дифференциальных уравнений движения. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...