Гамильтона — Якоби

Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, уравнения Якоби— Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского [c.372]

Следовательно, к этой последней системе можно приложить методы Гамильтона и Якоби возвращаясь затем к прежней переменной i, получим интегралы системы (1). [c.429]

Гамильтон, по существу, дал улучшенную математическую формулировку принципа, который был установлен еще в фундаментальных исследованиях Эйлера и Лагранжа предложенная им операция интегрирования по времени также была известна уже Лагранжу. Поэтому название принцип Гамильтона , данное Якоби, не привилось среди ученых прошлого столетня. Оно вошло в употребление, однако, благодаря ряду учебников, появившихся и более позднее время. [c.139]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Построение главной функции Гамильтона при помощи полного интеграла Якоби. Несмотря на различие подходов, характеризующих теории Гамильтона и Якоби, между W -функцией и 5-функцией имеется определенная связь. Тео- [c.299]

Другая форма механики, основанная на интегральных принципах, которую придали механике Гамильтон и Якоби, стала основный методом [c.869]

В 1850 г. Остроградский опубликовал еще один мемуар, содержащий важные результаты по математической теории уравнений движения,— Об интегралах общих уравнений динамики (представлен в 1848 г.). Он показал, что и в более общем случае, когда связи и силовая функция содержат время (этот случай был оставлен в стороне Гамильтоном и Якоби), уравнения движения также могут быть преобразованы в гамильтонову форму. [c.216]

Одним из важных вопросов механики является задача интегрирования уравнений движения, которые составляют вариационный принцип. Разработка теории интегрирования канонических уравнений принадлежит Гамильтону, К. Якоби и Остроградскому. [c.216]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

Лагранж в Аналитической механике рассматривает именно эту узкую форму принципа наименьшего действия. Однако указание на более широкую форму принципа содержится в его ранней работе где в 13 прямо указывается на то, что полученное Лагранжем в 8 этой статьи соотношение, тождественное с уравнением для изоэнергетической вариации, применимо в случае произвольных сил. Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь Гельмгольц рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа эквивалентны уравнению Даламбера и в силу этого являются следствиями друг друга. Тем не менее это не дает права отождествлять их, так как варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится совершенно различными способами. Оба эти принципа получаются из соотношений при различных специализациях общего способа варьирования. [c.221]

ГАМИЛЬТОН ОСТРОГРАДСКИЙ ЯКОБИ [c.2]

Принципы не всегда вносят новое физическое содержание в механику или упрощают практическое решение механических задач. Тем не менее они в ряде случаев более удобны для общего анализа движения механических систем. Так, интегральные принципы Гамильтона и Якоби позволили построить такой метод интегрирования уравнений динамики, благодаря которому было решено много задач, представлявшихся до того неразрешимыми. [c.501]

Связь, о которой было упомянуто, известна теперь как оптико-механическая аналогия [76]. В явной аналитической форме эта связь отображена в уравнении с частными производными первого порядка, связанном с именами Остроградского, Гамильтона и Якоби. [c.6]

Результаты, изложенные в этом приложении, принадлежат Гамильтону и Якоби. [c.232]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. [c.376]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСТРОГРАДСКОГО — ЯКОБИ В СЛУЧАЕ, КОГДА ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА Н ЯВНО ОТ ВРЕМЕНИ НЕ ЗАВИСИТ [c.384]

Какой вид имеет уравнение Остроградского—Якоби в случае, когда функция Гамильтона явно от времени не зависит [c.390]

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.312]

Уравнение Гамильтона — Якоби [c.322]

УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 323 [c.323]

В книге дано систематическ(1е и достаточно доступное изложение O HOD аналитической механики В нее включены разделы уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона, теория Якоби, неголономные системы, вариационные принципы и теория возмущений. Приводятся многочисленные примеры, иллюстрирующие применение рассматриваемых методов. [c.2]

В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби . Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. Замечательное открытие Гамильтона дало Якоби ключ к каноническим преобразованиям, что в свою очередь расширило рамки применимости метода самого Гамильтона. С помощью функции Якоби S, на которую наложено гораздо меньше условий, можно найти и гамильтонову lF-функцию. Но было бы практически невозможно найти U -фyнкцию непосредственно путем решения двух совместных уравнений в частных производных. Связь между этими двумя теориями будет обсуждаться более подробно в следующей главе. [c.263]

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора—Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Галгильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.827]

Заметим, что в XX в. получила дальнейшее развитие теория интегрирования уравнения Гамильтона — Остроградского — Якоби методом разделения переменных. Т. Леви-Чивита установил критерий возможной классификации соответствующих динамических задач с любым числом степеней свободы. Найденные им общие условия, которым должна удовлетворять функция Гамильтона для того, чтобы уравнение Гамильтона — Остроградского — Якоби интегрировалось в квадратурах методом разделения переменных, легли в основу позднейших исследований. Ф. Далль-Аква составил классификацию указанного характера для систем с тремя степенями свободы. [c.103]

Теорема Ламберта привлекла заметное внимание. Проиллюстрируем лишь наиболее известные имена. До Ламберта Эйлеру [1] удалось получить частный случай параболических орбит, который, впрочем, можно найти и у Ньютона [5] в несколько ином виде. После того как в 1761 году появилось доказательство Ламберта [1], использующее геометрический синтез , Лагранж [5] первым опубликовал в 1766 году аналитическое доказательство, а в 1778 году — три других [6]. Лаплас [4], Гаусс [3], Гамильтон [4], Якоби [2], Келли [1], Сильвестер [1], Адамс [c.42]

В этой главе преобладает координатная точка зрения. Развитый Гамильтоном и Якоби аппарат производящих функций канонических преобразований является самым мощным из имеющихся методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Кроме этого аппарата, глава содержит нечетномерный подход к гамильтоновым фазовым потокам. [c.205]

Изучение хаотической динамики в системах с сохранением энергии, которое, впрочем, не является основным предметом этой книги, занимает много места в научной литературе. Это направление иногда помешают в разделы, озаглавленные Динамика гамильтоновых систем , что указывает на методы Гамильтона (и Якоби), используемые для решения нелинейных задач для бездиссипатив ных систем с большим числом степеней свободы (см., например, превосходную монографию [110]). [c.70]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

Она отличается от болыней части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как и,зложение основных понятий механики, так п обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется leopeMe Э. Нетер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...