Основные уравнения в компонентах напряжения

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ НАПРЯЖЕНИЯ 17 [c.17]

Основные уравнения в компонентах напряжения [c.17]

Основные уравнения в компонентах смещения. Система уравнений (1), (2) предыдущего параграфа содержит одновременно и компоненты смещения и компоненты напряжения. Можно, однако, составить систему, содержащую только те или другие компоненты. Проще всего составить систему, содержащую компоненты смещения. Для этого достаточно внести выражения (2) 20 в уравнения (1) 20 тогда после очевидных упрощений получим [c.76]

Решение задачи для конкретного упругого тела с заданными поверхностными и объемными силами требует определения компонент напряжений или перемещений, которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Если в качестве основных неизвестных выбраны компоненты напряжения, то следует удовлетворить 1) уравнениям равновесия (123), 2) условиям совместности (125) и 3) граничным условиям (124). Обозначим через ... напряжения, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и массовыми силами X, Y, Z. [c.252]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Соотношения (4.3) носят название основных уравнений движения (дина-мики) классической теории упругости в компонентах напряжения. [c.19]

Уравнения (4.3) и (4.6) представляют собой основные уравнения движения моментной теории упругости в компонентах напряжения. [c.20]

Основными уравнениями равновесия моментной теории в компонентах напряжения будут (4.5) и [c.20]

Некоторые вопросы моментной теории упругости уже были рассмотрены в предыдущих главах. В первой главе выведены основные уравнения движения в компонентах напряжения (см. (I, 4.3), (I, 4.6)), закон Гука (см. (I, 7.16), (I. 7.16 ) или (I, 7.21), (1, 7.21 )), выражения для энергии деформации (см. (I, 7.19)) и вытекающие из положительности этих выражений условия для упругих коэффициентов (I, 7.20). [c.346]

На практике обычно встречаются с прямой задачей теории упругости, общего метода решения которой пока не получено, но найден ряд частных решений путем ограничения области исследования. При решении некоторых из таких частных задач бывает удобно принимать за основные неизвестные компоненты напряжений, так как они проще связаны с нагрузкой тела, чем другие неизвестные, входящие в систему основных уравнений теории упругости. При решении других задач удобнее принимать за основные неизвестные перемещения, так как этих неизвестны с меньше (всего три, а не шесть). В соответствии с этим различают две основные схемы решения прямой задачи в одной разыскивают шесть компонентов напряжений, в другой — перемещения. [c.21]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

Основная задача третьего типа или смешанная задача состоит в том, что по заданным поверхностным силам/гна одной части поверхности тела 5i и по заданным перемещениям (л ) на другой части поверхности тела 5 , а также, вообще говоря, по заданным массовым силам ft требуется определить компоненты тензора напряжений atj (х ) и перемещения Ui хх), удовлетворяющие основным уравнениям (4.3) и (4.4) при выполнении смешанных граничных условий (4.8). [c.72]

Обратная задача состоит в том, что, задавшись лиСю перемещениями Ui как непрерывными функциями щ = г (х ), либо компонентами тензора напряжений, т. е. шестью функциями а/, = = сгг Xk), определяют из основных уравнений (4.1)—(4.4) и соответствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы, осуществляющие заданные перемеш.ения ui или заданные функции Oij. [c.72]

При решении задачи первого типа обычно выгодно за основные неизвестнее принять компоненты тензора напряжений, т. е. решать задачу в напряжениях. При этом для упрощения решения задачи основные уравнения следует представить только через искомые функции aej. [c.78]

Определение напряженного состояния в теле, находящемся под действием заданных внешних сил, является одной из основных задач теории упругости. В двумерном случае необходимо решить дифференциальные уравнения равновесия (18), и решение это должно быть таким, чтобы удовлетворялись граничные условия (20). Эти уравнения, выведенные с применением статических условий равновесия и содержащие три компоненты напряжения а , G,j, недостаточны для определения указанных компонент. Задача является статически неопределимой чтобы получить ее решение, следует рассмотреть упругую деформацию тела. [c.47]

Наиболее эффективным из приближенных методов в теории пластичности следует считать метод последовательных приближений А. А. Ильюшина, именуемый методом упругих решений [3] в нем для первого приближения принимается решение аналогичной задачи теории упругости (со сходственными граничными и другими условиями), благодаря чему в первом приближении выясняются границы между упругими и пластическими зонами как по длине стержня (пластинки и др.), так и по высоте сечения. Это позволяет в первом приближении вычислить для каждой точки такого сечения значение числа ш, входящего в основной физический закон пластичности (4.13). Зная величину ш, можно в порядке первого уточнения исправить ранее вычисленные компоненты напряжения, внести поправки в первоначальные основные уравнения теории упругости, что определит новые границы между упругой и пластическими зонами, [c.193]

Основные уравнения. Шесть независимых компонентов напряжения а ,, о , связаны с относительными деформациями е , Е , 7 2, 7 , которые в свою очередь, зависят [c.171]

Для того, чтобы подтвердить сказанное, во-первых, покажем, что в пространственной задаче теории упругости компоненты напряжений могут быть выражены через шесть некоторых функций напряжений (наподобие функции Эри в плоской задаче теории упругости), образующих так называемый тензор функций напряжений, а во-вторых, представим все основные уравнения и зависимости пространственной задачи теории упругости в матричной форме. [c.451]

В первом разделе тома даются принципы и основные уравнения механики упругого деформируемого твердого тела теории деформаций и напряжений, дифференциальные уравнения равновесия, связь между компонентами напряжения и деформации, общие теоремы теории упругости и строительной механики, вариационные принципы и их использование для решения задач механики деформируемого твердого тела, методы конечных и граничных элементов. [c.16]

Представим краткое описание модифицированного метода. В расчете используются сетки, построенные в физической плоскости. Для каждой ячейки записывается система интегральных законов сохранения (из которой следует приведенная выше система исходных уравнений в дивергентной форме). Используется полностью неявная схема. Это означает, что для аппроксимации конвективных потоков и вязких напряжений на гранях ячейки используются параметры с нового временного слоя. Затем система законов сохранения для каждой ячейки записывается через приращения по времени основных переменных. В данной версии программы в качестве таких переменных используются плотность, компоненты скорости, давление и турбулентная вязкость. Для построения неявной схемы при использовании задачи Римана о распаде произвольного разрыва предполагается, что система разрывов, реализовавшаяся после распада на новом временном слое, идентична системе разрывов на старом временном слое. В случае интенсивных разрывов на старом временном слое производится итерационное уточнение решения. [c.392]

Определение разрывов. Следуя [0.12], предположим, что область V разделена на конечное число смежных подобластей, в каждой из которых поля перемещений, деформаций и напряжений обладают свойствами непрерывности и дифференцируемости, принятыми в основных уравнениях теории упругости. Эти смежные области регулярности разделены поверхностями разрывов, на которых некоторые компоненты усилий и дополнительные компоненты перемещений изменяются не обязательно непрерывным образом. Будем использовать термины статические и кинематические , чтобы различать разрывы соответственно в компонентах усилий и перемещений. [c.89]

Перейдем к установлению основных зависимостей для нормальных компонент напряжения поверхностной силы. Они нам потребуются в последующих главах при выводе реологических уравнений состояния. [c.86]

Наше главное предположение состоит в следующем напряжение или добавочное (экстра-) напряжение в случае несжимаемой среды в заданном элементе материала будет определяться историей формы этого элемента вплоть до рассматриваемого момента времени. Следовательно, в искомые уравнения могут входить компоненты напряжения переменные формы уц или а также их производные и интегралы по времени. Вид уравнений должен удовлетворять следующим двум основным требованиям [c.219]

Основное уравнение системы плоских параллельных пластин (9.34) связывает распределение давления — ргг на любой пластине (правая часть уравнения не зависит от 2, по причине независимости G от 2 согласно (9.29)) с обеими разностями нормальных компонент напряжения. В частном случае [c.256]

О неоднородных, многокомпонентных и многофазных средах уже была речь в 13 гл. II. Там же были выведены основные уравнения динамики и термодинамики такого рода сред, но был оставлен в стороне вопрос о раскрытии сущности тензоров напряжений и Р, относящихся к г-й компоненте (фазе) и смеси в целом, а также дополнительных тензоров (см. формулу (72) гл. II). Чтобы сделать основную систему уравнений движения неоднородной среды замкнутой, необходимо дополнительно ввести количественные закономерности, связывающие только что упомянутые тензоры с характеристиками движения и состояния отдельных компонент (фаз) и смеси их в целом. Можно было бы думать, что такие количественные связи должны быть по форме аналогичными тем реологическим законам, которые только что были введены для несжимаемых ньютоновских и неньютоновских жидкостей, а в дальнейшем и для газов (см. начало гл. XI). [c.359]

Для непосредственного определения напряжений, возникающих в оболочке, удобнее оперировать с уравнениями, содержащими лишь усилия и моменты. Основными неизвестными в этом случае являются усилия Л 1, Л а, р1, Q2 и моменты Мх, Н , Н , М , для определения которых должна быть составлена система из девяти уравнений. Пять из них можно получить из условий равновесия (111.34). Наряду с этим искомые компоненты усилий и моментов должны быть такими, что соответствующие им компоненты деформации срединной поверхности удовлетворяют уравнениям неразрывности деформаций (1.35). Эти четыре уравнения, записанные в усилиях-моментах, в совокупности с условиями равновесия (111.34) и составят полную систему девяти уравнений для определения девяти неизвестных функций. [c.46]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Здесь рассмотрим решение плоской задачи обобщенного напряженного состояния в напряжениях допуская, что объемной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела. Пусть Yj, - вес единицы объема тела. В данном случае искомыми величинами являются следующие три компонента вектора напряжений Охх, уу, Предполагая, что су = О и все производные по оси Z равны нулю, основные уравнения теории упругости значительно упростятся и примут вид [c.200]

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

При составлении системы уравнений, определяющей напряженно-деформированное состояние армированного пластика при поперечном нагружении, используется ряд исходных гипотез и граничных условий. Основным является требование совместности деформирования всех элементарных слоев, из которого следует условие постоянства напряжений в каждом элементарном слое в направлении нагружения и равновесие между напряжениями в компонентах пластика в остальных двух направлениях. В качестве закона деформирования отдельных компонентов используется обобщенный закон Гука. Совместное решение уравнений, соответствующих названным условиям, в результате интегрального перехода к средним напряжениям и деформациям всего пластика дает возможность определить коэффициенты Пуассона в плоскости армирования vm и в плоскости, перпендикулярной направлению армирования vxi, а также модуль поперечной упругости Задача сводится к аналитическому решению [12], однако аналитические зависимости получаются очень громоздкими. В результате ряда преобразований получаем [c.48]

Для определения напряженно-деформированного состояния компонент однонаправленно-армированного пластика при длительном поперечном нагружении следует решить объемную краевую задачу для неоднородной двухкомпонентной среды. Однако в настоящее время точного решения такой задачи не существует, Руководствуясь целью установления лишь основных, наиболее существенных закономерностей распределения и перераспределения напряжений и деформаций в компонентах при поперечном нагружении пластика, авторы работы [12] рассматривают однонаправленно-армированный пластик как двоякопериодическую среду, повторяющийся элемент которой, выбираемый в качестве расчетной модели, был показан на рис. 2.5. Пользуясь методом гипотетического разреза расчетного элемента на бесконечно тонкие слои, они составляют систему уравнений, отражающую напряженно-деформированное состояние повторяющегося элемента и всего армированного пластика в целом. [c.102]

Основными компонентами напряженно-деформированного состояния второго типа являются (в исходных переменных) смещение V, усилие Т2 и составляющая касательного усилия 82, определяемые в нулевом приближении из уравнений [c.60]

В параграфе приводятся основные уравнения теории пластической наследственности, связывающие компоненты тензоров деформации и напряжений, с учетом ползучести и старения материала в случае плоского деформированного состояния тела. Решается задача о равновесии полуплоскости, находящейся в условиях нелинейной ползучести, под действием сосредоточенной силы, приложенной нормально к ее свободной поверхности. Доказывается, что решение плоской контактной задачи нелинейной теории ползучести сводится к совместному решению двух связанных между собой интегральных уравнений. Приводятся решения этих уравнений для случаев симметричного и кососимметричного нагружения контактирующих тел. [c.221]

В работах [19, 20] 1997-2000 гг. авторами были получены общие уравнения движения сред, для которых зависимость между компонентами напряжения и компонентами скоростей деформации выражалась произведением некоторой функции, зависящей от интенсивности скоростей деформации, на соответствующую компоненту скорости деформации. При записи данной системы уравнений была взята за основу форма записи уравнений движения пластических сред М. Леви [54]. Предлагаемая система уравнений состоит из динамических уравнений движения сплошной среды уравнения неразрывности для несжимаемой среды основного реологического уравнения данной среды, записанного через компоненты напряжения и проекции скорости четырех независимых уравнений, вытекающих из условия пропорциональности касательных напряжений соответствующим скоростям деформации сдвига и разности нормальных напряжений соответствующей разности объемных скоростей деформации. [c.13]

Классическая теория упругости. В этой теории основные уравнения движения даются формулами (4.3). Компоненты напряжений связаны с компонентами деформаций и смещений законом Гука (5.12) или (5.15). [c.39]

Из сопоставления основных уравнений задачи о плоской деформации о соответствующими уравнениями задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии видно, что они математически идентичны. Заменив в уравнениях первой задачи компоненты ш и aсредними значениями по формуле типа (9.38), а коэффицн- [c.231]

Преобразуем основные уравнения (11.19), (11.25), (11.27), (11.28), нодставив в них выражения (11.30) для компонент тензора напряжений. Рассмотрим, например, первое уравнение (11.19). Подставив в него [c.372]

Основные уравнения современной теории малых улруго-пластических деформаций складываются из уравнений механики сплопеноп среды, приведенных в главе I (уравнения (1.08), (1.01), (1.13), (1.15)), и дополнительных уравнений, устанавливающих за пределом упругости связь между кoмцo eнтaми напряжений и компонентами деформации. [c.189]

Из основного уравнения теплооомси (2. ) в высокотемпературных технологических агрегатах (например, ц нагревательных печах с преобладающим теплообменом путем излучения) можно определить изменение массового напряжения (1]1ипш ли иода g, кг/м ч), ири переводе работы печи с режима с холодными компонентами юрения (индекс х ) на режим с горячими (индекс г ) [c.17]

Влияние инерционных эфектов впервые было исследовано Л. И. Слепяном [84]. Несмотря на то что Л. И. Слепян имел дело с полной системой уравнений поля, а не с урезанным подмножеством этой системы (2.23), (2.24), тем не менее последняя позволяет достаточно точно воспроизвести основные результаты работы [84]. Заметим прежде всего, что поскольку компоненты напряжений являются в вершине трещины ограниченными и однозначно определенными, то функция Р(г, 0) также должна обладать этими свойствами. Следовательно, существует функция 6(0), такая, что р(г,0)- 6(0) при г- 0. Далее, величина 7(г, 0) пропорциональна скорости частиц, и поскольку при отсутствии сосредоточенных сил скорость частиц ограничена вследствие конечности инерционных сил, то гду/дг 0 при г->0. Если теперь уравнения (2.23), (2.24) переписать в локальной [c.93]

Теперь остановимся на определении Пе (/). Значение этой величины определяется в блоке разрядный контур системой уравнений (2.20). Связь этих уравненйй с системой основных уравнений (2.22), описывающих генерацию, будет определяться выбранным типом разряда. В нашем конкретном примере основным возбуждающим разрядом является несамостоятельный разряд с предьюнизацией от УФ излучения скользящего (вспомогательного) разряда. Для значения E/N (или Е/р), определяющего область несамостоятельного разряда в молекулярных смесях СО2—N2—Не, как показывает анализ литературы [128], дрейфовую скорость электронов = [leE, где ie — подвижность электронов, а Е — напряженность электрического поля, можно считать практически постоянной в широком диапазоне изменений компонент лазерной смеси, что дает возможность записать [c.69]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Осветим бегло содержание книги Нейманна. В первых пяти главах он выводит основные уравнения теории упругости изотропного тела, вводя понятие компонент напряжения и деформации и устанавливая соотношения между ними через две упругие постоянные. Его обозначения для компонент напряжения были впоследствии приняты многими авторами в частности, их принял Ляв (А. Е. Н. Love). В следующих трех главах дается вывод основных уравнений с помощью гипотезы о молекулярном строении твердых тел. Излагаются работы Навье и Пуассона. Выводятся уравнения для неравномерного распределения температуры, исследуется теорема об единственности решений уравнений упругости. Следующая часть книги посвящена приложениям основных уравнений к частным задачам. Глава, в которой описывается [c.303]

При изучении механики сплошных сред задача состоит в исследовании движения сплошной среды под действием заданных сил. Таким образом, в уравнениях (3.3.5) компоненты массовой силы Р рассматриваются как величины заданные. Остальные величины, а именно плотность р, компоненты напряжения р у , Руу] р /, р у, Рухч Рхх и компоненты ускорения а , ау, (либо компоненты векторов скорости или смещения, через которые а выражается), являются величинами, подлежащими определению. Уравнения (3.3.5) представляют систему трех уравнений относительно 10 неизвестных. Следовательно, уравнения (3.3.5 ) являются, как очевидно, уравнениями необходимыми, но недостаточными. Недостающие уравнения для описания движения сплошных сред принципиально не могут быть найдены методами классической механики. Их можно получить, только рассматривая основные физические характеристики тех или иных сплошных сред и строя на основании их гипотезы [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...