Деформации Компоненты для срединной поверхности

Рассматривая формулы для деформаций (7.4), (7.8), напряжений (7.1), (7.18), внутренних сил и моментов (7.19)—(7.22), а также формулы (7.5), (7.9)—(7.15), легко установить, что все расчетные параметры оболочки в конечном итоге выражаются через пять искомых функций и (а, 3), V (а, 3), ю (а, 3), <р(а, 3), ф (а, Р). Как было указано выше, первые три из искомых функций являются компонентами перемещения срединной поверхности оболочки, а последние две функции характеризуют явления поперечных сдвигов. [c.107]

В принципе, подстановка соотношений (18.8) в (4.16) приводит к выражениям для компонент тензора деформации, соответствующим теории Кирхгофа конечных деформаций пластин. Сейчас, однако, нас интересует упрощенный вариант соотношений (18.8), который отвечает теории очень тонких мембран. Поэтому ограничимся рассмотрением деформаций симметричных относительно срединной поверхности достаточно тонких тел, так что Gij по существу постоянны по всей толщине. В этом случае X = d/dg и вместо (18.8) имеем [c.334]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам [c.411]

Для скоростей изменения компонентов деформации, кривизн и кручения срединной поверхности принимаем выражения [15] [c.18]

Для оболочки, срединная поверхность которой отнесена к произвольной косоугольной системе криволинейных координат и, о, формулы, связывающие компоненты деформации с перемещениями, приведены в монографии [177] [c.157]

Следовательно, для того, чтобы написать уравнения теории оболочек и сформулировать для этих уравнений граничные условия, вовсе не нужно иметь выражения величин Т ы> Т ги Mji через компоненты деформации срединной поверхности, а достаточно иметь соответствующие выражения только для 5 и Я. [c.48]

Основными неизвестными в этом случае являются усилия Ni, Л 2, 512, Qi, Q2 и моменты Ми Ни Н , М2, для определения которых должна быть составлена система из девяти уравнений. Пять из них дают нам условия равновесия (1.2). Наряду с этим искомые компоненты усилий и моментов должны быть такими, чтобы соответствующие им компоненты деформации срединной поверхности удовлетворяли уравнениям неразрывности деформаций (1.4.6). Эти четыре уравнения, записанные в усилиях-моментах, в совокупности с условиями равновесия (1.2) и составят полную систему девяти уравнений для определения девяти неизвестных функций. [c.41]

На основании принятого закона изменения перемещений по толщине перейдем к изучению деформации оболочки и ее срединной поверхности. Исходим из общих соотношений для компонент деформаций в теории упругости, которые в криволинейных ортогональных координатах а , а,2, г имеют вид [20] [c.9]

Для непосредственного определения напряжений, возникающих в оболочке, удобнее оперировать с уравнениями, содержащими лишь усилия и моменты. Основными неизвестными в этом случае являются усилия Л 1, Л а, р1, Q2 и моменты Мх, Н , Н , М , для определения которых должна быть составлена система из девяти уравнений. Пять из них можно получить из условий равновесия (111.34). Наряду с этим искомые компоненты усилий и моментов должны быть такими, что соответствующие им компоненты деформации срединной поверхности удовлетворяют уравнениям неразрывности деформаций (1.35). Эти четыре уравнения, записанные в усилиях-моментах, в совокупности с условиями равновесия (111.34) и составят полную систему девяти уравнений для определения девяти неизвестных функций. [c.46]

На основании (1.2)-(1.5) формулы для физических компонент тензора деформации (срединной поверхности) Грина-Лагранжа принимают вид [c.234]

При осесимметричном деформировании тонких оболочек вращения жесткий поворот малой окрестности точки на срединной поверхности определяется поворотом в пространстве взаимно перпендикулярных материальных волокон вдоль меридиана, широты и толщины оболочки, которые в любой момент времени являются главными направлениями деформаций (логарифмических) и скоростей деформаций. Поэтому с учетом обобщенного плоского напряженного состояния (аз 0) продифференцированный закон Гука для главных компонент имеет вид [c.73]

Третье уравнение, необходимое для определения трех величин Ny и Nj y, получается из рассмотрения деформации в срединной поверхности пластинки при ее изгибе. Соответствующие компоненты деформации [см. уравнения (221), (222) и (223)] будут [c.461]

В эти три уравнения равновесия входят пять неизвестных величин три результирующие силы N , и и два результирующих момента и М . Число этих неизвестных можно свести и к трем, если мы выразим мембранные силы н и моменты и в функциях компонентов v и w смещения. При исследовании в 108 деформации, вызванной мембранными напряжениями, мы получили для компонентов деформации срединной поверхности выражения [c.588]

Для вычисления компонентов v ч w смещения воспользуемся следующими выражениями для линейной деформации в срединной поверхности [c.598]

При установившейся ползучести общие пространственные уравнения ползучести аналогичны по структуре уравнениям деформационной теории пластичности с упрочнением. С другой стороны, кинематические гипотезы, лежащие в основе теории как упругих, так и упруго-пласти-ческих оболочек, не связаны со свойствами материала и потому применимы также для состояния установившейся (и неустановившейся) ползучести оболочек. Поэтому можно сразу же получить определяющие уравнения для ползущей оболочки из уравнений (1), заменив в них всюду компоненты деформации срединной поверхности бд, е ,. . ., т соответствующими скоростями бц, 83,. ... т и приняв в качестве функции упрочнения 0( = О (е ) надлежащую зависимость между интенсивностями напряжений и скоростей деформаций ползучести, например, степенной закон [c.114]

Зависимости между скоростями обобщенных деформаций ба,. . ., т и компонентами вектора скорости срединной поверхности и, ч, w получаются дифференцированием по времени соответствующих зависимостей для упругой оболочки [гл. 20 т. 1 формулы (14)]. напри.мер, [c.114]

Гипотеза неизменности нормалей, по которой принимают, что нормали к срединной поверхности при изгибе пластины не искривляются и остаются перпендикулярными к деформированной срединной поверхности пластины, а гипотеза позволяет установить простые зависимости между компонентами деформаций в произвольной точке пластины и деформацией ее срединной плоскости. Эта гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений для балок. [c.158]

Деформация оболочки, вызываемая внешними силами, определяется упругими перемещениями точек срединной поверхности. Обозначим эти перемещения А и будем разлагать их на компоненты по осям х, у, г или и, V, ш. В последующем нам также понадобятся углы поворота нормали к срединной поверхности, вызванные деформацией, в плоскостях гх и уг, которые обозначим Р1 = 3у и Рг = Рх и будем считать положительными, если для наблюдателя, расположенного соответственно у стрелок осей у и X, поворот происходит против часовой стрелки. Углы р1 и р2 связаны с компонентами деформации зависимостями [63] [c.26]

Подставляя значения и , и , из (5.36) в неиспользованные соотношения (5.35) и в силу основной гипотезы принимая (1.5), получим для компонент деформаций срединной поверхности и изменений кривизны и кручения следующие формулы [c.78]

Уравнение (7.26) может быть получено из формул (7.9) для компонент тангенциальной деформации срединной поверхности путем исключения тангенциальных компонент перемещения точки срединной поверхности и (а, 3), у (а, 3) и введения функций изменений кривизны срединной поверхности Xj (а, 3), (а, 3). [c.109]

Ориентация плоскости трещины по отношению к наружной поверхности и первому главному напряжению, раскрывающему берега трещины, остается неизменной в срединной части крестообразной пластины при возрастании соотношения главных напряжений при tf, > 5 мм и более. Траектория трещины по поверхности меняется в связи с изменением соотношения для указанной толщины пластины. Такая ситуация отражает влияние второй компоненты нагружения на рост трещин при указанной толщине модели, что связано с чувствительностью кинетики формирования скосов от пластической деформации к соотношению [c.318]

Переход к обобщенным усилиям в задачах приспособляемости отличается тем, что максимумы стоящего под интегралом скалярного произведения (и соответствующие им значения Tif) достигаются в различных точках тела (в частности, в точках, принадлежащих одной нормали и срединной поверхности пластины или оболочки) иеодновременно. Поэтому для определения обобщенных усилий из выражения (4.42) необходимо знать соотношения между обобщенными деформациями, которые определяют соотношения между компонентами Ае,/о. Если поверхность текучести в пространстве обобщенных усилий определена, искомые соотношения задаются ассоциированным законом течения — условием нормальности вектора скорости обобщенной деформации. Для кусочно-линейной поверхности текучести имеем конечное число таких соотношений (соответственно числу граней), и каждому из них на основании равенства (4.42) отвечает свое выражение для обобщенного усилия. [c.119]

Равенства (4.24.3) имеют силу только для случая, когда срединная поверхность отнесена к линиям кривизны. Первое из них показывает, что компоненты изгибной деформации Xj, равно как и Ej, сз, Ej, совпадают с теми компонентами, которые использованы в основопологающей трактовке теории оболочек [84]. Однако для компоненты т здесь принято другое определение, предложенное, по-видимому, впервые в 136] и ставшее теперь общепринятым (для компонент изгибной деформации предлагались и другие определения, как, например, в [30]). Равенства (4.24.3) показывают, что компоненты изгибной деформации связаны с изменениями, которые испытывают в процессе деформации коэффициенты второй квадратичной формы. [c.51]

В четвертое и пятое уравнения (3.19.11) усилия Ni и входят алгебраически (это свойство сохраняется и в том случае, когда срединная поверхность отнесена к произвольной системе координат). Пользуясь этим, можнб в первых трех уравнениях (3.19.11) исключить N i, и получить три уравнения относительно усилий и моментов Т , Т , S i, Gi, Gg, которые в свою очередь выражаются через компоненты деформации е,, е , (О, Ki, К2, т с помощью уравнений состояния (5.34.11) или какого-либо другого варианта этих уравнений. Наконец, формулами (4.26.2), (4.26.5) компоненты деформации выражаются через перемещения, что и приводит нас к трем уравнениям равновесия в перемещениях и , и , w. Эти уравнения очень громоздки и в расчетах используются редко. Они, конечно, зависят от того, какой вариант уравнений состояния был использован при их выводе. Для общего случая мы не будем приводить эти уравнения. Пример их применения будет дан в части V при рассмотрении задачи р круговой цилиндрической Оболочке. [c.75]

Представим приращение энергии (111.8) через компоненты деформации срединной поверхности оболочки. Для этого, используя (1.25) и (11.11), преобразуем комбинацию Sid i + S da + Hidr + + Н х . [c.35]

В главе дается краткое изложение предложенной автором [74, 75] общей нелинейной теории тонких упругих оболочек, предназначенной, главным образом, для расчета оболочек из эластомеров (резипоподобных материалов). Отметим три характерные особенности предложенного варианта теории. Прежде всего используется уточненная геометрическая гипотеза Кирхгофа, позволяющая, без повышения порядка разрешающей системы уравнений, учесть существенное для оболочек из эластомеров деформационное утонение оболочки. Далее, применение двойного тензора напряжений позволяет одновременно использовать преимущества материальных координат как в недеформированной, так и в деформированной конфигурациях оболочки. Наконец, принятие линейного закона распределения напряжений по толщине позволило значительно упростить связь между усилиями — моментами и компонентами деформации срединной поверхности оболочки. [c.101]

Для монотонных процессов деформирования, когда главные панравлеппя тензора напряжений или скоростей деформаций совпадают в любой момент времени с одними и теми же материальными волокнами, определяющие соотношения могут быть записаны в терминах главных компонент путем прямого обобщения соответствующих видов реологических законов для малых деформаций [71, 138]. Такие соотношения соответствуют связи между напряжениями, деформациями и их скоростями в прямоугольном ортонормироваином базисе главных направлений, который совершает жесткое вращение относительно неподвижного пространства наблюдателя. Типичным представителем этого класса дефор-мацнй тел является осесимметричное деформирование тонких оболочек вращения в рамка.х обобщенных гипотез Кирхгофа [91, 190], когда на срединной поверхности меридиональное, окружное и перпендпкулярпое к ним нанравления по толщине оболочки в любой момент времени остаются главными нанравлениями для напряжений и деформаций [81, 82]. [c.21]

При использовании деформационной теории пластичности упруго-идеально-пластическую оболочку можно рассматривать как частный случай оболочки с произвольным упрочнением и соответственно применять для расчета методы, изложенные иа стр. 97 и 98, полагая, что упрочнение является исчезающе малым. Для приближенного анализа применяют другой подход, имеющий в основе некоторые представления общей теории пластического течения. При, 1 м, что компоненты скоростей деформации срединной поверхности складаваются из упругих и пластических составляющих [c.107]

Определим теперь поле перемещений элемента. Предположим, что деформации в направлении нормали к срединной поверхности пренебрежимо малы. Тогда перемещения внутри элемента будут однозначно определяться тремя декартовыми компонентами узлового перемещения срединной поверхности и двумя углами повората узлового вектора относительно двух взаимно ортогональных перпендикулярных к нему направлений. Если два таких ортогональных направления заданы векторами единичной длины иц и Он с соответствующими углами поворота (скалярами) а,- и то по аналогии с (14.2), опуская для простоты индекс сред , можно записать [c.298]

Если учесть присущие миниатюрным тензодатчикам огрг(ничення и проявить достаточную аккуратность, то применение подобных датчиков для определения компонент напряжения в зоне сильных градиентов оказывается очень результативным. Рис. 3.29 представляет еще один пример изменения деформащ1И по толщине свободной кромки слоистого композита ( 30°/9027 30°) . При приложении одноосного растяжения трансверсальная деформащм е , измеренная в срединной плоскости, сжимающая, а на поверхности раздела между слоями 90°/90° она растягивающая, что соответствует расчету. На рис. 3.30 показаны зависимости от для четырех разных слоистых графито-эпоксидных композитов с укладкой (0°/ 45°/90°) , полученные посредством тензодатчиков с базой 0,99 мм [22]. Обнаружено, что экспериментальные значения представляют среднюю деформацию в направлении z восьми срединных слоев (толщиной 1,01 мм) композита. Как видно из табл. 3.5, экспериментальные данные хорошо согласуются с расчетными. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...