Пуанкаре относительного движения

Благодаря наличию этих трех интегралов согласно п. 12 можно понизить число степеней свободы канонической системы на три или, что одно и то же, понизить число переменных на шесть. Вследствие этого мы придем к так называемой канонической форме Пуанкаре для уравнений относительного движения (относительно центрального тела) в задаче и -f-1 тел. Мы знаем (п. 42), что когда проинтегрированы эти уравнения, то игнорируемые координаты Sq i oi центрального тела определяются простыми квадратурами. [c.317]

Предварительные заключения. В предварительных заключениях (п. 11 статьи [97] (1895) К теории Лармора А. Пуанкаре) читаем Опыт дал множество фактов, которые допускают следующее обобщение невозможно обнаружить абсолютное движение материи, или, точнее, относительное движение весомой материи и эфира. Всё, что можно сделать, — это выявить движение весомой материи относительно весомой материи.. .. невозможность выявить движение материи относительно эфира, а также равенство, которое, несомненно, имеет место между действием и противодействием без учёта действия материи на эфир, представляют собой два факта, связь которых кажется очевидной. Может быть, оба пробела будут заполнены одновременно . [c.263]

Ньютон объяснил орбиты планет при помощи скалярной функции поля, гравитационного потенциала . В ранних работах по теории относительности Пуанкаре (1905), а позже Минковский (1908) попытались модифицировать теорию Ньютона, приведя ее в соответствие с четырехмерной структурой мира. В результате они заменили ньютоновы уравнения движения системой (9.8.4). Эти попытки оказались ненужными в связи с появлением в 1916 г. общей теории относительности Эйнштейна, с необычайной убедительностью показавшей, что задача о гравитации требует гораздо более радикальной ревизии наших традиционных представлений (см. ниже, п. 11). [c.365]

Таким образом (замечание Пуанкаре), в задаче п- - тел за сопряженные переменные можно принять, наряду с относительными координатами и тел по отношению к центральному телу и проекциями соответствующих количеств движения, абсолютные координаты центрального тела и проекции количества движения центра инерции. [c.316]

Этот интеграл называют интегральным инвариантом уравнений, описывающих движение системы, в данном случае уравнений Гамильтона. Сказанное справедливо только для интегралов, взятых по замкнутой кривой в этом смысле интегральный инвариант называют относительным. Речь идет об известном интегральном инварианте Пуанкаре. Существование этого интегрального инварианта выражает фундаментальное свойство гамильтоновых систем. В дальнейшем, при более детальном рассмотрении уравнений Гамильтона, мы дадим более подробный анализ этого, а также других интегральных инвариантов. [c.274]

Инвариантность s относительно преобразований группы Пуанкаре означает, в частности, инвариантность ур-ния = 0. В свою очередь это означает инвариантность скорости света относите.тьно всех преобразований, перечисленных выше (в действительности, согласно частной О. т., со скоростью света движется любая безмассовая частица). В частности, скорость света не изменяется при движении источника. (Событием Е может служить испускание света движущимся источником.) Этот факт является одной из основных черт О. т. [c.495]

Исследуя уравнения Пуанкаре в групповых переменных, Н. Г. Четаев доказал существование относительного интегрального инварианта соответствующей системы дифференциальных уравнений траекторий движения. [c.102]

То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной поверхности 5 (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера х(Л) ( площадь А) связана с каждым подмножеством А поверхности 5 так, что если Л/ есть множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие движения к моменту времени (, то х(Л ) = (Д) и и(5)<оо. [c.162]

В более общей постановке проблема малых колебаний была исследована Пуанкаре ). Из 207 получается, что уравнения малых движений относительно вращающихся осей могут быть написаны в виде [c.904]

Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре. При выводе уравнений движения из принципа Гамильтона предполагалось, что независимыми являются только координаты ди д2,. .., ди- Обобщенные скорости и импульсы предполагались зависимыми. Относительно вариаций координат предполагалось а) вариации б9i обращаются в нуль на концах интервала времени (при t=to и t = il) , б) вариации б , произвольны и независимы внутри интервала ( 0, ). Французский математик и механик А. Пуанкаре [c.466]

К самым релятивистским объектам относится фотон, для которого А. Пуанкаре установил меру инерции т = Е/с (где Е — энергия фотона, с — скорость света в вакууме). Фотон движется со скоростью света, в теории относительности это безмассовая частица, а m — мера присущей телу (электромагнитной) энергии. В 1905 г. Эйнштейн выступил в печати с утверждением, что если тело теряет энергию путём излучения (электромагнитного, наше примечание), то масса тела уменьшается приблизительно на величину потерянной энергии, умноженной на 1/с [138]. Более общим, чем равенство Е = тс , выражением соотношения массы и энергии считается единое определение импульса в виде универсального утверждения (Планк, 1908 г.), а не только утверждения для случая электромагнитного излучения. В 1911 г. Лоренц показал, что необходимо включать в рассмотрение любые виды энергии [138]. Означает ли это, что в общую сумму энергий надо включать и потенциальную энергию сил инерции Например, силы инерции поступательного движения имеют потенциал, зависящий от ускорения. Тогда и масса должна зависеть от переносного ускорения. Ответ на поставленный вопрос могут дать только эксперименты. [c.255]

Оказывается, что интеграл типа Лагранжа существует для почти всех задач динамики твердого тела, представляющих теоретический интерес, а его наличие приводит к интегрируемым случаям, как правило, имеющим важное прикладное значение. Например, аналог случая Лагранжа для уравнений Кирхгофа был указан самим Кирхгофом, который также проинтегрировал его и указал наиболее простые движения. Для уравнений Пуанкаре-Жуковского (на во(4)) аналог случая Лагранжа указал Пуанкаре для обоснования своих теоретических выводов относительно прецессии оси вращения Земли. В двух указанных случаях, как и в классической задаче Лагранжа, можно получить явную (эллиптическую) квадратуру для угла нутации в, определяемую гироскопической функцией, а также использовать все результаты качественного анализа движения, приведенные нами в 3 гл. 2. [c.232]

Конфигурационным пространством рассматриваемой нами задачи является группа б О(З) X б О(З) и 6 0(4), где первое слагаемое соответствует вращениям оболочки относительно неподвижных в пространстве осей, а второе — вращениям воображаемой сферы относительно оболочки. Представим уравнения движения в форме уравнений Пуанкаре на этой группе Ли. Обозначим соответствующие инвариантные векторные поля на двух экземплярах б О(З) в виде го1,го2,гоз и С1,С2,Сз- Тогда [c.272]

Теорема Пуанкаре. Единственно возможным движением жидкости, при котором она находится в состоянии относительного равновесия, является перманентное вращение ее вокруг одной из главных центральных осей инерции. [c.773]

Нетрудно понять, что у имеет смысл величины скорости движения системы 5 относительно системы 5. В частности, если система 5 движется относительно инерциальной системы 5 равномерно и прямолинейно, то она также является инерциальной. Формулы (4) носят название преобразований Галилея. В релятивистской механике они заменяются преобразованиями Лоренца — Пуанкаре. [c.8]

Бесплодные попытки обнаружить влияние движения Земли на механические, оптические и электромагнитные явления привели физиков к убеждению о справедливости принципа относительности для всех физических процессов. Полностью изменилась сама основа нашего описания природы, ибо как только была осознана универсальность принципа относительности, упоминавшаяся в 1.2, концепция абсолютной системы отсчета, связанной с неподвижным эфиром, потеряла всякое физическое значение. Любые физические процессы протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах и никаким экспериментом невозможно обнаружить среди них абсолютную систему отсчета. Все инерциальные системы становятся полностью эквивалентными, и для любой удовлетворительной теории необходимо потребовать, чтобы она приводила к одинаковым результатам во всех таких системах отсчета. Эйнштейн [65—68] первый сформулировал эту новую точку зрения в своей фундаментальной работе 1905 г. [65] и показал ее следствия. (См. о вкладе Пуанкаре стр. 392—Прим. ред.) [c.29]

Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, ког- [c.255]

Очевидно, неподвижным точках отображениям Пуанкаре соответствуют периодические движения вихрей, при которых они движутся по замкнутым кривым. Удивительной особенностью случая равных интенсивностей является существования таких периодических решений, когда два вихря движутся по одной и той же траектории в неподвижной системе координат (см. рис. 2). Такие решения называются [абсолютными) хореографиями [6] и здесь, по-видимому, указывается впервые (см. также [2]). Отметим, что в обзоре [2] этого сборника мы указываем относительные хореографии для [c.426]

Задача й-f-l тел каноническая форма Пуанкаре для уравнений ОТНОСИТЕЛЬНОГО движения. Значительно более важная иллюстрация общих рассуждений предыдухДего параграфа дается в задаче п- - тел (или вообще и-f-l свободных точек, находящихся исключительно под действием внутренних сил), когда стараются получить решение из интегралов количеств движения (или количества движения центра тяжести) [c.315]

Если речь идет о системе, находящейся под действием только внутренних сил, то, как уже упоминалось в п. 24, останутся в силе не только интегралы количеств движения, которые здесь будут полностью использованы для приведения (согласно п. 47) уравнений относительного движения к канонической форме Пуанкаре, но и интегралы результирующего момента количеств движения ЛГ= onst. Так как движение происходит в плоскости Stj, то достаточно выбрать в ней центр приведения, для того чтобы вектор АГ был перпендикулярен к этой плоскости, и нам останется только рассмотреть осевой интеграл моментов Я" = АГз = onst. [c.330]

Формулы (4.4.17) выражают элементы второй системы Пуанкаре через элементы первой системы. Связь между элементами второй системы Пуанкаре и кеплеровскими оскулирующими элементами относительного движения дается соотношениями [c.354]

Как уже говорилось в предыдущих главах, динамика частшш может быть описана в трехмерном фазовом пространстве (х, у, Z = wt). Но ранее мы сосредоточивали свое внимание на хаотиче. ских движениях такой системы. Теперь же нас интересуют только движения, периодические относительно либо левого, либо правого положения равновесия (дг = 1). Таким образом, в качестве аттракторов в этой задаче можно рассматривать предельные циклы. [Взяв отображение Пуанкаре асимптотического движения, мы получим конечное множество точек вблизи одного из положений равновесия ( 1,0).] Здесь мы не отличаем субгармоники с периодом 1 от субгармоники с периодом 3. Мы предполагаем, что вынуждающая сила /о достаточно мала и не вызывает хаотических колебаний и длиннопериодических субгармоник. [c.252]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

В начале XX в. принципы классической механики подвергались критике, в результате чего появилась релятивистская и квантовая механика. Не входя в подробности, можно указать, что принципы теории относительности, развитые Дж. К. Максвеллом (1831—1879), X. А. Лоренцем (1853—1928), А. Пуанкаре (1854— 1912) и А. Эйнштейном (1879—1955), коренным образом меняют наши обычные представления о пространстве и времени. Теория относительности методом научного анализа еще раз подтвердила справедливость марксистско-ленинского положения о единстве движущейся материи со временем и пространством. В релятивистской механике время не является универсальным понятием, а имеет л1естное значение. Связь наблюдателей, находящихся в различных движущихся системах, осуществляется при помощи световых сигналов, причем постулируется, что ito-рость света — универсальная постоянная для всех систем. Релятивистская механика не отменяет классическую механику, а лишь указывает па ее ограниченность и на несправедливость ее законов там, где скорость движения тела соизмерима со ско-росгью света. [c.143]

Для получения численной величины а следует воспользоваться феноменологической теорией Пуанкаре — Мин-ковского, упоминавшейся ранее в п. 8. Эта теория основана на специальной теории относительности. Она приспособила ньютоновы уравнения движения планет к требованиям этой теории с тем условием, чтобы в предельном случае малых Kopo Teii иолучпт[> старые результаты. Функция Гамильтона в этой теории имеет вид (9.8.8). В сферических координатах для ф = onst = - л имеем [c.377]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Инвариантные преобразования. Ур-ние (1) инвариантно (т. е, сохраняет свою структуру) относительно линейных преобразований координат в времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей,. 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования, а также 4 смещения начала координат е времени). В 1910 Г. Бейтмен (Н. Bateman) показал, что В. у. инвариантно относительно 15-параметрич, конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантны преобразований следует выделить [c.312]

Л. ф. играет важную эвристич. роль при построении матем. описания новой области явлений. Действительно, в соответствии с требованиями инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре и др. групп симметрии может зависеть только от инвариантных комбинаций полей, к-рые нетрудЕШ перечислить. Если по соображениям простоты оставить в инварианты мнним. степени по полям, пол> чаю-щиеся из Л. ф. ур-ния движения часто оказываются линейными. В этом случае они наз. уравнениями свободного ноля. Так, для векторного поля с абелевой калибровочной гру1Пюй (напр., эл.-маги. поля) все возможные лагранжианы эквивалентны выражению — /4 jiv uv тензор поля F = [c.544]

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ОТО) — современная физ. теория нространства, времени и тяготения окончательно сформулирована А. Эйнштейном в 1916. В основе ОТО лежит эксперим. факт равенства инертной массы (входящей во 2-й закон Ньютона) и гравитац. массы (входящей в закон тяготения) для любого тела, приводящий к эквивалентности принципу. Равенство инертной и гравитац. масс проявляется в том, что движение тела в поле тяготения ее зависит от его массы. Это позволяет ОТО трактовать тяготение как искривление пространственно-временного континуума. Это искривление пространства-времени оиисывается метрикой, определяемой из ур-ний теории тяготения (см. Тяготение). Пространство Минковского, рассматриваемое в частной (специальной) теории относительности (т.е. в отсутствие тяготеющих тел), обладает высокой степенью симметрии, описываемой группой Пуанкаре. Эта группа в соответствии с принципом относительности порождает изоморфные последовательности событий. В пространстве, где есть поле тяготения, симметрия полностью исчезает, поэтому в нём не выполняется принцип относительности (т. е. нет сохранения относительной или внутренней структуры цепочек событий при действии группы симметрии). Назв. О. т. о. , принадлежащее Эйнштейну, является поэтому неадекватным и постепенно исчезает из литературы, заменяясь на теорию тяготения . и. ю. Кобзарев. [c.392]

Первоначальной эксперим. основой частной О. т. был ряд оптич. экспериментов, установивших отсутствие эффектов, связанных с движением Земли относительно гипотетич. эфира в порядках о/е и (с/с) (последнее — в опыте Майкельсона — Морлн в 1887 см. Майкельсона опит). Именно основываясь на этих опытах, А. Пуанкаре в 1895 высказал гипотезу, что постулат относительности точен во всех порядках по с/с. К 1905, когда Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн дали свои формулировки частной О. т., отсутствие эффектов в порядке v/ нашло дополнит, подтверждение в ряде опытов, но отсутствие эффектов в порядке (с/с) подтверждалось только опытом Майкельсона — Морли. [c.501]

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ (лоренц-инвариантность) — независимость физ. законов и явлений от скорости движения наблюдателя (или, точнее, от выбора инерциальной системы отсчёта). Р. и. законов фундам. физ. взаимодействий означает невозможность ввести выделенную систему отсчёта и измерить абс, скорость тел. Принцип Р. и, возник в нач. 20 в. в результате обобщения разл. опытных данных, начиная с отрицат. результата экспериментов Майкельсона — Морлп (1881—87) (см. Майкельсона опыт). Ныне наилучшие в наиб, многочисл. подтверждения Р. в. фундам. физ. взаимодействий дают опыты с элементарными частицами высоких энергий. Из принципа Р. в. вытекает существование нек-рой универсальной макс, скорости распространения всех физ. взаимодействий эта скорость совпадает со скоростью света в вакууме. Ма-г тематически Р. и. выражается в том, что ур-ния релятивистской механики Эйнштейна — Лоренца — Пуанкаре и электродинамики Максвелла (совокупность этих ур-ний образует спец, теорию относительности), а также теории сильного и слабого взаимодействий не изменяют своего вида, если входящие в них пространственно-временные координаты и физ. поля подвергаются Лоренца преобразованиям. Для построения релятивистски инвариантной теории гравитац. взаимодействия понятие Р, и, должно быть обобщено (см. ниже). [c.322]

Задачу инвариантности уравнений Максвелла почти одновременно с Пуанкаре решает Эйнштейн, который, основываясь на опытных результатах, предполагает, что при движении источника свет в пустоте распространяется изотропно, и в любой галилеевской системе отсчета его скорость равна абсолютной постоянной с л 300 ООО км сек. Изотропность и постоянство скорости света предполагают справедливость преобразований Лоренца, что и обеспечивает инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований. [c.628]

Решение проблемы было дано в 1904—05 г, в работах Г. Лоренца, А, Пуанкаре и А, Эйнштейна, Эйнштейн, исходя из экспериментальных результатов О, д, с., пришел к выводу о независимости физич. явлений в движущейся системе от ее no i y-пательного движения. Это положение (принцип относительности) устраняет из физич. теорий понятие эфира как материальной среды. Не имеет никакого смысла говорить о де.и-жении или покое относительно эфира, если они принципиально не могут быть обнаружены с помощью наблюдений. Принцип относительности и принцип независимости скорости света от движения источника легли в основу специальной теории отю-сительности Эйнштейна, Они позволили получить грунту преобразований — группу Лоренца, — относительно к-рзй должны быть инвариантны ур-ния всех физич, процессов. [c.500]

В отличие от рассматриваемых далее уравнений Пуанкаре-Жуковского, описывающих движение тела с полостью, заполненной вихревой жидкостью (см. гл. 3, 2), матрицы А, В, С зависят от позиционных переменных, которые определяют положение несомого тела относительно несущего, задаваемое элементом группы S0 3). В качестве таких переменных можно выбрать углы Эйлера, либо направляющие косинусы, либо другую систему координат на группе S0 3). [c.159]

В своей работе [256] А. Пуанкаре привел вполне современный вывод уравнений (2.3), (2.8), опираясь на развитый им формализм общих уравнений движения на группах Ли. Он также явно указал сведение к эллиптическим квадратурам для осесимметричного случая и рассмотрел устойчивость регулярных прецессий. По этому поводу интересна его полемика с В. Кельвином относительно поведения частоты и устойчивости прецессии тела при наличии жидкой полости. При этом Пуанкаре использует систему (2.7) ДЛЯ описания движения Земли, представляющей собой твердую оболочку (мантию) и жидкое ядро. В дальнейшем эту модель изучает также В. А. Стеклов, приводя в работе [273] открытые им случаи интегрируемости. [c.182]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Легко проверить, что каждое из векторных полей (о,гУ (О,-= onst, =1,2,3) является стационарным решением рассматриваемой задачи. Отсюда следует, что идеальная однородная несжимаемая жидкость, заключенная в эллипсоидальную полость, может совершать свободное стационарное вращение вокруг любой из главных осей эллипсоида, т. е. такое движение, в котором ротор скорости не зависит от времени, остается постоянным в пространстве и направлен вдоль какой-либо из главных осей эллипсоида. В общем случае поле скорости v (х, t), задаваемое равенством (4), является нестационарным. Делая подстановку (4) и (5) в уравнение Гельмгольца (1), в котором член ( V) й обращается в нуль для рассматриваемых полей, получим следующую динамическую систему относительно параметров Пуанкаре [c.29]

Первый случай, обладающий симметрией относительно точки, является, как показано выше, полностью интегрируемым. Во втором случае траектории вихрей совершенно нерегулярно заполняют область, близкую к круговой. Особенно четко рЗ Вличия этих случаев можно проследить на рис.52, показывающем сечения Пуанкаре — положение вихря 2 на плоскости в те моменты времени, когда вихрь 1 пересекает положительную ось у. Подчеркнем, что исследование при помощи сечений Пуанкаре при финитном движении вихрей является мощным средством для идентификации хаотических и кваэнупорядо-ченных движений. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...