Лагранжева эквивалентность

Д. Лагранжевы эквивалентности. Теперь следует сказать, в каком смысле приведенные примеры являются нормальными формами типичных особенностей проектирования лагранжевых многообразий. Прежде всего мы определим, какие особенности мы будем считать одинаково устроенными . [c.420]

Заметим, что два лагранжево эквивалентных лагранжевых отображения превращаются одно в другое при помощи диффеоморфизмов в пространстве-прообразе и пространстве-образе (или, как говорят в анализе, приводятся одно к другому заменой координат в прообразе и в образе). Действительно, наш симплектический диффеоморфизм, суженный на лагранжево многообразие, задает диффеоморфизм прообразов диффеоморфизм же конфигурационных пространств-образов возникает потому, что слои переходят в слои. [c.420]

Лагранжево отображение, рассматриваемое в окрестности некоторой выделенной точки, называется лагранжево эквивалентным в этой тючке другому лагранжеву отображению (также имеющему выделенную точку), если существует лагранжева эквивалентность первого отображения в некоторой окрестности первой [c.420]

Всякое п-мерное лагранжево многообразие (тг 5) можно сколь угодно малой деформацией в классе лагранжевых многообразий превратить в такое, что отображение проектирования на конфигурационное пространство будет в каждой точке лагранжево эквивалентным одному из лагранжевых отображений приведенного выше списка. [c.421]

В частности, двумерное лагранжево многообразие можно сколь угодно малым шевелением в классе лагранжевых многообразий привести в общее положение , так что отображение проектирования на конфигурационное (двумерное) пространство не будет иметь других особенностей, кроме складок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме и сборок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме з). [c.421]

Определение 4 [лагранжевы особенности). Лагранжева особенность есть росток лагранжева отображения, рассматриваемый с точностью до лагранжевой эквивалентности. [c.26]

Пример (см. [2]). Лагранжевы особенности типичных лагранжевых отображений многообразий размерности п < 5, с точностью до лагранжевой эквивалентности, содержатся в следующем списке лагранжевых особенностей, определённых производящими семействами < п + 1) [c.27]

Обе складки ( в А2) лагранжево эквивалентны, в отличие от лагранжевых сборок ( в Лз). [c.27]

Теорема. Все производящие семейства лагранжево эквивалентных особенностей локально стабильно -эквивалентны. Стабильно Д+-эквивалентные производящие семейства определяют лагранжево эквивалентные отображения. [c.29]

Таким образом, классификация лагранжевых особенностей (с точностью до лагранжевой эквивалентности) сведена к классификации ростков семейств функций (с точностью до стабильной Д+-эквивалент-ности). [c.29]

Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени —ее гамильтоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамильтоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой. [c.261]

Теорема 7.1.1. В лагранжевых координатах тождество принципа Даламбера-Лагранжа эквивалентно тождеству [c.524]

Эти уравнения полностью эквивалентны первоначальным лагранжевым уравнениям, являясь лишь их новой математической формулировкой. Однако новые уравнения обладают огромным преимуществом по сравнению с первоначальными производные по времени в них появляются лишь в левых частях уравнений, потому что функция Гамильтона не содержит производных q или р,- по времени t. [c.196]

Бернулли — с момента появления дифференциального исчисления. Эйлер нашел дифференциальное уравнение, дававшее в явном виде решение для широкого класса таких задач. Хотя Эйлер и не сформулировал четко принцип наименьшего действия, что было впервые сделано Лагран-жем, его применения этого принципа к механическим задачам, по сути дела, эквивалентны лагранжевой явной формулировке. [c.390]

Мы пришли, таким образом, к нормальной системе первого порядка с 2л неизвестными функциями р, q, состоящей из уравнений (1 ), (2 ) эти 2п уравнений можно назвать эквивалентными первоначальной лагранжевой системе (1), так как, с одной стороны, они получаются из уравнений (1) только что указанным однозначным способом, а с другой стороны, обратно, исходя из соотношений (1 ), (2 ), мы возвратимся к уравнениям (1), исключая р посредством уравнений (2). [c.240]

Указанная выше эквивалентность между всякой лагранжевой системой и соответствующей ей канонической системой заставляет нас предполагать, что если функция Гамильтона не зависит явно от t, то уравнение (6) в предположении, что Н выражена в функции от р, q, должно давать интеграл канонической системы. [c.245]

Здесь мы хотим показать, что такая эквивалентность существует и в более общем случае для всевозможных лагранжевых систем (31) с какой угодно функцией 8(q VtO- [c.421]

Поэтому, обращаясь опять к следствиям, вытекающим из уравнения (46), мы можем заключить, что имеет место полная эквивалентность между лагранжевой системой (31) вместе с уравнением И=Е связка решений) и вариационным условием (47), отнесенным к переходу от любой траектории рассматриваемой связки к какой-нибудь бесконечно близкой кривой с теми же концами. [c.433]

Чтобы исследовать, при каких условиях уравнения (51 ) можно решить относительно р°, найдем первые члены разложений в ряды по степеням t— функций

[c.438]

Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зависеть от /q, и от 2 произвольных постоянных, которые входят в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31 ) и которые мы можем отождествить с начальными значениями величин и р. Наоборот, аргументы входят в А только в виде бинома действительно, так как дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное появится в решении а и, следовательно, в функции под знаком А только в виде бинома t — отсюда следует, что после выполнения интегрирования действие А будет зависеть только от ty — (но не от или /ц в отдельности). [c.442]

Принцип Гамильтона, распространенный в п. 19 на нормальные лагранжевы системы, устанавливает эквивалентность между любой такой системой (31) и условием стационарности 85 = 0 соответствующего интеграла [c.452]

Гельмгольц заметил, что если интеграл S берется в виде (16 ) и функция Н рассматривается в нем выраженной через р, д и, возможно, через t и если в соответствующей синхронной вариации 3S вариации Вр рассматриваются как произвольные наравне с 8д (при = 0 при = 0 и при t = t , но без какого бы то ни было ограничения для 8р), то условие 8S = О будет все еще эквивалентно лагранжевой системе (31) или, что одно и то же, в предположении Д О, гамильтоновой системе [c.453]

Лагранжевы координаты для голономной системы. Вернемся теперь к задаче о переходе от декартовых координат к лагранжевым, которую мы начали рассматривать в 5.1. Допустим сначала, что уравнения-связи (2.2.4) вполне интегрируемы, т. е. что они эквивалентны L уравнениям вида [c.78]

Всего будем иметь I + p таких уравнений. Уравнения (12.2.4) в точности эквивалентны системам (12.2.1) и (12.2.3). Следует подчеркнуть, что коэффициенты Drs, Dr зависят от всех лагранжевых координат g и от времени t, а отнюдь не от ф1, фг,. . ., ф t. [c.215]

Система имеет лагранжиан L q, t, q) и движется в соответствии с лагранжевыми уравнениями движения ( 46) соответственно она имеет гамильтониан H(q, t, р) и движется согласно уравнениям Гамильтона ( 47). Мы будем называть систему консервативной, если t не входит явно в Н (или, что эквивалентно, не входит в L), так что имеем [c.201]

Эти уравнения эквивалентны системе (65.3). Появляющееся здесь выражение называют лагранжевой производной функции L. [c.216]

По существу, они эквивалентны друг другу L-динамика есть форма Л-динамики, в, которой t рассматривается двояко как координата в пространстве QT и как параметр па кривой в QT. Мы объединим их под общим названием лагранжева динамика. [c.216]

Эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой динамики. Под лагранжевой динамикой мы понимаем теорию, изложенную в 64 и 65, основанную на однородном лагранжиане Л(а , х ) или на обычном лагранжиане [c.226]

Отображение проектирования лагранжева многообразия на конфигурационное пространство будем для краткости называть лагранжевым отображением. Пусть даны два лагранжевых отображения многообразий одинаковой размерности п (соответствующие тг-мерные лагранжевы многообразия лежат, вообще говоря, в разных фазовых пространствах, являющихся кокасательными расслоениями двух разных конфигурационных пространств). Мы скажем, что два таких лагранжевых отображения лагранжево эквивалентны, если существует симплектический диффеоморфизм первого фазового пространства на второе, переводящий слои первого кокасательного расслоения в слои второго и переводящий первое лагранжево лшогообразие во второе. Сам симплектический диффеоморфизм называется тогда лагранжевой эквивалентностью отображений. [c.420]

В частности, каустики двух лагранжево эквивалентных отображений диффеоморфны, поэтому классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности влечет за собой классификацию каустик. Одйако классификация с точностью до лагранжевой эквивалентногти, вообще говоря, тоньше, чем классификация каустик, так как из диффеоморфности каустик вообще не вытекает лагранжева эквивалентность отображений. Более того, классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности тоньше, чем классификация с точностью до диффеоморфизмов прообраза и образа, так как не всякая такая пара диффеоморфизмов реализуется симплектическим диффеоморфизмом фазового пространства. [c.420]

Заметим, что уже приведенное утверждение о двумерных лагранжевых отображениях не вытекает из классификационной теоремы для общих (нела-гранжевых) отображений. Ибо, во-первых, лагранжевы отображения составляют среди всех гладких отображений весьма узкий класс, и поэтому могут иметь (и действительно имеют при и > 2) в качестве типичных для лагранжевых отображений такие особенности, которые для отображений общего вида нетипичны. Во-вторых же, из возможности привести отображение к нормальной форме диффеоморфизмами прообраза и образа еще не следует возможность такого приведения с помощью лагранжевой эквивалентности. [c.421]

Комплекс (О коориентированных классов лагранжевых особенностей определяется почти так же, как комплекс Й, разница состоит в том, что всюду надо о-эквивалентность заменить на стабильную / о-эквивалентность. Это связано с тем, что лагранжево эквивалентным росткам лагранжевых многообразий соответствуют лишь стабильно эквивалентные ростки производящих функций. [c.213]

Лагранжевой эквивалентностью двух отображений называется симплектоморфизм тотального пространства, переводящий слои первого лагранжева расслоения в слои второго и первую лагранжеву иммерсию во вторую. Таким образом, лагранжева эквивалентность является коммутативной (3 Х 2) диаграммой где строки — данные лагранжевы отображения, вертикальные стрелки — диффеоморфизмы, средняя стрелка — симплектоморфизм. [c.25]

Типичные лагранжевы особенности отображений пространств размерности те > 5 имеют модули (непрерывные инварианты лагранжевой эквивалентности), для больших размерностей появляются даже функциональные модули. Несмотря на эти трудности, найдена классифика ция, с точностью до лагранжевой эквивалентности, типичных лагранжевых особенностей для п < 10 (см. [27]-[29]). Соответствующие нормальные формы содержат произвольные параметры (модули) и функции (функциональные модули). [c.28]

Лагранжа двойственность 175 Лагранжа множители 175 Лагранжев (цилиндрический) кобордизм 116 Лагранжев идеал 207 Лагранжев край 115 Лагргшжева особенность 26 Лагранжева эквивалентность 25 Лагранжево включение 150 Лагргшжево двойственная функция 175 Лагранжево многообразие 22 [c.334]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

Отсюда следует, что две материальные системы совершенно различной материальной структуры с точки зрения аналитнческогв представления движения динамически эквивалентны, т. е. при подходящих силах имеют одни и те же уравнения движения, если только при надлежащем выборе лагранжевых координат они допускают одно и то же выражение для живой силы. Очень простор пример такой динамической эквивалентности материальных систем, физически различных между собой, мы будем иметь (как это будет видно в п. 49), рассматривая, с одной стороны, одну свободную материальную точку в пространстве (отнесенную к декартовым координатам), а с другой стороны, материальный диск, свободно дви-мсущиНся II своей плоскости (если за его лагранжевы координаты примем декартовы координаты какой-нибудь неизменно связанной с ним точки, а третий параметр выберем пропорциональным углу, определяющему его ориентировку в плоскости относительно непо движных осей). [c.294]

Случай не нормальной лагранжевой системы. Задача о геодезических линиях. Только что доказанная эквивалентность, как это следует из формального способа, которым она была установлена, имеет место, какова бы ни была лагранжева система (31). Она, в частности, будет иметь место также и тогда, когда функцйя й не будет зависеть от / и будет однородной первой степени относительно 9. В п. 41 гл. V мы видели, что в этом случае соотшетству-ющая система Лагранжа (31) не будет нормальной (т. е. не будет разрешимой относительно я вторых производных от q), так как между левыми частями уравнений (31) существует тождественное линейное соотношение [c.423]

Эти уравнения, наравне с вариационным условием (54), из которого они выводятся, будут тождественно удовлетворены любым решением а заданной лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (3l0i которая, как мы уже знаем, имеет интеграл H p q) = E. [c.445]

Плотность лагранжиана, используемого в задачах динамики (линейной или нелинейной) теории упругости, определяется выражением L = W — Т — Р, где W — плотность энергии деформации, Т — плотность кинетической энергии и Р — потенциал внешних сил. при лагранжевом подходе к описанию движения (материальные координаты Х[ являются независимыми переменными) в общем случае можно считать, что L — функция переменных У , / = (5У,/(ЗХ/(или, что эквивалентно, переменных /), Ui, Ui, а также независимых переменных Х, (для неоднородных систем) и t (для неголономных систем). Такнм образом, t [c.150]

Существуют два теоретически эквивалентных подхода к решению задач механики сплошной среды лагранжев (материальный) и эйлеров (пространственный). При лагранжевом подходе в качестве основных переменных используются 0, а при эйлеровом — 0, Эйлеров подход применяется в основном в исследованиях по гидродинамике. В настоящей книге, за редким исключением , используется лагранжев подход в двух вариантах [c.21]

В результате исследований ряда ученых XIX в. принцип Гаусса был обобщен на реономные механические системы, на системы с неудерживающими связями, был выражен в аналитической форме в декартовых и лагранжевых координатах, одним словом, ему была придана классическая формулировка и толкование, встречающееся в современных учебниках по теоретической механике. При этом применимость принципа Гаусса, как и принципа Дал мбера — Лагранжа, ограничивалась рамками голономных систем. Оба принципа считались эквивалентными между собой. Различие между ними к концу XIX в. усматривалось лишь в правилах варьирования, а именно если в принципе Даламбера — Лагранжа варьированию подлежат только координаты, то в принципе Гаусса варьировать следует ускорения при фиксированных координатах и скоростях. Поэтому принципы Даламбера — Лагранжа и Гаусса в аналитической форме соответственно выражаются соотношениями [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...