Периодические Лагранжа

Из соотношений (5-4.72) и (5-4.73) следует, что рассматриваемый тип течения принадлежит фактически системам с лагранже-вым периодическим течением. Разумеется, существуют лишь две отличные от нуля компоненты напряжений, например, как это следует из уравнения (5-1.29), [c.204]

Доказательство этой теоремы достаточно провести для периодического случая, так как стационарный случай можно рассматривать как частный случай периодического с любым х. Доказательство состоит в повторении рассуждений, приведенных ранее при доказательстве теоремы Лагранжа и теоремы [c.208]

Эти периодические движения нам уже известны, они были предметом нашего рассмотрения в 29.4. Речь идет о решениях типа треугольника Лагранжа, форма которого остается неизменной. Частицы при этом движутся в пространстве с периодом 2л/оо по эллипсам, близким к окружностям движение их относительно вращающихся осей в окрестности равновесного положения приближенно является эллиптическим. В этом случае периоды точно (а не приближенно) равны 2я/ш. [c.612]

Покажем теперь, каким образом можно непосредственно получить передаточную функцию Wy,(t), не обращаясь к уравнениям Эйлера — Лагранжа. При этом обобщим рассматриваемый метод определения оптимального управления па случай произвольного стационарного возмущения L t), периодического или почти периодического, для которого существует и является конечным спектр [c.320]

ИЛИ начальную скорость. Если начальное возмущение достаточно мало, то в результате его действия механизм будет совершать около положения равновесия периодическое движение с определенной частотой. Это движение можно определить, сообщив обобщенной координате Оо малое приращение е и составив в форме Лагранжа уравнение малых колебаний механизма, в процессе которых а = ао + е, где всегда е<ео [c.115]

В изложении Лагранжа есть одна обмолвка и одна ошибка. Лагранж замечает, что одна и та же система способна совершать столько различных про-поо стых колебаний, сколько она содержит движуш ихся тел Это — повторе-ние ошибочного утверждения Д. Бернулли, но у Лагранжа эго, конечно, только небрежность формулировки, потому что весь его анализ показывает, что число простых колебаний равно числу независимых переменных, т. е. числу степеней свободы системы. Ошибочным же оказалось утверждение Лагранжа, что уравнение для определения к (уравнение частот ) не может иметь равные ( вещественные и положительные ) корни, так как тогда время t, возрастающее до бесконечности , уже не будет всегда находиться под знаком синуса или косинуса (верно то, что уравнение частот может иметь равные корни, но из-за этого в решении время не выйдет из-под знака периодических функций). [c.266]

Эта фундаментальная теорема обобщила теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.36]

Рис. 30. Для волчка Лагранжа существуют два простых частных периодических решения, для которых ось волчка вертикальна, а центр масс находится выше либо ниже точки закрепления — для краткости верхнее и нижнее решение соответственно. Традиционно, волчок, вращающийся в верхнем положении называют спящим волчком . В пространстве

Замечание 1. Изложенный метод решения дифференциальных уравнений для элементов Лагранжа (4.8.06) получил в специальной литературе название метода Лагранжа вычисления вековых возмущений , хотя, как видно из общего решения (4.8.08), элементы Лагранжа изменяются периодическим образом. Это объясняется тем, что в уравнениях для элементов сохранена лишь вековая часть возмущающей функции с точностью до вторых степеней малых величин. [c.426]

Оказывается, теорема 2 гл. 2 является дискретным аналогом некоторой общей теоремы, связывающей мультипликаторы периодической траектории уравнений Лагранжа (в частности, уравнений геодезических) со свойствами соответствующей критической точки функционала действия. [c.156]

Для применения теории к исследованию периодических волн иногда бывает удобно взять интеграл (56) по одному периоду и по одной длине волны. Можно показать, что в этом случае вариационный принцип продолжает оставаться справедливым, если на вариации просто наложить требование быть периодическими с этими же периодом и длиной волны. Таким образом, из всех волновых движений с данными периодом и длиной волны в действительности осуп ествляется движение с таким волновым профилем, для которого интеграл (56), взятый но длине волны, стационарен. Это то же самое, что сказать средняя плотность лагранжиана X (усреднение проводится по длине волны) стационарна. [c.548]

Зная периодические члены, находим Яо и Со зная чисто вековые члены, находим щ и, следовательно, v. Таким образом, приходим к доказательству некоторых свойств разложений (21), т. е. разложений, полученных методом Лагранжа. Эти свойства являются намного более простыми по сравнению со свойствами общего случая задачи трех тел. Эта относительная простота легко объясняется отсутствием переменных, аналогичных и л, так что Fo зависит от п переменных из 2п. [c.157]

Бели заданы й, V, р, то с помощью этих уравнений можно вычислить й, I я р. Из третьего интеграла площадей следует важнейшая теорема небесной механики, а именно, знаменитая теорема Лапласа об устойчивости. Благодаря исследованиям Лапласа и Лагранжа, к которым мы еще возвратимся в одном из следующих разделов, было показано, что если принимать во внимание по крайней мере только члены низшего порядка относительно возмущающих масс, то большие полуоси а и а оскулирующих эллипсов будут совершать только периодические колебания вблизи средних значений о и а . Это утверждение, которое составляет первую часть теоремы об устойчивости Лапласа, мы будем предполагать здесь доказанным. [c.221]

Об устойчивости периодического решения Лагранжа для ограниченной задачи трех тел. Докл. АН СССР, 1962, 143, №3, с. 525 528. [c.273]

Вековая часть возмущающей функции. Применение метода Лагранжа для определения вековых возмущений требует, чтобы возмущающая функция была ограничена своей вековой частью, т. в. чтобы все периодические члены, которые в своих аргументах содержат средние долготы (или средние аномалии) планет, были отброшены. Кроме того, решение в первом приближении ограничивается включением тех членов вековой части, которые пмеют второй порядок относительно эксцентриситетов и наклонностей. [c.437]

Исчерпывающий учебник с большим количеством нодроб-ностей. Том I — орбиты, баллистические траектории, уравнения Лагранжа и Гамильтона и вариационные принципы для частицы. Том II — твердое тело, имеющее неподвижную точку или катящееся ударные импульсы, общие лагранжевы и га мильтоновы методы, метод периодических решений. [c.441]

Составим уравнения Лагранжа для каждой из двух частей машины, разделенных упругим звеном. Часть, связанная с двигателем, имеет приведенный момент инерции /д(дд), являюш ийся периодической функцией с периодом 2ягд вторая часть агрегата имеет приведенный момент инерции /м( м), имеюш ий период 2лг . Момент Ма является движущим моментом для исполнительных механизмов, а момент —Ма — моментом сил сопротивления для двигателя. Момент создается силами, действующими на звенья исполнительных механизмов естественно поэтому, что он может считаться функцией q и представленной в форме (3.34). Учитывая все это, составляем уравнения Лагранжа. Используя выражения (3.30), (3.36) и (3.37), получаем [c.52]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Уравнения невозмущённого движения совпадают с уравнениями движения висячего волчка Лагранжа с обобщённым восстанавливающим моментом Ма(а) в виде нечётной периодической функции пространственного угла атаки (угла нутации). При е = О система уравнений возмущённого движения (1.30) является консервативной и имеет вид [c.53]

Замечание. Если А = В и х = О, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные инвариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрущатся при добавлении возмущения они перейдут в резонансные торы возмущенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периодических решений. [c.95]

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.15]

Но поскольку мы хотим сделать элементарной нашу теорию кручения, найдем эти значения простым методом, который был применен Лагранжем (Lagrange) ) в задаче о колебаниях струн, а затем Эйлером ) и Фурье ) в других случаях, чтобы выразить какую-либо функцию в виде периодического ряда. Разложив уравнение (151) в ряд [c.159]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Регулярные прецессии. Еще один класс периодических решений, восходящий к классическим исследованиям динамики волчка Лагранжа, не связан непосредственно с динамикой приведенной системы. Это — регулярные прецессии, которые в общем случае, как заметил Гриоли ( 6 гл. 2), возможны вокруг невертикальной оси. Для таких движений периодичность движения требуется для некоторой определенной оси в теле, которая должна вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве. Абсолютное движение при этом, вообще говоря, может оказаться непериодическим, т. к. собственное вращение вокруг оси в теле не обязательно соизмеримо с движением этой оси в пространстве. Это наблюдается, например, для регулярных прецессий в случае Лагранжа. [c.92]

Например, в случае волчка Лагранжа угол нутации изменяется периодически. Вместе с тем абсолютное движение является трехчастотным, а динамика приведенной системы (по (р или по ф) — двухчастотной. Интересно, что на нулевой постоянной площадей (М,7) = О, соответствующей сферическому маятнику, абсолютное движение является двухчастотным. [c.94]

Замечание 2. В работе [49] замечена связь п-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция B. t) в уравнении х = —B. t)x есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, B. t) = [c.168]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Пусть гладкое л-мерное многообразие М является пространством положений механической системы с п степенями свободы. Функция Лагранжа Ь определена на расширенном фазовом пространстве ТМхД. Она считается гладкой, строго выпуклой по скоростям и т-периодической по времени. Согласно принципу Гамильтона т-периодические траектории соответствующей лагранжевой системы совпадают с критическими точками функционала действия [c.158]

Для любого значения imodx второй дифференциал функции Лагранжа по скорости является положительно определенной квадратичной формой и определяет скалярное произведение (,) на касательном пространстве Т- щМ. Пусть — ковариантная производная вектощото поля вдоль 7, согласованная с метрикой ( , + "п)- Вторая вариация функционала S в критической точке т является квадратичной формой на множестве гладких т-периодических векторных полей I вдоль у [c.158]

Следуя подходу создателей метода, мы использовали уравнения движения в форме Лагранжа. Однако все это можно было бы проделать и в канонической форме с помощью подстановки х р, хотя для периодических траекторий такая формулировка не дает каких-либо очевидных преимуществ. Что на самом деле желательно, так это иметь дело с лагранжианами, содержащими невысокие степени координат, в противном случае метод становится слишкол громоздким из-за необходилюсти перемножать сразу много рядов Фурье, что приводит к появлению многократных сумм в рекуррентных соотношениях для коэффициентов ). [c.174]

Опишем теперь вкратце предложенный Персивалем [328, 330, 331 ] метод нахождения инвариантного тора, когда он существует. Метод основан на некотором вариационном принципе, похожем на примененный в п. 2.66 в случае периодических траекторий. Здесь также удобно использовать уравнения Лагранжа [330, 331, 228]. [c.287]

Сложные динамические процессы в сферическом маятнике с двумя степенями свободы проанализированы Майлсом [132]. В числен-яь1Х экспериментах им найдены хаотические решения этой задачи, возникающие, когда точка подвеса совершает вынужденные периодические движения (рис. 3.9). Уравнения движения можно получить из лагранжиана, имеющего вид [c.87]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Центральная задача теории малых колебаний —исследование устойчивости рассматриваемого положения равновесия или периодического движения. Теорин устойчивости посвящена большая литература (см. обзор [11] и В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1984, 1). Ниже кратко рассмотрены только некоторые результаты этой теории, позволяющие судить об устойчивости на основании изучения нормальных форм. Описаны также результаты, связанные с проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия в потенциальном поле. [c.267]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Применим сформулированную в 14 теорему существования к задаче трех тел на плоскости и докажем существование периодических решений вблизи круговых решений Лагранжа. При этом мы будем использовать обозначения 12, в которых д2к-1, 42к к = 1, 2, 3) будут координатами трех материальных точек в неподвижной плоскости. Урав-пепия движения запишем в форме Гамильтона [c.154]

Следовательно, но теореме существования 14 корням Аз = г, Ае = —i соответствует однонараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный 2тг. Но эти решения уже известны они бьши найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце 12, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей г>4 существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период т. Если положить с = os t — И4), 3 = 81п(4 — М4), то из уравнений (12 3), (12 4), (9) и (24) получается [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...