Волчок Лагранжа

Рис. 6.8.2. Возможные типы движения волчка Лагранжа

Теорема 6.8.3. (Условие Маиевского). Волчок Лагранжа, закрученный вокруг вертикальной оси, будет спящим тогда и только тогда, когда [c.487]

Определение 6.8.2. Волчок Лагранжа называется быстро закрученным, если в начальный момент времени угловые скорости прецессии и нутации равны нулю, угол нутации может быть отличен от нуля, и задана большая угловая скорость собственного вращения. Иначе говоря, [c.488]

Вследствие быстрой закрутки волчка Лагранжа вокруг оси его симметрии, отклоненной от вертикали, любая точка этой оси описывает кривую, близкую к горизонтальной окружности. Если точку оси отметить, то плоскость горизонтальной окружности станет наблюдаемой и сможет служить опорой при проведении измерений. [c.499]

Многочлен /(и) оказывается в точности таким же, как при изучении волчка Лагранжа. Поэтому качественный анализ поведения углов 1 , ф, р, проведенный в 6.8, остается справедливым и в данном случае. Однако реальная картина движения будет здесь несколько иной. Чтобы показать это, зададим следующие начальные условия [c.503]

Как надо закрутить волчок Лагранжа, чтобы этот волчок стал спящим [c.521]

Какие типы движений может совершать ось волчка Лагранжа [c.521]

Волчок Лагранжа спящий 195 Вращение 36 [c.364]

ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДЛЯ ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА—ПУАССОНА. Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести (вектор вертикали f = e ), предполагая, что моменты инерции В = С и центр масс лежит на оси динамической симметрии Ое на расстоянии / от О. В частности, тело может быть просто осесимметрично. [c.227]

Изменение 0, со временем описывает самое для нас интересное в движении волчка Лагранжа—Пуассона (особенно если он осесимметричен)—поведение оси Ое. Исследуем его качественно. [c.228]

Рис. 64. Приведенный потенциал сферического маятника после приведения по Раусу к потенциалу добавляется положительное слагаемое. Обобщением этой задачи (в некотором смысле) является волчок Лагранжа — Пуассона

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

Перейдем к рассмотрению волчка Лагранжа. Пусть т гироскоп действует постоянная сила F, приложенная к его центру масс. Центр масс гироскопа покоится и его полярная ось составляет угол Р с силой Р. Вначале центр масс гироскопа приобретет скорость в направлении действия Р. Когда центр м с приходит в движение, возникает сила ТУз, которая отклоняет ось гироскопа в на-щ)авлении, перпендикулярном действию Р, — начинается вынужденная прецессия. [c.74]

При исследовании враш,ательного движения в атмосфере осесимметричного тела с малой асимметрией имеет смысл опираться на один из классических случаев движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки — случай Лагранжа. На статически устойчивое тело действует восстанавливающий аэродинамический момент, который является нечётной функцией пространственного угла атаки (угла нутации). Для тела сферической формы этот момент, как и для волчка Лагранжа, пропорционален синусу угла атаки. Кроме того, действуют малые возмущающие аэродинамические моменты. [c.33]

Классический случай Лагранжа движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки имеет место, когда восстанавливающий момент Ма пропорционален синусу пространственного угла атаки (углу нутации). Общее решение для угла нутации известно и выражается через эллиптические функции Якоби [38]. Для висячего волчка Лагранжа это решение представлено в [2. [c.53]

Рис. 3.1.3. Гироскопический маятник (1) и волчок Лагранжа (2).

Можно показать [Четаев, 1946], что в случае 2 > О волчок Лагранжа) устойчивость по /, у/, в, в имеет место при выполнении условия [c.176]

Волчок Лагранжа. Момент сил, вызывающий регулярную прецессию и вычисленный в п. 6, возникает естественным образом в случае, когда тело находится в поле тяжести, а центр тяжести его смещен вдоль оси симметрии на расстояние / от точки подвеса. Тогда уравнение движения волчка приобретает вид [c.91]

Случай Лагранжа. (1788 г.) Рассмотрим симметричное твердое тело, показанное на Рже. 10.7 и вращающееся вокруг оси симметрии. Его называют волчок Лагранжа. В этом случае [c.207]

В качестве еще одного примера рассмотрим возмущенное движение волчка Лагранжа (см. 5, гл. II). Более точно, речь пойдет о вращении тяжелого динамически симметричного твердого тела 1 = /г), У которого центр масс слегка смещен относительно оси динамической симметрии. Пусть Г1,гг,гз—координаты центра масс относительно осей инерции. Фиксируя значение гз ф О, [c.189]

Общее возмущение волчка Лагранжа можно свести к возмущению тензора инерции и сдвигу центра масс вдоль оси динамической симметрии. Второе возмущение несущественно. Поэтому = = ijU)iU)j/2, где 6ij — малые величины. В силу свойств симметрии можно считать, что 12 = 22 = 0. В качестве малого параметра удобно принять = ( 11 + i3 + 23) - [c.299]

Рассмотрим следующий случай интегрируемости, который представляет значительный интерес как с точки зрения классической механики, так и технических приложений. Основные закономерности движения волчка Лагранжа составляют содержание приближенной (прикладной) теории гироскопа. [c.102]

Рис. 20. Вид гироскопической функции волчка Лагранжа. Несложно показать, что Мз 1.

При некоторых значениях интегралов гироскопическая функция касается горизонтальной оси в точке и = 1. Этому соответствует асимптотическое (апериодическое) движение волчка Лагранжа, ось симметрии в этом случае стремится к вертикальному положению при i сх) (см. рис. 24). Явные формулы для него мы привели в 9 гл. 5. [c.103]

Рис. 24. Движение апекса центра масс волчка Лагранжа в неподвижном пространстве для асимптотического движения. Это движение впервые было указано Клейном и Зоммерфельдом [238].

Тип движения волчка Лагранжа (вид траектории) полностью определяется значениями интегралов движения /г, В дальнейшем для констант интегралов мы также используем обозначения р = р, р = с. [c.104]

Рассмотрим трехмерное пространство, точками которого являются значения первых интегралов (к, р , рф). Поскольку вид траектории волчка Лагранжа полностью определяется значениями интегралов к, р , рф пространств может быть разбито на различные области, каждой из которых соответствует свой тип движения. Так, область разрешенных значений интегралов составляет те точки пространства, для которых соответствующая гироскопическая функция (3.3) обладает положительными значениями на отрезке и е [—1, 1] (см. рис. 20). Граница этой области — поверхность [c.104]

Движение апекса волчка Лагранжа в абсолютном пространстве (рис. 21) может быть получено из канонических уравнений движения волчка в углах Эйлера после редукции Рауса по углу собственного вращения ip. [c.105]

Уравнения в гамильтоновой форме со скобкой (3.5) и гамильтонианом (3.6) могут быть полезными при изучении возмущений волчка Лагранжа при помощи обобщенно-потенциальных и диссипативных воздействий. [c.108]

Определение 6.8.1. Волчок Лагранжа, вращаюшийся вокруг вертикальной оси (0 = 0), называется спящим волчком. [c.487]

Определение 6.8.3. Псевдорегулярной прецессией называется движение быстро закрученного волчка Лагранжа, происходящее между близкими с заданной точностью различными параллелями di и [c.488]

Теорема 6.8.4. Для любого сколь угодно малого Ad > 0 существует угловая скорость собственного вращения, при которой быстро закрученный волчок Лагранжа осуществляет псевдорегуляр-ную прецессию между параллелями di и d = di АгГ [c.488]

Пример 6.11.2. Гиромаятником называется гироскоп с тремя степенями свободы, центр масс которого принадлежит оси фигуры (случай Лагранжа-Пуассона, см. 6.8). Такой гироскоп служит основным чувствительным элементом гирогоризонта — прибора, предназначенного для надежного определения вертикали или перпендикулярной к ней горизонтальной плоскости. Гиромаятник движется, как быстро закрученный волчок Лагранжа. Ось фигуры подчиняется закону псевдоре-гулярной прецессии (теорема 6.8.4). Угловая скорость прецессии гр направлена вдоль вертикального вектора ез. По теореме об изменении кинетического момента получим (рис. 6.11.2) [c.499]

Определить направление псевдорегулярной прецессии волчка Лагранжа, если в начальный момент времени его закрутили по ходу часовой стрелки. [c.521]

Выразить величину угловой скорости псевдорегулярной прецессии волчка Лагранжа в зависимости от угловой скорости первоначальной закрутки. [c.521]

При каких начальных условиях возникает псевдорегулярная прецессия волчка Лагранжа [c.522]

Проанализировать устойчивость движения спяще го волчка. Лагранжа. [c.623]

Имеем условие устойчивости так называемого спящ его волчка Лагранжа. [c.195]

Рис. 65. Псевдорегуляр-ная прецессия волчка Лагранжа — Пуассона скорость собственного вращения ф велика и практически постоянна, угловая скорость прецессии -ф конечна и тоже почти постоянна, нутация (амплитуда изменения 0(/)) мала. Наличие точки возврата на траектории оси симметрии связано с конкретным выбором начального состояния

Уравнения невозмущённого движения совпадают с уравнениями движения висячего волчка Лагранжа с обобщённым восстанавливающим моментом Ма(а) в виде нечётной периодической функции пространственного угла атаки (угла нутации). При е = О система уравнений возмущённого движения (1.30) является консервативной и имеет вид [c.53]

Регулярные прецессии. Еще один класс периодических решений, восходящий к классическим исследованиям динамики волчка Лагранжа, не связан непосредственно с динамикой приведенной системы. Это — регулярные прецессии, которые в общем случае, как заметил Гриоли ( 6 гл. 2), возможны вокруг невертикальной оси. Для таких движений периодичность движения требуется для некоторой определенной оси в теле, которая должна вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве. Абсолютное движение при этом, вообще говоря, может оказаться непериодическим, т. к. собственное вращение вокруг оси в теле не обязательно соизмеримо с движением этой оси в пространстве. Это наблюдается, например, для регулярных прецессий в случае Лагранжа. [c.92]

Например, в случае волчка Лагранжа угол нутации изменяется периодически. Вместе с тем абсолютное движение является трехчастотным, а динамика приведенной системы (по (р или по ф) — двухчастотной. Интересно, что на нулевой постоянной площадей (М,7) = О, соответствующей сферическому маятнику, абсолютное движение является двухчастотным. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...