Условно-периодическое движение

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Различные варианты теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Обзор результатов теории KAM (Колмогорова — Арнольда— Мозера) содержится в книге [12, гл. 5]. [c.124]

Укажем на одну нерешенную задачу верно ли, что в предположениях теорем 3-5 при малых фиксированных значениях параметра ф О гамильтоновы системы не имеют однозначных интегралов соответствующей гладкости В связи с этой задачей интересно отметить, что при малых значениях е гамильтонова система (1,15) с полутора степенями свободы (п = 1) всегда имеет непостоянный непрерывный интеграл. Это вытекает из теоремы А, И, Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (см. [12, гл. 5], а также Ю гл, П) при малых значениях е колмогоровские торы образуют совершенное нигде не плотное множество, причем при п = 1 эти торы делят фазовое пространство на связ- [c.185]

Очевидно, они имеют гп-мерный инвариантный тор Т" = X, Y, Z-. Y = Z = 0 , заполненный траекториями условно-периодических движений X = bUt + Xq. Согласно (9.3), уравнения в вариациях приобретают вид [c.236]

Будем предполагать, что частоты условно-периодических движений на торах (10.5) удовлетворяют условию (10.4). [c.241]

Янга — Миллса 59, 274, 369 Условно-периодическое движение 86 [c.429]

Если эти частоты несоизмеримы, то траектория точки будет незамкнутой и, следовательно, точка никогда ие займет повторно того положения, которое она уже занимала, хотя через достаточно большой интервал времени точка как угодно близко подойдет к этому положению (такое движение является примером условно-периодического движения). [c.442]

Условия ортогональности 12 Условно-периодическое движение 442 Устойчивое равновесие 263 --, достаточный признак 263 [c.573]

Фазовый поток с функцией Г амильтона Н определяет на Mi условно-периодическое движение, т. е. в угловых координатах = [c.239]

В этом параграфе доказывается совпадение временных и пространственных средних в системах, совершающих условно-периодическое движение. [c.250]

A. Условно-периодические движения. В предыдущих параграфах нам часто встречалось условно-периодическое движение фигуры Лиссажу, прецессия, нутация, вращение волчка и т. п. [c.251]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА [c.365]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 367 [c.367]

Указанная здесь трудность характерна не только для задач небесной механики, но для всех задач, близких к интегрируемым (например, для задачи о движении асимметричного тяжелого волчка, приведенного в очень быстрое вращение). Пуанкаре даже называл основной задачей динамики задачу об исследовании возмущений условно-периодических движений в системе, заданной гамильтонианом [c.367]

Таким образом, порождающая система (28) описывает периодическое или условно-периодическое движение точки в n-t-l-мерном пространстве (прямое произведение п-мерного конфигурационного пространства Xi, х на одномерное временное пространство t). Ставится вопрос об исследовании движения точки, онр( деляемого системой Вап-дер-Поля (25), в которой lift, можно трактовать как малые возмуш,ающие силы. [c.105]

Программы третьего, верхнего иерархического уровня, по существу, являются управляющими для всего комплекса программ нормализации, и использопайие тех или иных из этих программ зависит от конкретной ренгаемой задачи. К числу предусмотренных в комплексе возможностей относятся а) решение задач устойчивости, для которых достаточно провести нормализацию до какого-то пе очень большого порядка т (как правило, m = 4, реже m = 6) б) построение высокоточных приближенных теорий движения, для которых учитываемый порядок членов может быть очень большим. В первом случае на входе достаточно задать коэффициенты исходного гамильтониана, а на выходе получить коэффициенты нормальной формы заданной степени т и заключение об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого положения равновесия периодического или условно-периодического движения. [c.227]

В работах [179, 183, 184] получены формулы для коэффициентов нормальных форм неавтономных гамильтоновых систем и выведены соответствующие условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия, выраженные через эти коэффициенты. В этих работах показано, что решение проблемы нормализации в окрестности положения равновесия одновременно позволяет решить проблему существования, построения и исследования устойчивости малых периодических и условно-периодических движений в окрестности этого положения равновесия. В заключение отметим, что многочисленные приложения этих результатов к задачам небесной механики и космодинамики можно найти в моно- [c.239]

I — Ентегрированве (поэтахшое) уравнений движения. II — топологическая природа траекторий в целом а — периодическое движение б — условно-периодическое движение на торе. III — локальная устойчивость (а) и локальная неустойчивость (61. IV — типы потоков в фазовом пространотпе. [c.374]

Пусть x t)—условно-периодическое движение на А-мерном инвариантном торе. Вектор-функция w x t)) удовлетворяет уравнениям в вариациях (9.3). Линейные системы (9.4) и (9.5) сопряжены друг другу h,w) = onst. Действительно, согласно (9.4) и (9.5), функция ip = h, w) удовлетворяет линейному уравнению [c.234]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

Если в окрестности имеется периодическое (условнопериодическое) движение, то в окрестности обязательно имеется периодическое (условно-периодическое) движение. [c.137]

КНИГИ посвящены некоторым из этих связей. В качестве приложений аппарата классической механики здесь рассматриваются основы римановой геометрии, динамика идеальной жидкости, кол-могоровская теория возмущений условно-периодических движений, коротковолновые асимптотики для уравнений математической физики и классификация каустик в геометрической оптике. [c.10]

Определение. Пусть Г" — тг-мерный тор, ф = (ф ,. . ., ф ) modd 2п — угловые координаты. Тогда условно-периодическим движением называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов Г" заданная дифференциальными уравнениями (рис. 221) [c.251]

Величины ffli,. . ., называются частотами условно-периодического движения. Частоты называются независимыми, когда они линейно независимы над полем рациональных чисел если f G Z" ) и (к, ю) = О, то f = 0. [c.251]

Задача. Докажите, что если система невырождена, то в любой окрестности любой точки имеются условно-периодические движения с п частотами, а также с любым меньшим числом частот. [c.255]

Не следует думать что такая ситуация типична для задач общего вида. В действительности свойства траекторий в многомерных системах могут быть весьма разнообразными и совсем не похожими на свойства условно-периодических движений. В частности, замыкание траектории системы с п степенями свободы может заполнять в 2п-мерном фазовом пространстве сложные множества размерности больше п траектория может даже быть всюду плотной и равномерно распределенной на всем 2п — 1-мерном многообразии, заданном уравнением Я = к ). Термин неинтег-рируемые в применении к этим системам оправдан, так как они не допускают однозначных первых интегралов, не зависящих от Н. [c.256]

Поскольку гамильтониан выражается через одни лишь переменные действия T , система интегрируема и описывает условно-периодические движения по торам т = onst с частотами со == дН/дх. В частности, положение равновесия Р = Q = О для нормальной формы устойчиво. [c.354]

Смотреть страницы где упоминается термин Условно-периодическое движение : [c.852] [c.103] [c.373] [c.96] [c.154] [c.49] [c.79] [c.88] [c.116] [c.233] [c.239] [c.127] [c.115] [c.421] [c.367] [c.252] [c.422] [c.126] [c.252] [c.115] [c.368]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...