Квадратичный интеграл

После исключения р из уравнений (20) и (21 ) мы получим первый квадратичный интеграл [c.95]

Пусть налицо квадратичный интеграл движения [c.185]

В. Вольтерра Пользуясь установленными им уравнениями неголономной механики (уравнениями Вольтерра), он доказал ряд теорем, в которых рассматривается возможность снизить порядок этой системы уравнений в случае спонтанного движения неголономной системы в независимых характеристиках с помощью известных линейных и квадратичных относительно квазискоростей интегралов соответствующих динамических уравнений движения. Вольтерра рассмотрел частные случаи, когда дифференциальные уравнения неголономной динамики полностью интегрируются. Наконец, он указал необходимые и достаточные условия существования квадратичного интеграла системы с независимыми характеристиками в случае спонтанного движения. [c.100]

Предложение 2. Пусть система имеет условный квадратичный интеграл с однозначными коэффициентами на поверхности Н = h, где h > max V. Тогда на пространстве положений можно так выбрать угловые координаты х ,Х2 mod 2тг и сделать замену времени dt = x, X2)dr, чтобы траектории движений с энергией h описывались лагранжевой системой с лагранжианом [c.376]

Для доказательства снова воспользуемся уравнениями (1.7), полагая Л = 0. Предположим, что уравнения (1.7) имеют квадратичный интеграл [c.376]

Отсюда, используя интеграл энергии (1.16), квадратичный интеграл (1.15) можно преобразовать к виду, в котором коэффициенты а,Ьи с будут постоянными. Дифференцируя еще раз интеграл [c.376]

В приложении А.1 показано, что следствием квадратичной интегри- [c.62]

Квадратичный интеграл в таком случае будет [c.61]

Квадратичный интеграл 61 Кинетическая энергия 34 Консервативная динамическая система 29 Консервативные преобразования 327 [c.405]

По-видимому, система (2.37) с гамильтонианом (2.43) при произвольных значениях параметров не является интегрируемой в отличие от плоского пространства. По крайней мере, для нее не существует общего дополнительного квадратичного интеграла и поведение может быть стохастическим при определенном выборе параметров. Интересной задачей является нахождение интегрируемых случаев этой системы (и аналогичных уравнений для Ь ) при дополнительных ограничениях на параметры функции Гамильтона (см. также 2 гл. 3). [c.279]

Найдите дополнительный квадратичный интеграл в задаче о гармоническом осцилляторе внутри эллипса и проведите качественный анализ этой задачи (в духе исследования динамики параболического биллиарда из 3). [c.118]

Уравнения Эйлера имеют два квадратичных интеграла движения [c.30]

Существует также и второй квадратичный интеграл, связанный с сохранением потенциального вихря [c.40]

Как было только что показано, для квадратично-нелинейных систем с двумя степенями свободы существование квадратичного интеграла энергии несовместно с требованием регулярности. Примером регулярной системы является гироскоп, в чем нетрудно убедиться непосредственным вычислением, используя уравнения Эйлера, приведенные в предшествующем параграфе. [c.43]

Нетрудно показать, что система обязательно будет вполне регулярной, если существует два существенно различных квадратичных интеграла (один из них—энергия), причем все собственные значения второй квадратичной формы должны быть различны (нет кратных корней в энергетическом представлении). [c.50]

Постоянные С (t=l, 2, 3), входящие в (8), не являются независимыми, что следует из существования положительно определенного инварианта движения. Если, например, такой инвариант—квадратичный интеграл движения представлен в форме [c.132]

Поэтому сим. к. с. (2) является Я-системой (3) и может быть записана в виде системы уравнений Г амильтона (2.5). Пусть данная сим. к. с. имеет положительно определенный квадратичный интеграл движения Е. Хорошо известно, что существует система комплексных линейных координат (ш1,. .., гу ) в С", в которой [c.237]

Система (29) имеет положительный квадратичный интеграл движения = 2р,+ р2- Поэтому [c.246]

Системы гидродинамического типа, встречающиеся при изучении двумерных течений, имеют два квадратичных интеграла движения. Данный параграф посвящен описанию всех систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями, имеющих два заданных независимых квадратичных интеграла движения, из которых один —положительный. [c.295]

Квадратично-нелинейные системы с двумя интегралами движения. Формула (2) дает, в частности, описание всех квадратично-нелинейных (к.-н.) систем в К", имеющих два независимых квадратичных интеграла Р и Рз таких, что Рх положительно определен, Р имеет попарно различные собственные значения относительно Р . Уравнения движения любой такой к.-н. системы могут быть записаны в следующем виде [c.303]

Из формулы (21) следует, в частности, что к.-н. система в К , имеющая два независимых квадратичных интеграла Ру, Р , имеет также линейный первый интеграл. Действительно, формула (21) при п==4 имеет вид [c.303]

Следовательно, Е будет потенциальным в том и только том случае, когда матрица В = А + Т/2 симметрична. Уравнения (9.3) допускают квадратичный интеграл [c.97]

См. 3 гл. II, где рассмотрено качественное исследование движения с ПОМОЩЬЮ квадратичного интеграла. Финитное периодическое изменение координаты часто называют либрацией [c.351]

Взяв неопределенный интеграл, получаем уравнение квадратичной параболы параболический закон роста пленки) [c.57]

При квадратичном режиме истечения, который чаще всего наблюдается для маловязких жидкостей, коэффициент расхода можно принимать постоянным в течение всего процесса. Тогда интеграл уравнения (XI—1), дающий время частичного опорожнения сосуда от начального уровня Яо до произвольного уровня Я, будет иметь вид [c.303]

Это интегральное уравнение определяет распределение давления по области соприкосновения. Его решение может быть найдено из аналогии со следующими известными из теории потенциала соотношениями. На мысль воспользоваться этой аналогией наводит тот факт, что, во-первых, интеграл, стоящий в левой стороне уравнения (9,7),—типа обычных в теории потенциала интегралов, определяющих потенциал, создаваемый некоторым распределением зарядов, и, во-вторых, что потенциал поля внутри равномерно заряженного эллипсоида есть квадратичная функция координат. [c.46]

Таким образом, переменные х,у разделяются. Функция (8.34) — гамильтониан Лиувиллевой системы с двумя степенями свободы. Уравнение (8.32) появилось в работе [214 в связи с задачей о наличии квадратичного интеграла. [c.168]

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.15]

Стеклов, Владимир Андреевич (9.1.1864-30.5.1926) — русский математик и механик, ученик А. М. Ляпунова. В 1894 г защитил магистерскую диссертацию О движении твердого тела в жидкости , где нашел новый случай интегрируемости уравнений Кирхгофа и доказал теорему о невозможности других случаев, в которых существует дополнительный квадратичный интеграл. [c.25]

А. Клебш нашел два родственных случая интегрируемости из условий существования дополнительного квадратичного интеграла. Один из них взаимен другому, т. е. гамильтониан одного из них можно принять в качестве интеграла второго. Фактически они образуют единое интегрируемое семейство квадратичных гамильтонианов, в которых отсутствуют перекрестные члены (В = 0). [c.171]

Если А = С и собственные значения матрицы А различны, а матрица В невырождена, то система (2.9) допускает квадратичный интеграл тогда и только тогда, когда выполнены условия [c.187]

Замечание 3. В небольшой книге [62] Д. Н. Горячев изучал системы с квадратичным потенциалом. Он получил общие условия существования у такой системы дополнительного линейного и квадратичного интегралов. Он, независимо от Бруна, указывает случай интегрируемости при наличии одного поля и находит возможности одного квадратичного интеграла для двух силовых полей (в одном частном случае он указывает и второй необходимый интеграл). Все эти интегралы могут быть получены из рассмотренной далее более общей системы. [c.212]

Орешкина Л.Н. О необходимых и достаточных условиях существования четвертого квадратичного интеграла в некоторых задачах динамики. Мех. тв. тела, Респ. межвуз. сборник, Киев, 1988, вып. 20, с. 18-29. [c.359]

Тогда данная система линейным преобразованием К может быть приведена к системе, аналогичной комплексному триплету (15). Действительно, можно заменить Е на усреднение интеграла Е по действию /(1)х /(1) в К . Форма о -инвариантный положительный квадратичный интеграл движения данной системы. Группа и 1)хи (I) действует в К ортогональными преобразованиями (относительно скалярного произведения, задаваемого Е ). Пространство К есть прямая сумма трех двумерных подпространств КхфКгШНз. инвариантных относительно действия У(1)х /(1) автоморфизмами данной системы и попарно ортогональных относительно скалярного произведения, задаваемого Ед. В каждом из подпространств введем комплексную координату = = + (/=1, 2, 3, о = 2(4 + г/ )), превращающую в одномерное комплексное пространство С). Действие (ф1. Фг) группы /(1)х (1) в С = 0Са0С автомор-физмами данной системы задается двумя наборами т , а). ( 1. 2. з) целых чисел Л (ф1, Фг) переводит г- , г , гд) в (е < 1ф1+"1ф2)г1, 2з). [c.243]

Поэтому л ,у( о) = —л у, ( о). пространство кососимметрических матриц есть инвариантное подпространство для системы (2), на котором система (2) совпадает с системой (1). Система (2) регулярна, так как д Р1дх1 = 0, и имеет положительный квадратичный интеграл Е = 2 х X + у)л у. Поэтому (2) есть 0-СГТ. Уравнения Эйлера (1) есть СГТ с интегралом Е1 = 2 2 (Оу + ау)л у. Ре- [c.306]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...