Инвариантный тор резонансный

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

ТО в силу соотношения (3.1) уравнение дЖх/дХ = О будет иметь столько корней, для которых > О, сколько корней, для которых < 0. Это равносильно тому, что при малых значениях /х ф О возмущенная система будет иметь ровно столько устойчивых в линейном приближении периодических решений, сколько неустойчивых. В этой ситуации обычно говорят, что на невозмущенном резонансном инвариантном торе [c.92]

Согласно теореме 1 и предложению 1 на каждом инвариантном торе существуют точки хо такие, что ф фо (Ф Фо) и Ф(жо) = 0. На резонансных торах (когда 7 рационально) таких точек даже две. [c.196]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

Инвариантный тор у = у невозмущенной системы является резонансным и расслаивается на тп-мерные нерезонансные инвариантные торы [c.238]

Резонансный инвариантный тор невозмущенной задачи у = [c.241]

Можно показать, что нерезонансные торы образуют в фазовом пространстве множество полной меры, так что мера Лебега объединения всех резонансных инвариантных торов невозмущенной невырожденной системы равна нулю. Тем не менее резонансные инвариантные торы существуют и перемежаются с нерезонансными таким образом, что они также образуют всюду плотное множество. Более того, всюду плотно множество резонансных торов с любым числом независимых частот от 1 до п — 1. В частности, всюду плотное множество образуют такие инвариантные торы, на которых все фазовые кривые замкнуты (число независимых частот 1). [c.369]

Возникает, естественно, вопрос, что же происходит с остальными фазовыми кривыми, начальные условия которых попадают в щели между инвариантными торами, образовавшиеся на месте резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи. [c.373]

Распад резонансного тора, на котором число частот на 1 меньше полного, легко исследовать в первом приближении теории возмущений. Для этого нужно усреднить возмущение по тем п — 1-мерным инвариантным торам, на которые распадается резонансный инвариантный тор и которые всюду плотно заполняются фазовыми кривыми невозмущенной системы. В результате усреднения получим консервативную систему с одной степенью свободы (см. [c.373]

Аналогичным образом доказывается вечная адиабатическая инвариантность переменной действия в задаче о движении заряженной частицы в аксиально-симметричном магнитном по-ге. Нарушение аксиальной симметрии в этой задаче увеличивает число степеней свободы с двух до трех, так что инвариантные торы перестают делить многообразие уровня энергии и становится существенным блуждание фазовой кривой по резонансным зонам. [c.381]

Замечание. Если А = В и х = О, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные инвариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрущатся при добавлении возмущения они перейдут в резонансные торы возмущенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периодических решений. [c.95]

Другими словами, все траектории невозмущенной системы, лежащие на г-мерном инвариантном торе Т = ж mod 2тг, замкнуты. Эти периодические траектории, разумеется, изоэнергетически вырождены (см. следствие теоремы 4) и при добавлении возмущения, как правило, перестают быть замкнутыми. Однако, как впервые заметил Пуанкаре, в типичной ситуации нри малых значениях е возмущенная гамильтонова система имеет несколько невырожденных периодических реП1ений, которые нри е —> О переходят в периодические решения, расноложенные иа резонансном горе Т"о. [c.225]

Резонансное множество В играет ту же роль, что и множество Пуанкаре Р в классической схеме тео1 ии возмущений инвариантных торов (ср. с 4 гл. IV). Целесообразность введения и изучения резонансного множества ясна из следующего утверждения. [c.401]

Заметим все же, что вероятность попасть на резонансный тор при случайном выборе начальной точки в фазовом пространстве невозмущенной системыравна нулю (так же как вероятность попасть на рациональное число нри случайном выборе вещественного числа). Таким образом, пренебрегая множествами меры нуль можно сказать, что почти все инвариантные торы в невырожденной невозмущенной системе нерезонансные и имеют полный набор из п арифметически независимых частот. [c.369]

Вопрос о существовании интегралов движения при включении малого взаимодействия между различными степенями свободы исследовался Пуанкаре для гамильтониана (4.5) и практически при тех же условиях, что и в теореме KAM. Результатом этих исследований явилась известная теорема Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно малых е. В дальнейшем были попытки в работах Ферми и Пригожина [7] использовать результаты этой теории для обоснования статистической механики. Безуспешность этих попыток стала очевидной только после теоремы KAM. Действительно, система резонансных торов является всюду плотвой в фазовом пространстве. Эти торы разрушаются в результате взаимодействия. Поэтому инвариантным торам приходится очень сложным образом обходить области разрушения. Это приводит к тому, что инвариантные торы существуют, но оказываются неаналнтическимн ( ) функциями [c.40]

Результат (1.7) означает, что в выражении (1.4) для g(E) действие должно вычисляться по таким траекториям системы, у которых совпадают начальные и конечные координаты и импульсы. Другими словами, основной вклад в функцию отклика glE) дают все возможные периодические траектории. Подобный способ вычисления g(E) уже содержит упрощения, однако все еще остается достаточно сложным. Это связано с тем, как устроены траектории iV-мерной системы и, в частности, периодическпе траектории. Как уже отмечалось ( 1.4), траектория системы является обмоткой Л -мерного инвариантного тора. Таковы все траектории, за исключением тех траекторий, которые лежат на мно-яюстве нулевой меры резонансных торов. Эти траектории действительно являются замкнутыми. Наоборот, все остальные траектории являются незамкнутыми и эргодически покрывают поверхность тора. Вследствие этого, если выбрать любой малый элемент объема dq и вывести из него траекторию системы, то через некоторое время она в него вернется с любой, наперед заданной степенью точности. Если к этим сведениям добавить еще, что само выражение (1.5) является асимптотическим и допускает определенную размазку траекторий ), то произведенные нами упрощения покажутся весьма сомнительными. [c.212]

Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Но 1). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы / = onst. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот =дНо1д1. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /= onst называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы [c.197]

Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске т <е не меньше 1—Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка / 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е ). Д В случае п = 2 изознергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Но не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на лннелную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположи.м, что между частотами о)1 и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можио привести к нормальной форме [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...