Топологическая энтропия

Перейдем теперь к определению энтропии и размерности стохастического аттрактора. Прежде всего введем понятие топологической энтропии [380]. Топологическая энтропия динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, определяется следующим образом. Предположим, что мы можем различать точки фазового пространства, отстоящие друг от друга на расстояние, превышающее некоторую величину е > 0. Рассмотрим пучок траекторий, выходящих из окрестности начальной точки радиуса е, т. е. в начальный момент не различимых. Число различимых траекторий в некоторый момент времени t обозначим N e, t). Топологической энтропией называется величина [c.229]

Топологическая энтропия характеризует степень разбегания близких фазовых траекторий. Если траектории со временем не разбегаются либо разбегаются недостаточно сильно (например, по степенному закону), то Л = 0. В противном случае Л > 0. [c.229]

Можно показать, что выражение (2.14) является пределом выражения (2.15) при д i. Отметим, что метрическая энтропия К никогда не превышает топологическую энтропию h [382, 426]. [c.234]

Отметим еще работу А. Катка [208], в которой доказана положительность топологической энтропии геодезического потока на замкнутой гладкой двумерной поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой. Положительность энтропии свидетельствует о сложности поведения фазовых траекторий (см., напри- [c.156]

Теорема 1. Если эйлерова характеристика х(М) < О гл энергия /г > О, то топологическая энтропия ограничения системы на уровень энергии положительна. [c.149]

Положительность топологической энтропии означает, грубо говоря, что система имеет хаотические траектории. [c.149]

Для натуральных систем с Н = Н2 + теорема вытекает из результатов Катка [19]. При тех же условиях, Козлов [20] доказал неинтегрируемость системы. В случае двух степеней свободы, положительность топологической энтропии влечет неинтегрируемость. [c.149]

Теорема 2. Если эйлерова характеристика х(М) О, то существует бесконечное число гомоклинических траекторий к положению равновесия Существуют также хаотические траектории ка Ео, и топологическая энтропия системы на Ео положительна. [c.151]

В последней статье Р. Боуэн распространяет понятие топологической энтропии иа динамические системы с некомпактным фазовым пространством. Хотя исследуемая ситуация здесь более абстрактна и не предполагает гладкости, все же легко проследить связь результатов и методов с остальной частью сборника, например с 2 первой статьи. [c.7]

Отмстим, что в 2.19 нет ограничений на ф, Взяв ф = О, определим топологическую энтропию Т равенством [c.56]

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭНТРОПИЯ для НЕКОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВ ) [c.181]

Топологическая энтропия для некомпактных множеств 183 [c.183]

Гипотеза. Предположим, что гомеоморфизмы ая 3,(Л) и >г 11т(В) топологически перемешивают ) и имеют одинаковую топологическую энтропию. Тогда оии энтропийно сопряжены. [c.193]

Эта величина называется топологической энтропией отображения / Х Х. Введенная в [21], она интенсивно изучалась в последние годы. Обзор некоторых результатов в этом направлении см. в [А], а также в [9]. Предложенное в [1] определение квазислучайной динамической системы оказалось [6] эквивалентным неравенству Л(/ Х)>0. [c.199]

Теорема 4.3 (о топологической энтропии ТМЦ). 1) Для [c.208]

Р. Боуэн. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭНТРОПИЯ ДЛЯ НЕКОМПАКТНЫХ МНО ЖЕСТЕ.................................... [c.245]

Очевидно, /ij(/, е) — неубывающая функция от е. Мы определим топологическую энтропию h if) как [c.120]

Определение 3.1.3. Число h f), определенное для произвольной метрики, порождающей топологию X, называется топологической энтропией отображения / и обозначается h(f) или иногда h f) [ ]. [c.121]

Следствие 3.1.4. Топологическая энтропия — инвариант топологического сопряжения. [c.121]

Имеются другие величины, подобные 5 (/, е, п), которые могут быть использованы для определения топологической энтропии. Например, обозначим через DJf, г, п) минимальное количество множеств, диаметр которых в метрике dl не превосходит е и объединение которых покрывает X. Очевидно, диаметр е-шара не превосходит 2е, так что каждое покрытие е-ша-рами является покрытием множествами диаметра 2е, т. е. [c.121]

Еще один способ определить топологическую энтропию состоит в том, чтобы использовать число N (f, е, п) — максимальное количество точек в X, попарные /-расстояния между которыми больше чем е. Мы будем называть такой набор точек (п, е)-отделенным. Такие точки порождают максимальное количество отрезков орбит длины п, которые являются различимыми с точностью до е. Максимальное (п, е)-отделенное множество является (п, е)-покрытием, т. е. для любого такого набора точек е-шары с центрами в них покрывают X, потому что иначе можно было бы увеличивать это множество, добавляя любую непокрытую точку. Таким образом, [c.122]

Таким образом, закон изменения параметра порядка со аналогичен соответствующему закону в случае фазового перехода II рода с критическим индексом V. При Х - Ц ) V/( X - Ц )< -v) по другую сторону перехода, при ц > Х , в качестве параметра "беспорядка принимают либо величину положительного ляпуновского показателя X, либо топологическую энтропию А, либо порог синхронизации В [186]. Вблизи значения для показателя X выполняется следующая степенная зависршость [186] [c.107]

По другую сторону перехода, когда х> Хоо, в качестве параметра беспорядка можно принять либо величину положительног ляпуновского показателя К, либо топологическую энтропию к [303], либо порог синхронизации Вш. Хотя для систем, описываемых одномерным точечным отображением с гладким максимумом, при (х, большем (Хоо, почти везде существуют устойчивые предельные циклы [576], расчеты, про-веденйые, например, в [518, 643, [c.241]

I ельное рассмотрение. Действительно, в 1 приведен пример геодезического потока на гладкой сфере с > 1 ручками, допускающего непостоянный гладкий интеграл. В этом примере энтропия сосредоточена в небольшой области фазового пространства. Было бы полезным связать вопрос о наличии нетривиальных полей симметрий с положительностью топологической энтропии. [c.157]

В общем случае, доказательство теоремы можно провести, например, так. Принцип Мопертюи сводит задачу к финслеровой геомет-эии. Используя эту редукцию, можно доказать, следуя Морсу [23], существование бесконечного числа минимальных замкнутых геодезических, и бесконечного числа минимальных геодезических, гомоклинических к этим минимальным геодезическим [4]. В силу условия на топологию М, эти гомоклинические геодезические топологически трансверсальные. Отсюда вытекает положительность топологической энтропии. [c.149]

Если Ф = 0. то величина Р 1,ц> совпадает с топологической энтропией h f) грмеоморфнзма / теория топологического дав- [c.150]

Топологическая энтропия непрерывного отображения компактного пространства была определена Адлером, Конхеймом и Мак-Эндрю [1]. В настоящей статье для подмножеств компактных пространств энтропия определяется с помощью процедуры, напоминающей конструкцию хаусдорфовой размерности. Это дает возможность обобщить известные результаты о хаусдорфовой размерности квазирегулярных то гек некоторых мер н дать определение нового типа сопряженности, промежуточного между топологической сопряжеииостью и сопряженностью в смысле теории меры. [c.181]

Пусть f Х Х—непрерывное отображение и У а X. Топологическая энтропия Л(/, У) будет определена во многом аналогично хаусдорфовой размерности с той разницей, что размер множества будет в этом случае в большей степени отражать поведение отображения f иа этом множестве, а не [c.181]

Предложение 1. Если пространство X компактно, то эя-гропия h f) совпадает с обычной топологической энтропией. [c.183]

Этот инвариант оиеинвает сложность системы в среднем . Допустимым словам, которые встречаются редко, придается здесь малый вес. Впрочем, если вероятности всех допустимых слов равны, то //( )= Iogfe(< ) н формулы (2.6) —(2.7) превращаются в (2.2) —(2.3). Замечательно, однако, что н в общем случае между метрической и топологической энтропией существует тесная связь, выражаемая ([6J, [39]) равенством [c.199]

Замечание. Еще одио определение топологической энтропии можно получить, еслн мы будем оценивать разнообразие траекторий рассматриваемой динамической системы при помощи понятия 8-энтропии (подробнее см. [6]). Известно также, что асимптотические свойства е-энтропии связаны с хаусдорфовой размерностью пространства. В этой связи представляет интерес следующее утверждение. Пусть X — замкнутое подмножество в пространстве 2 односторонних т-ичных последовательностей, инвариантное относительно гомеоморфизма сдвига о. Обозначим через М образ X прн обычном отображения ф 2т- [О, определяемом равенством [c.200]

Определение топологической энтропии через е-энтропию множества отрезков траекторий, а также конструкции, употребительные в теории хаусдорфовой размерности, следует иметь в виду в связи с последней статьей данного сборника, где Р. Боуэн распространяет понятие топологической энтропии на случай некомпактного фазового пространства. [c.200]

Б5. Боуэн Р., Подкова положительной меры, настоящий сб.. стр. 178—18С Б6. Боуэн Р., Топологическая энтропия для нгкомпак]ных множеств, стоящий сб., стр. 181—195. где. Гладкие динамические системы, Девятая летняя ыатематипсская шко ла, Киев, Наукова Думка , 1976, стр. 50—341. [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...