Расщепление асимптотических поверхностей

РАСЩЕПЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ [c.252]

Как заметил впервые Пуанкаре [225], в типичной ситуации при малых значениях параметра е О возмущенные поверхности Л+ и Л , рассматриваемые как подмножества в М ", уже не будут совпадать. Это явление называется расщеплением асимптотических поверхностей. Оно препятствует интегрируемости возмущенной гамильтоновой системы (см. 2). [c.255]

Глава V. Расщепление асимптотических поверхност,ей [c.256]

Наибольший интерес для приложений представляет случай m = 1, рассматривавшийся еще Пуанкаре [146]. Обсудим кратко задачу о расщеплении асимптотических поверхностей для неавтономных гамильтоновых систем, периодически зависящих от времени. Пусть Я = Ho x,y) + eHi x,y, t) + o e). Возмущающая функция Hi периодична по i с периодом т. Предположим, что имеются две критические точки х ,у ) и функции Яо, в которых [c.259]

Формулы, удобные для решения задачи о расщеплении асимптотических поверхностей гиперболических периодических решений в автономном случае, указаны в работах [86, 88]. [c.260]

Глава V. Расщепление асимптотические поверхностей до постоянного множителя равен [c.268]

Метод расщепления асимптотических поверхностей приме-нйм и к задаче о плоских течениях однородной идеальной жидкости в потенциальном поле [107]. Речь идет об уравнениях (8.7) из 8 гл. I, имеющих гамильтонову форму [c.276]

Глава V. Расщепление асимптотические поверхностей [c.278]

Доказательство теоремы 1 основано на использовании явления расщепления асимптотических поверхностей. Введем в уравнения [c.280]

Расщепление асимптотических поверхностей 255 Регуляризация Леви-Чивита 145 Резонансы Ландау 251 Риманова метрика, евклидова на бесконечности 145 [c.428]

Первые строгие результаты о неинтегрируемости гамильтоновых систем принадлежат Пуанкаре. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведение решений (например, рождение невырожденных периодических решений, расщепление асимптотических поверхностей и т. д.) несовместимо с полной интегрируемостью уравнений Гамильтона. В этой главе изложены основные методы доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем, основанные йа выявлении различных нетривиальных динамических эффектов, не свойственных вполне интегрируемым системам. Более подробное изложение содержится в работе [13]. [c.226]

Согласно предположению, при е = 0 поверхности и Ло совпадают. Однако, как заметил впервые Пуанкаре [34], в общем случае при малых значениях параметра 8=7 0 поверхности и Лг, рассматриваемые как множества точек в Т D+f D-) XR, уже не будут совпадать. Это явление называется расщеплением, асимптотических поверхностей. Очевидно, что Л,+ совпадает с Л тогда и только тогда, когда уравнение (9) имеет решение S(x,t,e), аналитическое по л во всей области D. [c.237]

Б автономном случае условие расщепления асимптотических поверхностей, расположенных на некотором фиксированном уровне энергии, можно представить в следующем виде [c.238]

Асимптотические поверхности и условия их расщепления [c.252]

Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики — теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический ангшиз причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расщепление асимптотических поверхностей, рождение изолированых периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний. Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики. [c.2]

Пуанкаре получил условия расщепления асимптотических поверхностей для т = 1. Излагаемый ниже анализ задачи о расщеплении выполнен Д. В. Трещёвым. [c.255]

Приведем пример, показывающий, что в гетероклиннном случае из условия расщепления асимптотических поверхностей еще не вытекает неинтегрируемость возмущенных уравнений. Другими словами, в теореме 2 нельзя опустить условие 2). [c.264]

Для динамически симметричного тела невозмущенная задача Эйлера не имеет гиперболических периодических траекторий, поэтому метод расщепления асимптотических поверхностей здесь непосредственно не применим. Однако здесь можно по-другому ввести малый параметр и найти гомоклинные траектории. [c.271]

Методом расщепления асимптотических поверхностей можно установить неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей [61]. Рассмотрим огргшиченную постановку задачи вихрь нулевой интенсивности (т. е. просто частица идеальной жидкости) движется в поле трех вихрей одинаковой интенсивности. Тогда уравнения движения нулевого вихря можно представить в гамильтоновой форме с периодическим по времени гамильтонианом они имеют гиперболические периодические движения с пересекающимися сепаратрисами. Поэтому задача не будет вполне интегрируемой, хотя (как и в неограниченной постановке) имеет четыре независимых некоммутирующих интеграла. [c.274]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Расщепление асимптотических поверхностей — препятствие к интегрируемости. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом Я(г, е) =Яо(2)+еЯ1(г, 0+О(е ) в предположениях п. 2.1. В частности, невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия г , соединенных двоякоасимптотическим решением t Zo t), tfiR. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...