Задача Якоби

Рассмотрим задачу Якоби о движении материальной точки с единичной массой по инерции по поверхности эллипсоида + [c.94]

Геодезический поток па эллипсоиде (задача Якоби) [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, Х2, хз задан уравнением [c.78]

Если для натуральных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, обладающих дополнительным квадратичным интегралом, существуют общие соображения (см., например, Уиттекер [167], Биркгоф [13]), позволяющие конструктивно построить разделяющие переменные, то уже для ненатуральных двухстепенных систем, а также систем, обладающих дополнительным интегралом с более высокой (> 2) степенью по импульсам, разделение переменных является своего рода искусством. Для многомерных систем вопрос о разделении еще более сложен. Здесь практически известно несколько многомерных обобщений двухстепенных систем (типа задач Якоби и Неймана), для которых имеются аналоги эллиптических и сфероконических координат). Более подробно вопрос о разделении переменных на 8 " рассмотрен в [18, 283]. [c.83]

Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве задается уравнением [c.167]

Как было замечено еще Дж. Биркгофом [13], задача Якоби о геодезических при стремлении к нулю одной из полуосей эллипсоида определяет некоторый интегрируемый бильярд (эллиптический бильярд). При этом точка движется внутри эллипса по прямой, а отскок происходит по идеальному закону угол падения равен углу отражения, причем величина скорости не меняется. В п-мерном случае явные формулы для отображения типа (6.9)-(6.10) имеют вид [47] [c.295]

Рассмотрим две интегрируемые системы на vi S , одна из которых связана с различными вариациями относительно задач Якоби и Неймана, а другая является более новой и обладает дополнительным интегралом третьей степени. Для обсуждения первой задачи рассмотрим сначала аналог потенциала упругого осциллятора на сфере. [c.329]

Обобщение задачи Якоби на Оказывается, что близкие по форме слагаемые могут быть добавлены в задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде. Приведем вид гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерного случая, т.е. для гамильтоновой системы (10.4) на е(3) и на уровне (М,7) = О [c.332]

Рассмотрим задачу о движении материальной точки по гладкой поверхности трехосного эллипсоида под действием упругой силы, направленной к центру (или от центра) эллипсоида. Эта задача проинтегрирована Якоби с использованием эллиптических координат [56]. Устремим одну из полуосей эллипсоида к нулю. Тогда задача Якоби перейдет в задачу о колебаниях гармонического осциллятора, заключенного внутри эллипса. Если коэффициент упругости равен нулю, то получим эллиптический биллиард Биркгофа. Динамику гармонического осциллятора внутри эллипса можно исследовать методом 1 с помощью разделяющихся переменных — эллиптических координат на плоскости. [c.111]

Показать, что интегрируемость задачи Якоби о геодезических по поверхности п-мерного эллипсоида вытекает из свойства интегрируемости биллиарда в (п+1)-мерном эллипсоиде. [c.118]

Задача Якоби 99 Закон инерции 7 [c.167]

В большинстве задач скорость сходимости удается увеличить, применяя релаксационные методы, когда требуется такое упорядочение уравнений, чтобы диагональные элементы матрицы Якоби были отличны от нуля. На очередной (гЧ-1)-й итерации вектор неизвестных [c.227]

На эффективность применения метода оказывают влияние не только особенности самого метода, но и в не меньшей мере особенности решаемой задачи и используемой ЭВМ. Среди наиболее существенных особенностей задач, называемых ниже факторами, отметим размерность п (порядок системы уравнений), число обусловленности Ц и разреженность S матрицы Якоби, а среди особенностей ЭВМ — быстродействие Б, определенное для класса научно-технических задач, емкость оперативной памяти и разрядность машинного слова. Разработчик ППП должен ориентироваться на некоторые диапазоны значений этих факторов, характерные для моделей проектируемых объектов в соответствующей предметной области. Эти диапазоны должны быть либо указаны в техническом задании на разработку ППП, либо спрогнозированы самим разработчиком на основе исследования статистических данных [c.232]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. [c.376]

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

Для решения интересующей нас задачи нет нужды находить общее решение уравнения Гамильтона — Якоби. В силу сказанного выше нас интересует любая функция от q ц. t, удовлетворяющая тождественно этому уравнению и зависящая от п констант. Вспомним еще, что производящая функция должна удовлетворять условию (129). Теперь, когда вместо переменных q функция S зависит от п констант а, это дополнительное условие может быть переписано так [c.323]

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

Рассмотренный пример показывает, что задача о поиске полного интеграла решается неоднозначно. Полный интеграл не дает общего решения уравнения Гамильтона-Якоби, охватывая лишь небольшую часть решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение. Действительно, дифференцируя полный интеграл, получим [c.648]

В самом деле, поставим для уравнения Гамильтона-Якоби задачу Коши [c.648]

Отвечающее этим начальным условиям решение системы есть характеристика задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем значение <1 настолько близким к чтобы характеристики, выходящие из близких друг к другу точек qo, не пересекались при 0 < < < 1. Значения q([c.648]

Вернемся к задаче определения закона движения механической системы с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Для симметрии обозначим [c.649]

Таким образом, знание множителя Якоби и т - 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. [c.677]

Ha основе этой теоремы, которая в настоящее время известна под названием теоремы Якоби — Гамильтона, Якоби дал новое решение знаменитых задач небесной механики о движении планет в поле тяготения Солнца, о движении точки, притягиваемой щвумя неподвижными центрами вместе с тем он определил геодезические линии трехосного эллипсоида. Решение двух последних задач Якоби сопроводил изложением теории эллиптических координат в многомерном пространстве. [c.20]

Практически во всех проинтегрированных задачах известные первые интегралы оказались либо рациональными функциями, либо полиномами. Поэтому они продолжаются в комплексную область изменения фазовых переменных р, д как однозначные голоморфные или мероморфные функции. Однозначный гамильтониан порождает комплексифицированную гамильтонову систему. При этом решения, как функции комплексного времени (или некоторой вспомогательной переменной), часто оказываются мероморфными. В качестве примеров можно указать задачу Якоби [c.12]

Системы (6.2) и (6.3) тождественны, поэтому системы (6.1) и (6.2) имеют одни и те же траектории. В частности, их интегралы совпадают. Итак, задача Якоби является частным случаем задачи Клебша — Тиссерана — Бруна из динамики твердого тела. [c.95]

Гамильтониан задачи Якоби дается формулой (7.9), в которой надо положить Л1 = О, /Х1 = 0. Разделение переменных Л2,..., А , /Х2, - , Мп осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что для двумерного эллипсоида гамильтониан принимает вид (7.5) при п = 3 получаем лиувиллеву гамильтонову систему. Если зафиксировать значение одной из переменных Л2,..., Л , то тем же методом получим полную интегрируемость задачи о геодезических на многомерных гиперболоидах всех возможных типов. Результаты качественного анализа (основанного на формулах Якоби) поведения геодезических на поверхности двумерного эллипсоида можно найти в [И]. Якоби показал, что задача о движении по [c.102]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Замечание 2. В работе [49] замечена связь п-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция B. t) в уравнении х = —B. t)x есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, B. t) = [c.168]

Замечание 4. В работе [250] Г. Минковский указал аналогию случая Клебша с задачей Якоби о геодезических на эллипсоиде, тем самым предложив свой способ его интегрирования. Развитие этой аналогии приведено выше в п. 1 этого параграфа (см. также [195]). [c.172]

В 1 гл. 3 показано, что при таком траекторном (вследствие замены времени) изоморфизме задача Якоби изоморфна случаю Клебша на нулевой постоянной площадей. При В = Е имеем движение по сфере 8" и гамильтониан (10.4) можно записать в виде [c.327]

Предполагается, что удары о границу являются абсолютно упругими. Эта динамическая система называется эллиптическим биллиардом. Согласно Биркгофу [42, гл. VIII] эллиптический биллиард получается из известной задачи Якоби о движении по геодезическим линиям на поверхности трехосного эллипсоида [c.99]

Задача Якоби решается с помощью разделения переменных ([56, гл. 26]). Для этого вводится конфокальное с (2.1) семейство квадрик [c.104]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

Если сравнить приведенные выше постановки задач Якоби н определение информации в главе I, то видно, что функции So и 5/, (две фор-. 1ы действия) удовлетворяют требованиям к функциям, описывающим меру информации - энтропию, когда их определяют на основе си тгеза информации в виде зaпoмш aния случайного выбора. Действительно [c.108]

Экономичность метода решения систем АУ определяется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п ячеек памяти. Поэтому если для одного слова используется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п = 500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вывод о необходимости учета разреженности при решении задач с п>п р, где Ппр зависит от характеристик используемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десятков. В задачах анализа распределенных моделей, в которых п может превышать 10 , экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важнейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использованием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода. [c.234]

Условия (5.11) или (5.12) устойчивости методов интегрирования в применении к нелинейным системам ОДУ можно рассматривать как приближенные, при этом под X/ понимают собственные значения матрицы Якоби Я = <ЗУ/(ЗУ. Так как в нелинейных задачах элементы матрицы Якоби непостоянны, то непостоянны и ее собственные значения. Поэтому априорный выбор значения постоянного шага h, удовлетворяющего условиям устойчивости на всем интервале интегрирования [О, Ткон], оказывается практически невозможным (случай гарантированного выполнения условий устойчивости за счет выбора /г<Стпип неприемлем, так как приводит к чрезмерным затратам машинного времени). [c.239]

В задачу генератора Г входит генерация объектных модулей процедур рабочей программы РП обращения к моделям элементов проектируемого объекта, расчета матрицы Якоби и вектора невязок, прямого и обратного хода алгоритма Гаусса, расчета данных для печати и др. Непосредственно генерации предшествует оптимальная перенумерация переменных математической модели объекта. Генерация объектных модулей производится в соответствии с деле-ннем проектируемого объекта на фрагменты. Такой подход необхо-ДИМ для реализации диакоптических методов анализа и способствует снижению требований к ОП, занимаемой компилятором, так как возникает возможность последовательной обработки фрагментов объекта с сохранением во внутренней БД только необходимого минимума информации о них. [c.143]

Учет специфики ММ объектов проектирования на макроуровне делает во многих случаях эффективным с точки зрения затрат машинного времени применение декомпозиционных методов анализа, сводящих решение задачи большой размерности к решению подзадач меньшей размерности. Например, свойство пространственной разреженности ИС позволяет использовать при их электрическом анализе различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений для ММ различных фрагментов ИС, выбирая для каждого фрагмента наиболее подходящий метод. Ряд методов использует свойство временной разреженности ИС, осуществляя обнаружение неактивных в текущий момент времени участков схемы и исключение соответствующих нм переменных и уравнений из общей ММ системы. Учет однонаправленности ММ МДП-тран-зисторов позволяет приблизительно на два порядка поднять быстродействие программ анализа путем замены классических методов анализа (см. рис. 5.1) на релаксационные, в основе которых лежат итерационные алгоритмы Гаусса—Якоби и Гаусса—Зейделя. [c.152]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

Так 1м образом, мы показали, что если известеи полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1), т. е. задача интегрирования системы (6.1) заменяется задачей нахождения полного интеграла у1)авнения (6.12). [c.156]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...