Теорема Биркгофа

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

В этой теории не предполагается, что преобразования описываются уравнениями Гамильтона или вообще дифференциальными уравнениями. Эргодичность и перемешивание — примеры относящихся к этой теории понятий, а теорема Биркгофа или приведенное выше простое рассуждение о том, что из перемешивания следует эргодичность,—примеры относящихся сюда теорем. 2) Эргодическая теория более конкретных динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона. Ее основная задача — установление (или опровержение) эргодичности или других статистических свойств тех или иных динамических систем. Выше автор говорил о первом направлении, теперь он переходит ко второму.— Прим. ред. [c.383]

На основании эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина производим усреднение по времени для Ко п—1, п) и и (п). Тогда для среднего значения потока из йхп-х получается следующее выражение [c.183]

Доказательство можно найти в [130]. При Г = 0 эта теорема совпадает с теоремой Биркгофа. [c.128]

Согласно теореме Биркгофа, найдется такое формальное капо ническое преобразование, г, г/ —> г/ вида [c.132]

Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов, существующих по теореме Биркгофа (см. 11 гл. II). Причиной расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели — почти резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности положений равновесия. [c.309]

Так как о иррационально, то по теореме Биркгофа уравнения Гамильтона с гамильтонианом (1.2) допускают два формальных интеграла 5 = щь +. ..(/= 1,2). Квадратичные члены этих разложений не определяют однозначно интегралы Зх и 82. Причина неоднозначности — наличие слагаемых специального вида [c.311]

Согласно теореме Биркгофа, гамильтониан Н можно привести к нормальной форме Н = 1<2+К +Кь + - ч где К2т — однородная форма степени m от произведений = х у . В частности, Кц — [c.326]

При пользовании теоремой Биркгофа полезно заметить, что система, гамильтониан которой является нормальной формой, интегрируется. Именно, рассмотрим канонические полярные координаты т,, ф,, через которые P и Q выражаются по формулам [c.354]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы Биркгофа,. сопровождаемое более точными необходимыми оценками для отображаемых областей и для постоянных. [c.798]

Теорема 4.1.2 (эргодическая теорема Биркгофа). Пусть Т—со храняющее меру преобразование вероятностного пространства (X, л) V е Ь (X, (л). Тогда временное среднее [c.146]

Если преобразование Т обратимо, эргодическая теорема Биркгофа применима к Т" и из нее следует сходимость почти всюду средних по отрицательному времени [c.147]

Объединяя это следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2 с теоремой Крылова — Боголюбова 4.1.1, мы получаем положительный ответ на вопрос А из п. 4.1 а р]. [c.147]

Теперь мы получим важное следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2, которое утверждает, что для эргодического преобразования временные средние равны пространственным средним почти всюду. [c.148]

Предположим теперь, что мера р эргодическая. В этом случае мы можем дать геометрическую интерпретацию асимптотического цикла. По эргодической теореме Биркгофа 4.1.2 мы получаем [c.487]

Доказательство. Применяя эргодическую теореме Биркгофа 4.1.2 к log С(а ) для почти каждого х еХ, получаем [c.659]

Особое место в книге занимают вопросы существования и устойчивости периодических траекторий упругих биллиардов. Дано вариационное доказательство известной теоремы Биркгофа об [c.4]

В настоящей главе будет дано вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании периодических траекторий биллиарда в следующей уточненной формулировке. [c.58]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БИРКГОФА [c.59]

Доказательств,о. Зафиксируем п я к. Для любого биллиарда из и А,а по теореме Биркгофа существует периодическая траектория типа (п, к). Построим новую кривую, принадлежащую ил,а, которая как угодно мало отличается от исходной (в смысле метрики пространства и а,а), причем соответствующий биллиард имеет невырожденное периодическое решение того же типа. [c.123]

По теореме Биркгофа временное среднее инвариантно относительно у , следовательно, [c.24]

Во всяком случае из теоремы Биркгофа следует, что О = /3 почти для всех начальных фаз. Исследуем пространственное среднее (3, Из (П13.9) следует, что функция (3 линейно зависит от а . Следовательно, пространственное среднее (3 является линейной функцией от и) [c.138]

Теорема Биркгофа о неподвижной точке 223 [c.223]

Согласно теореме Биркгофа (в формулировке, найденной А. Я. Хинчйным,—отсюда часто употребляемое наименование теорема Биркгофа — Хинчина), для ф-ции /, модуль к-рой интегрируем, имеет место сходимость (Аф (х)- / х) при всех х вне нек-рого множества нулевой меры (в этом случае говорят при ц-почти всех X, или [i-почти всюду). Если временной параметр t принимает как положительные, так и отрицат. значения, то в обеих эргодич, теоремах можно в качестве А, брать среднее по отрезку [—t, 0] или по симметричному отрезку [—/, /] (а также по нек-рым отрезкам, зависящим от I более сложным образом), получая при тот же [c.627]

Роль устойчивых и неустойчивых многообразий в изучении эргодич. свойств гиперболич. систем иллюстрирует следующее рассуждение Э. Хопфа (Е. НорО. Если две точки лежат на одном устойчивом многообразии, то при г оо они сближаются, а потому для любой непрерывной ф-ции / её временное среднее / принимает одинаковые значения в тех точках этого многообразия, где ф-ция/ определена. То же самое верно при /- — ( для точек любого неустойчивого многообразия, а т. к. по теореме Биркгофа / существует на множестве полной меры, найдётся такая ф-ция /, посхоянная на каждом fV"(x) и на каждом W(x), что. / =/ всюду, кроме, быть может, множества нулевой меры. Очевидно, У S onst, если выполняется следующее условие связности для любых точек х, х можно подобрать цепочку точек у о, в к-рой уо = х, у =х, и при любом к<п точки Vk и принадлежат либо одному устойчивому, либо одному неустойчивому многообразию. Пользуясь тем, что всякая интегрируемая ф-ция приближается непрерывными ф-циями, можно распространить утверждение о постоянстве (почти всюду) средних / на все интегрируемые ф-ции / и тем самым доказать эргодичность. [c.632]

Необходимые и достаточные условия того, что процесс является эрго-дическим в соответствии с теоремой Биркгофа-Хинчина следующие его стационарность, причем строгая и так называемая метрическая транзитивность, состоящая в том, что любая часть совокупности реализации случайного процесса уже йе стационарна (строго). Стационарность-это необходимое условие эргодичности. Для нестационарного процесса первый и второй моменты (средние по совокупности) могут быть функциями времени, и в этом случае средние по времени не будут совпадать со средними по реализациям. Временная корреляционная функция для стационарного (в том числе для эргодического) процесса есть функция корреляционного интервала т = Г2-Г1, в то время как для нестационарного и, следовательно, неэргодического процесса корреляционная функция зависит от двух аргументов-корреляционного интервала т и текущего времени г. Однако стационарность, будучи необходимым условием эргодичности, не является условием достаточным. Так в [26] приводится пример стационарной случайной функции, не удовлетворяющей условию транзитивности, а потому не являющейся эргодической. В связи со сказанным, неставдо-нарные случайные процессы не удовлетворяют условиям эргодичности. Приведенные рассуждения о связи стационарности и эргодичности поясняются условным графическим изображением случайных процессов на рис. 1. [c.9]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

А. Авец [1] воспользовался теоремой Биркгофа для доказательства следующего результата. [c.130]

Теорема Биркгофа ((О. ВхгкЬо ) [78]). Голоморфное отображение кольца С/- [c.137]

Замечание. Условие теоремы Биркгофа еще не гарантирует устойчивости по Ляпунову положения равновесия гамильтоновой системы. В бесконечно дифференцируемом случае контрпример приведен в работе [151]. Для аналитических гамильтоновых систем контрпример пока отсутствует. [c.126]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике (1995) -- [ c.126 ]

Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 (1999) -- [ c.433 ]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.58 ]

Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 (1999) -- [ c.23 ]

Лекции по небесной механике (2001) -- [ c.222 , c.223 , c.230 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...