Применение метода Лагранжа

Изложенные соображения иллюстрируют возможности применения метода Лагранжа при рассмотрении в общем виде проблем, касающихся малых колебаний. Решение характеристического уравнения для системы, обладающей большим числом степеней свободы (как в случае кристаллической решетки), может быть очень трудным, но изложенный выше метод можно всегда использовать как исходный. [c.54]

Наиболее замечательные результаты применения методов Лагранжа и Гамильтона к непрерывным средам получаются при изучении идеализированных сред, называемых полями. Еще одной особенностью, которая должна быть здесь отмечена, является релятивистская инвариантность. Оказалось, однако, что изложенную здесь теорию можно принять в сущности без изменений. Этому вопросу будет посвящена гл. XI. [c.135]

Хотя способ составления уравнений по Лагранжу и не обладает той наглядностью, связанной с возможностью геометрической интерпретации, которая присуща способу, основанному на принципе Даламбера, однако он является совершенно общим и позволяет анализировать системы совершенно автоматически. Применяя принцип Даламбера, решающий задачи, как правило, изображает объекты и действующие силы, причем у него нередко возникают сомнения в правильности выбора знаков перед тем или иным членом в уравнении. При применении метода Лагранжа отпадают всякие затруднения с определением знаков, так как используются выражения энергии и отыскиваются их производные по координатам и по времени, и знаки получаются сами собой. В анализе сложных систем метод Лагранжа незаменим. Нужно только иметь в виду, что большая или меньшая простота решения задачи зависит от удачного выбора обобщенных координат. [c.15]

Этот метод применим для широкого класса материальных систем он экономичен в том смысле, что не требует введения дополнительных координат и реакций идеальных связей. Наконец, процедура применения метода Лагранжа одинакова во всех задачах, что имеет большое значение, так как не требует от исследователя подчас тонких рассуждений, в которых допустить ошибку значительно легче, чем в математических операциях. [c.443]

Как известно, эта задача, в свою очередь, применением метода Лагранжа сводится к определению безусловного экстремума функции [c.142]

Применение метода Лагранжа в задачах динамики не всегда удобно и многие специфические задачи механики сплошных сред решают в переменных Эйлера. [c.120]

В главе VII рассматривается применение метода Лагранжа к круговой ограниченной задаче трех тел. [c.5]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА [c.105]

Легко теперь отдать себе отчет в том, чем обусловлено происхождение членов различного сорта в разложении (6), т. е. в разложении, полученном путем прямого применения метода Лагранжа. [c.256]

Теорема о классе. В 104 мы классифицировали с разных точек зрения различные члены, возникающие в результате применения метода Лагранжа, общий вид которых [c.289]

Действуя так же, как ив 79, мы должны сделать замену переменных, беря в качестве новых переменных эти 18 оскулирующих элементов но для применения метода Лагранжа выгодно выбрать эти переменные (которые полностью мы еще не определили) таким образом, чтобы каноническая форма уравнений не нарушилась. [c.556]

Применение метода Лагранжа дает дифференциальные уравнения движения в виде [c.188]

Вековая часть возмущающей функции. Применение метода Лагранжа для определения вековых возмущений требует, чтобы возмущающая функция была ограничена своей вековой частью, т. в. чтобы все периодические члены, которые в своих аргументах содержат средние долготы (или средние аномалии) планет, были отброшены. Кроме того, решение в первом приближении ограничивается включением тех членов вековой части, которые пмеют второй порядок относительно эксцентриситетов и наклонностей. [c.437]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения системы материальных точек является применение уравнений Лагранжа или общего уравнения динамики. (Применение общего уравнения динамики является менее удобным и притом формальным методом в связи с использованием сил инерции.) [c.544]

Рассмотрим движения систем, на которые наложены неголономные связи. В предыдущей главе уравнения движения систем при наличии неголономных связей подробно не рассматривались. Дело в том, что в этих случаях метод Лагранжа связан с необходимостью применения систем координат, в которых число дифференциальных уравнений движения превышает число степеней свободы системы. Разность между числом дифференциальных уравнений движения и числом степеней свободы системы равна числу неголономных связей, наложенных на точки системы. Основным содержанием настоящей главы является рассмотрение некоторых особых способов преобразования дифференциальных уравнений движения, которые позволяют описать движение материальной системы с неголономными связями системой дифференциальных уравнений, число которых равно числу степеней свободы системы. [c.151]

В только что рассмотренных примерах определить реакции можно было и без применения уравнений Лагранжа первого рода, непосредственно составляя условия равновесия движущейся точки под действием силы тяжести, реакции и центробежной силы инерции. Метод множителей Лагранжа оказывает существенную пользу в тех случаях, когда поверхность или кривая не обладают теми простыми геометрическими свойствами, как сфера или окружность покажем это на следующем примере. [c.392]

Одним из самых популярных методов при расчете стержневых систем в строительной механике является, как известно, метод Лагранжа — применение начала возможных перемещений. [c.69]

Несмотря на естественность этого метода и весьма полную информацию о движении массы жидкости, которую он дает, метод Лагранжа не получил преимущественного применения в гидромеханике и употребляется только в ряде специальных задач. Это связано с тем, что уравнения движения, составленные на основе метода Лагранжа, сложны и трудноразрешимы. [c.29]

Применение уравнений Лагранжа в сочетании с методом множителей. Рассмотрим некоторую систему, подчиненную сначала связям, выражаемым конечными соотношениями между координатами различных точек системы. Пусть при этих связях положение [c.325]

Невозможность прямого применения уравнений Лагранжа к минимальному числу параметров ). Мы только что видели, как можно при помощи метода множителей использовать уравнения Лагранжа для связей, определяемых соотношениями (11). [c.327]

Метод множителей Лагранжа. Определение реак ций. — Исключение вариаций из общего уравнения статики может быть выполнено более изящно применением метода множителей Лагранжа. Он заключается в следующем. [c.306]

Следующим новшеством этой книги является включение в нее механики непрерывных систем и полей (гл. 11). Вообще говоря, эти вопросы охватывают теорию упругости, гидродинамику и акустику, однако в таком объеме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, по ним имеется соответствующая литература. В противоположность этому не существует хорошей литературы по применению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц все время возрастает. Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко еще до рассмотрения квантования. Например, вполне возможно рассматривать тензор напряжение — энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщенных импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в применении к полям. [c.9]

При прямом применении уравнений Гамильтона математические трудности решения задач механики обычно существенно не уменьшаются, так как при этом нам приходится иметь дело с такими же дифференциальными уравнениями, как и в методе Лагранжа. Преимущества метода Гамильтона заключаются не в его математической ценности, а в том, что он более глубоко проникает в структуру механики, так как равноправность координат и импульсов как независимых переменных предоставляет большую свободу для выбора величин, которые мы принимаем за координаты и импульсы . В результате мы приходим к новым, более абстрактным формам изложения физической сущности механики. Хотя полученные таким путем методы могут оказать некоторую помощь при решении задач механики, однако с современной точки зрения их главная ценность состоит в том, что они играют существенную роль в построении новых теорий. В частности, именно эти абстрактные концепции классической механики были исходными пунктами в построении статистической механики и квантовой теории. Изложению такого рода концепций, получающихся из уравнений Гамильтона, и посвящаются эта и следующая главы. [c.263]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Эта формула совпадает с формулой (18.6), если в последней произвести преобразование от прямоугольных координат к сферическим Мы видим, что и это преобразование координат становится излишним благодаря применению формального метода Лагранжа. [c.259]

В связи с этим, при применении метода Лагранжа изменения произвольных постоянных удобнее и проще пользоваться не кеплеровскими оскулирующими элементами, а элементами Якоби, дифференциальные уравнения для которых в возмущенном движении также имеют канонический вид, что позволяет при исследовании этих уравнений опираться на общие свойства канонических систем и канонических преобразований. [c.687]

Примеры на применение метода Лагранжа. Следующие примеры покажут, как следует использовать метод Лагранжа для нахождения малых колебаний системы. Если требуется найти только периоды колебаний, то эту процедуру можно резюмировать следующим образом постройте выражения для Т и 11, зависящие от квадратов малых величин, и приравняйте нулю искри-минат р Т и. [c.403]

Оба метода исследования жидкссти —и метод Лагранжа, и метод Эйлера — математически свя заны между собой и возможен переход от уравнений (IV.2) к уравнениям (IV.3). В практическом применении метод Эйлера более прост, поэтому дальнейшее изложение основано на его грименеиии. [c.85]

Для решения таких задач эффективным является применение интегралыных форм уравнений количества движения и момента количества движения. Методика их использования проиллюстрирована ка конкретных примерах в гл. 6, 7 н др. в данном параграфе приведены уравнения количества движения и момента количества движения в общей форме, удобной для практического применения. Закон количества движения сформулирован в гл. 3, где в общей форме получено соответствующее уравнение (3.8). Оно, однако, малоудобно для практического применения из-за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера. [c.110]

Оно, однако, малоудобно для практического применения из-.за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера. [c.119]

Метод исследования движения жидкости, применяемый в гидравлике. Метод Лагранжа ввиду его сложности не нащел широкого применения в технической механике жидкости. Далее в основном будем пользоваться методом Эйлера. Однако, применяя его, все же не будем соверщенно отрекаться от рассмотрения движения частиц жидкости М. Мы будем следить за их движением, но не в продолжение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение только элементарного отрезка времени dt, в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. [c.73]

В этой книге представляет интерее глава X, в которой рассмотрено обобщение уравнений Лагранжа на случай неголономных систем с применением метода неопределенных множителей Лагранжа. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...