Устойчивость периодических решений

Исследование устойчивости периодических решений впервые было выполнено А. М. Ляпуновым в его диссертации Общая задача об устойчивости движения" (гл. III). [c.425]

Устойчивость периодических решений (32) в стационарных точках Хо и 00 будем изучать, вводя возмущения А и е. Тогда [c.13]

Вопросы устойчивости периодического решения, существования периодических решений периодов тГ (т = 2, 3,. . . ) и др. решаются методами, изложенными в гл. III. [c.258]

В результате решения построены зависимости частоты Q и амплитуды А автоколебаний от параметра системы (рис. V. 12). Устойчивость периодического решения оценивалась по уравнению [c.223]

Если решение этих уравнений дает для Лий вещественные положительные значения, то следует считать, что периодическое решение, близкое, к z = Л sin Ш, существует, хотя оно требует еще дополнительного доказательства. Существование периодического решения еще не означает наличия автоколебаний в приводе, так как только устойчивое периодическое решение соответствует автоколебаниям. Поскольку исследование устойчивости периодического решения состоит в исследовании переходного процесса для малых отклонений от этого решения, то при различных приемах 86] этого исследования необходимо знать размер амплитуды Л и частоты Q колебаний, устойчивость которых исследуется. [c.141]

Подстановка значения соответствующих частных производных в выражение (3.52) для критерия устойчивости периодического решения показывает, что он не выполняется при всех вещественных значениях амплитуды А этого решения. [c.146]

Исследование устойчивости периодического решения подобной системы показывает [86], что в следящем приводе могут воз- [c.473]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Определенному решению этих уравнений действительно соответствует при достаточно малых значениях ц единственное аналитическое относительно J. и устойчивое периодическое решение основной системы с периодом ((г), обращающееся при И = О в порождающее, если все корни алгебраического уравнения степени k — 1 [c.55]

О практическом использовании изложенных общих результатов и построении периодических решений в виде рядов по малому параметру. Использование изложенных выше теорем позволяет получить условия существования и устойчивости периодических решений, а также полностью определить соответствующее порождающее приближение. При решении многих прикладных задач этого оказывается вполне достаточ 1ым. Поэтому рассмотрим вначале технические трудности, связанные с построением функций Pj. [c.56]

Условием устойчивости периодического решения, соответствующего определенному корню 0.1 = af последнего уравнения, согласно (60), будет неравенство [c.61]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

При 5>1 + Л уравнения (8.2) имеют устойчивое периодическое решение [217]. Если концентрация вещества А промодулирована со временем по гармоническому закону, т. е. А= А Л-а os oi, то колебания концентраций X ж Y могут стать хаотическими [491, 535]. В этом случае уравнения (8.2) описывают нелинейный осциллятор с гармоническим внешним воздействием. На примере системы (8.2) с промодулированной величиной А в [535] была численно подтверждена закономерность, установленная в [c.343]

Отметим еще один интересный факт. Как внутри области//, так и за пределами области J существуют точки, через которые проходят решения, стремящиеся к устойчивым периодическим решениям системы (15.5). Мы докажем это для системы (15.4). Если выбрать Д достаточно малым, то ясно, что это будет справедливо также и для систе.мы (15.5). Рассмотрим решение уравнения (15.3) [c.260]

Математическое условие устойчивости периодического решения предполагает положительность всех определителей Гурвица, кроме предпоследнего, который должен быть положительным при величине амплитуды большей расчетной и отрицательным — при амплитуде меньшей расчетной. Невыполнение этого условия свидетельствует о неустойчивости найденного периодического решения. Положительность всех определителей Гурвица, кроме предпоследнего, для дифференциальных уравнений третьего порядка, описывающих рассматриваемый привод, означает положительность 126 [c.126]

Если 1Л1<1, то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными и периодическое решение в первом приближении устойчиво. Уравнение И1 = 1 дает границу области устойчивости периодического решения. Если 1Л1>1, периодическое решение неустойчиво. [c.99]

Значения х 2п) и Х2 2п) определялись численным интегрированием уравнения в вариациях (2.7.20). Результаты исследования корней характеристического уравнения (2.7.21) представлены на рис. 17, где в плоскости п , е построены границы областей устойчивости периодических решений (тонкие линии) и кривая разветвления (жирная линия), выходящая из точки ( =1, б = 0). Область Ез существования трех периодических решений расположена на рис. 17 левее и выше кривой разветвления. Одному периодическому решению соответствует область Ей расположенная правее и ниже кривой разветвления. [c.99]

Область устойчивости периодического решения 0 более [c.100]

Из результатов работ [2, 58] вытекает, что необходимые условия устойчивости периодических решений уравнения (2.3.5), полученные при рассмотрении по первому приближению, являются и достаточными для почти всех значений параметров е. [c.101]

Автоколебания. Автоколебаниями называются изолированные, асимптотически устойчивые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений. Отличие автоколебаний от вынужденных колебаний заключается в следующем. В системах с диссипативными силами поддержание периодических колебаний осуществляется посредством приложения периодических внешних сил. Это проявляется в том, что дифференциальные уравнения, описывающие такие системы, являются неавтономными, периодически зависящими от времени. [c.201]

Указанным в теореме неподвижным точкам отображения Пуанкаре соответствуют устойчивые периодические решения периода 2тг/ исходной задачи. Поведение системы вдоль этих решений следующее фазовая точка начинает движение при г = О в области G3, затем пересекает сепаратрису, попадает в область С или С2 затем вновь пересекает сепаратрису и возвращается в G3. [c.195]

Точная система условий для устойчивого периодического решения получается из (5.4)-(5.10) добавлением членов е), которые [c.199]

Об устойчивости периодических решений систем уравнений, содержащих малый параметр. ......................................160 [c.157]

Об устойчивости периодических решений систем уравнений, содержащих малый параметр [c.160]

Результаты, касающиеся устойчивости периодических решений системы уравнений движения (16.21), могут быть легко распространены на решения системы уравнений с переменными коэффициентами. В этом случае mojkho утвер- [c.156]

М. Я. Кушуль. Устойчивость периодических решений квазилинейных упругйх гироскопических систем с распределенными и сосредоточенными параметрами.— ПММ, 1970, т. 34, вып. 1. [c.17]

Таким образом, периодическое решение, определяемое выражениями (3.55) и (3.56), устойчиво и образуется область устойчивых автоколебаний. Стрелки, сходящиеся к кривой на рис. 3.28, условно показывают устойчивость периодического решения. В результате можно различить две области динамического состояния привода с нелинейностью вида насыщения перепада давления во внешней цепи управляющего золотника область устойчивости равновесия, которая располагается слева от вертикали, проходящей через предельное подведенное давление Рпл привода в линейном виде, и область автоколебаний (устойчивого периодического решения), которая располагается справа от указанной вертикали, проходящей через Рпл- Следовательно, учет нелинейности насыщения перепада давления во внешней цепи золотника приводит к образованию за областью устойчивости равновесия привода в линейном виде области автоколебаний. Области динамического состояния привода с насыщением расхода жидкости. Причиной такой нелинейности обычно бывает значительное сопротивление трубопроводов прохождению масла или наличие значительных местных сопротивлений, например, дроссельных шайб во внешней цепи золотника. Рассмотрим последний случай, применяемый в практике для достижения устойчивости гидравлического следящего привода. Полагаем, что во внешнюю Ц0пь управляющего золотника (в каждую магистраль у управляющего золотника) установлен дроссель диафрагменно-го типа с площадью /эр проходного отверстия (/ на рис. 3.2). [c.148]

Интегральный критерий устойчивости периодических решений. При определенных условиях результатам, приведенным выше, можно придать форму, удобную как при решении конкретных задач, так и при изучении общих закономерностей [7]. Пусть функции Pg (oi,, ,,, ak) вещественны и существует функция D = D (а,,, ,,, ад.) параметров порождающего решения, имеющая непрерывные частные производные до второго порядка включительио, и такая, что [c.61]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Приведенные выше результаты устанавливают существование, единственность, аналитичность, а также устойчивость периодического решения лишь при достаточно малых значениях р между тем в каждой прикладной задаче теории колебаний встречаются некоторые конечные значения (.i. Сходимость рядов, а также устойчивость решений при этих конечных значениях параметра в подавляющем большинстве прикладных исследований ие изучают, так как, во-первых, это трудоемкий процесс, во-вторых, соответствуют,не оценки часто оказываются неэф ективными, ибо всегда ориентированы на худший случай. Таким образом, строго установленные локальные резу ч.таты фактически используют нелокально. По этой причине, а также в связи с тем, что обычно находят лишь один—три члена ряда, к соответствующим результатам следует относиться как к пол ченным лишь на рациональном уровне строгости , несмотря на полную строгость указанных выше теорем. Поэтому проверку результатов с помощью физического или численного эксперимента не следует считать излишней [2, 7, 8, 10]. [c.62]

Области отрицательных зачений % соответствуют областям существования устойчивых периодических решений неб1оль-шого периода. Вблизи значения (х = = —0,78497... зависимость Я от (х определяется формулой (4.3) и имеет вид, показанный на рис. 8.12. [c.243]

На рис. У.б показана зависищ)сть амплитуды автоколебаний от скорости управляющего воздействия V при различных внешних нагрузках на привод. Анализ устойчивости периодических решений показывает, что меньшие значения амплитуд соответствуют [c.124]

Рис. 19. Линии Л = onst и область устойчивости периодического решения, соответствующ его колебаниям около направления большой полуоси.

В случае движения по инерции по плоскому тору имеем Е = = Т , поэтому гапктг(Г) = 3. Приведем пример интегрируемой гамильтоновой системы, имеющей на энергетических поверхностях Е ровно две устойчивые замкнутые траектории. Рассмо рим би-гармонический осциллятор, динамика которого описывается уравнениями х -Ь 0 1 = О, 2 + 2 2 = О, 0 1/0 2 Q. Энергетическая поверхность -Ь 2 -Ь -Ь а ж2 = 2/г при /г > О диффеоморфна трехмерной сфере поэтому Н1(Г, 2) = 0. При всех Н > О имеются ровно два устойчивых периодических решения [c.149]

Долгое время считалось, что движение большинства фазовых точек, иересекаюш,их сепаратрису, хаотическое, а обш,ая мера островов регулярного движения (островов устойчивости), если они и суш,еству-ют, мала вместе с здесь — скорость изменения параметра задачи, О < <С 1. В [9] показано, что мера каждого индивидуального острова устойчивости оценивается сверху величиной порядка е. Однако затем в [10] было показано, что если задача обладает определенными свойствами симметрии, то в случае обш,его положения система в области переходов через сепаратрису имеет много, 1/е, устойчивых периодических решений, и для каждого такого решения мера острова устойчивости — величина порядка Поэтому суммарная мера островов устойчивости оказывается величиной порядка 1. (Во многих задачах эта величина порядка 1 оказывается все же малой, порядка 1%-2% от обш,ей меры области переходов через сепаратрису из-за этого, по-видимому, острова так долго не обнаруживались в численных экспе-эиментах). [c.193]

В [10] строились решения периода или равного периоду изменения параметра, или вдвое большего. При этом подход [10] не различал этих решений, из-за чего на систему приходилось накладывать дополнительные ограничения симметрия требовалась не только от невозмуш,енной системы, но и от возмуш,ения. В настояш,ей работе условия симметрии накладываются на невозмуш,енную систему достаточно требовать, чтобы движения по сепаратрисам на рис. 1 были симметричны друг другу. Доказано, что в случае обш,его положения система имеет 1/е устойчивых периодических решений периода, эавного периоду изменения параметра. Для каждого из этих периодических решений мера окружаюш,его его острова устойчивости ограничена снизу величиной порядка , так что суммарная мера островов устойчивости оказывается величиной порядка 1. [c.193]

На каждой из этих интегральных поверхностей при достаточно малом с находится одно из периодических решений (16). Вторым методом Ляпунов доказал асимптотическую устойчивость периодических решений (16) в классе тех решений, которые начинаются вблизи этих периодических решений и расположены на одной поверхности с соответствующим периодическим решением. Как видим, он здесь воспользовался первым методом, так как строил периодические решения (16), но не построил общего решения в окрестности нулевого решения. Можно, однако, показать, что в этом случае Ляпунов мог бы (не обращаясь ко второму методу) построить общее решение по первому методу, откуда получил бы и факт неасимптотической устойчивости нулевого решения. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...