Минимальные геодезические

Болотин С.В. Двоякоасимптотические траектории минимальных геодезических// Вестник МГУ, Матем. Механ. — 1992. — Вып. 1. — [c.159]

Далее, длины изображений кругов в этом покрытии имеют верхнюю границу Ь. Мы можем также найти такое <1, что две любые точки М, геодезическое расстояние которых в М меньше, чем (1, могут быть соединены единственной минимальной геодезической линией длины 6 < (1. Пусть п будет такое целое положительное число, что [c.144]

М. Морс [3], [4] и [5] использовал методы символической динамики для изучения минимальных геодезических па поверхности отрицательной кривизны. Данную статью можно рассматривать как распространение и обобщение результатов Морса на рассматриваемый случай. Настоящим обобщением геодезических потоков, изучавшихся Морсом, являются потоки, удовлетворяющие аксиоме А (см. [9]). Технически они сложнее диффеоморфизмов, ио со временем и для них будут построены марковские разбиения, и методы этой статьи будут перенесены на случай потоков. В частности, можно ожидать, что справедлива следующая [c.92]

Геодезическими называются кривые на многообразии, которые являются кратчайшими, из кривых, соединяющих любые две достаточно близкие точки. В 9.5 мы покажем, что орбиты геодезического потока проектируются в геодезические в конфигурационном пространстве, и сможем проверить свойство локальной минимальности геодезических, а также разработать глобальный анализ геодезических. [c.211]

Эта теорема представляет собой первый пример того, как вариационные методы позволяют найти бесконечно много периодических орбит. Ранее мы встречались с ситуациями, когда бесконечное множество периодических орбит удавалось найти, используя гиперболичность (следствие 6.4.19) или определенные сведения из топологии (следствие 8.6.11, следствие 8.6.12, теорема 8.7,1). Позднее мы сможем использовать вариационные методы для получения бесконечного множества орбит в других ситуациях, а именно для геодезических потоков, когда будет найдено бесконечно много замкнутых геодезических (теорема 9.5.10), а также большие множества минимальных геодезических (теорема 9.6.7). Доказательство теоремы 9.3.7 интересно также тем, что, оказывается, нахождение критических точек с помощью вариационных методов представляет собой не вполне тривиальную задачу и использует некоторые топологические соображения. В то время как построение первой периодической орбиты использует достаточно грубый (хотя и нетривиальный) поиск минимума некоторого функционала действия, построение второй базируется на сочетании вариационных методов с дифференциальной топологией в форме простой теории Морса или соображений [c.362]

Теперь мы можем показать, что если фундаментальная группа растет экспоненциально, то множество минимальных геодезических достаточно велико для того, чтобы обеспечить положительную топологическую энтропию геодезического потока. [c.381]

Минимальные геодезические на компактных поверхностях [c.382]

МИНИМАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА КОМПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 383 [c.383]

Естественно задать вопрос о скорости роста минимальных геодезических как функции длины. Положение дел здесь существенно различно для тора [c.383]

И ДЛЯ поверхностей высшего рода. Для тора нижняя граница задается скоростью роста для плоской метрики, для которой классы минимальных геодезических находятся во взаимно однозначном соответствии с ненулевыми элементами целочисленной решетки Z , и потому скорость роста является квадратичной функцией длины (с множителем, зависящим от выбора плоской метрики). Произвольная метрика может рассматриваться как проекция периодической метрики на В силу компактности тора эта метрика ограничена и сверху, и снизу произведением евклидовой метрики на некоторые множители, так что индуцированное расстояние равномерно эквивалентно расстоянию, индуцируемому евклидовой метрикой (т. е. отношение расстояний заключено между парой положительных чисел). Поскольку длина кратчайшей замкнутой геодезической в гомотопическом классе, соответствующем к Z , равна min d p,p + f ), для любой метрики скорость роста [c.384]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Замечание. Заметим, что определение глобально минимизирующих состояний параллельно определению минимальных геодезических на римановом многообразии (определение 9.6.1) и что понятие упорядоченного состояния совпадает с понятием, введенным в определении 13.1.2 для состояний, которые представляют отрезки орбит. [c.438]

Минимальные геодезические на поверхностях рода больше единицы были впервые построены Морсом [212]. [c.730]

Известно, что линия наименьшей длины, соединяющая две точки на поверхности, является одной из геодезических линий, проходящих через эти точки. Однако было бы неточным сказать, что каждая из геодезических линий будет минимальной по сравнению с бесконечно близкими лини и. Например, дуга большого круга, большая 180°, соединяющая две точки на сфере,. является геодезической линией. Между тем возмо жно найти между эти.ми двумя точками путь бесконечно близкий и в то же время более короткий. Наоборот, на замкнутом цилиндре все геодезические линии. [c.181]

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения , установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвол-ьного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением , и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию принуждения Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в пространстве конфигураций [c.392]

Это заключение будет особенно наглядным в случае одной материальной точки, удерживаемой на некоторой поверхности а и движущейся без трения при отсутствии активных сил. В этом случае, как было уже отмечено в предыдущем пункте, метрическое многообразие будет тождественно с поверхностью о, на которой удерживается точка, а динамическая траектория совпадает с кривой, действительно пробегаемой точкой на поверхности о. На основании соображений п. 44 гл. II динамические траектории движения точки по инерции, названные геодезическими линиями поверхности, определяются тем дифференциальным свойством, что соприкасающаяся плоскость в каждой точке траектории нормальна к поверхности о. К тому, что было известно ранее, мы можем теперь добавить, что геодезические линии обладают интегральным свойством, характеризующим их и заключающимся в том, что всякая дуга геодезической линии имеет стационарную, а для достаточно близких концов — минимальную длину по сравнению со всеми кривыми, которые можно провести на поверхности между теми же концами. [c.414]

Если начальная и конечная точки Aq и Ai близки одна к другой, то действие W минимально и геодезическая является кратчайшей кривой, лежащей на поверхности и соединяющей точки Aq и Ai. [c.485]

А. Пусть имеется точка а на римановом многообразии ЗЯ с метрикой dl. Тогда для всех точек Ь, достаточно близких к а, существует геодезическая, идущая из а в 6, причем длина ее будет минимальной в классе всех кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки. [c.172]

Подобный пример устройства гидравлического затвора показан на фиг. 244, где изгиб трубы обеспечивает работу сифона, даже при спаде уровней ниже выходного отверстия сливной трубы. Геодезическая высота подачи отграничивается 2 м даже при минимальном уровне реки. [c.369]

Выбор места расположения насосной станции зависит от сезонных колебаний уровня воды в реке и от превышения площадки станции над уровнем реки. Если разность геодезических отметок осей циркуляционных насосов и минимального уровня воды в реке не превосходит допустимой высоты всасывания (3—4,5 м), то циркуляционные насосы могут размещаться вблизи конденсаторов турбин. Если разность геодезических отметок и колебания уровня воды в реке значительны, то циркуляционные насосы устанавливаются в специальном здании на берегу реки. В этом случае циркуляционная вода от береговой насосной станции подается к конденсаторам турбин не менее чем по двум напорным магистралям для обеспечения бесперебойного водоснабжения электростанции. Береговые насосные сооружения должны быть гарантированы от затопления водой в период паводков. [c.162]

Газообразное топливо (природный, попутный газы) не подлежит хранению на территории электростанции. Оно подводится по магистральным газопроводам в газораспределительный пункт (ГРП) электростанции, где организуется его очистка от посторонних примесей, корректируется его давление, измеряются его параметры. Необходимое давление газового топлива перед ГТУ зависит от состава газа, его температуры и плотности, а также от условий окружающей среды (температуры воздуха, геодезической высоты установки ГТ). Оно рассчитывается фирмой-изготовителем ГТУ на основании принятых в проекте параметров и, прежде всего, давления сжатого воздуха за компрессором. Принятое фирмой-изготовителем давление топлива является расчетным значением для всех режимов работы установки, в самом неблагоприятном случае (при минимальной температуре наружного воздуха, максимальной температуре газов на входе в газовую турбину, впрыске воды для снижения выбросов NOj ) оно должно гарантировать эксплуатацию ГТУ с предельной мощностью. Потери давления в системе снабжения газовым топливом за пределами ГТУ (в ГРП, фильтрах тонкой очистки газа и др.) не учитываются и должны добавляться к требуемому давлению газа. [c.121]

Многолетние систематические наблюдения над формами трещин и изломов изделий в условиях службы и при механических испытаниях наводят на мысль о том, что траектория трещины подчиняется определенному закону криволинейная трещина, расположенная на поверхности тела (поверхностная трещина), совпадает с обобщенной геодезической линией, а поверхность излома, находящегося внутри тела (внутренняя трещина) — с обобщенной минимальной поверхностью. [c.11]

Напомним, что геодезическая линия является наименьшим расстоянием между двумя точками, лежащими на поверхности. Натянутая нить, соединяющая эти две точки, совпадает с геодезической линией и находится в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия этой нити минимальна. Согласно принципу Герца при отсутствии внешних сил траектория движущейся по поверхности точки совпадает с геодезической линией. [c.11]

Рнс. 59. Свойства геодезических метрик Якоби в области возможности движения с краем. Слева изо ажены две либрации — траектории периодических движений, переходящих с одной связной компоненты границы (из трех) на другую. Эти кривые имеют минимальную длину в классе всех кривых, соединяющих указанные компоненты границы (минимальная геодезическая для третьей пары связных компонент состоит из уже названных либраций и куска границы между ними — длина этого куска в метрике Якоби равна нулю). Справа изображена траектория, выходящая на границу из произвольной внутренней точки компактной области возможного движения. Такая траектория существует всегда Существо доказательства в том. что траектория сначала доводится до некоторой-окрестности границы такой, что все геодезические, выпущенные с границы, без самопересечения под прямым углом упираются в границу окрестности. Одна из этих геодезических встретит рассматриваемую траекторию под развернутым углом и потому послужит ее продолжением. Из рис. 57 вытекает, что даже в случае компактной области возможности движения две точки не всегда можно соединить геодезической метрики Якоби [c.288]

В общем случае, доказательство теоремы можно провести, например, так. Принцип Мопертюи сводит задачу к финслеровой геомет-эии. Используя эту редукцию, можно доказать, следуя Морсу [23], существование бесконечного числа минимальных замкнутых геодезических, и бесконечного числа минимальных геодезических, гомоклинических к этим минимальным геодезическим [4]. В силу условия на топологию М, эти гомоклинические геодезические топологически трансверсальные. Отсюда вытекает положительность топологической энтропии. [c.149]

Метод минимакса. Посредством метода минимакса можно устанавливать существование дальнейших периодических движений. Простейшую иллюстрацию этого метода мы получим, если будем рассматривать геодезические линии на поверхности вида тора в обыкновенном трехмерном пространстве. Изложенный выше метод минимума, очевидно, дает нам для каждого класса эквивалентных замкнутых кривых, не сводимых в точку, по крайней мере одну геодезическую линию, принадлежащую этому классу. Будем теперь деформировать замкнутую кривую I таким образом, что в начальном и в конечном положении она будет совпадать с упомянутой минимальной геодезической линией и по крайней мере одна из угловых координат увеличится при деформации на 2ктт. Конечно, во время этого движения длину I придется, вообще говоря, увеличивать по сравнению с начальной, и эта длина пройдет через некоторый максимум. Рассмотрим деформацию, для которой этот максимум будет наименьшим. В некотором положении Г кривая I действительно достигает этого максимума. Это положение I [c.141]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Аналогичные соображения будут использоваться в 9.7 в процессе изуч ния минимальных геодезических на поверхностях. Мы вернемся к закруч вающим отображениям в гл. 13. [c.370]

Мы показали, что чисто топологическое свойство компактных многообразий гарантирует существование минимальных геодезических относительно любой римановой метрики на этом многообразии. Далее мы выразим эту связь количественно, показав, что при наличии более сильного топологического свойства, а именно экспоненциальной скорости роста фундаментальной группы 7T,(Af), можно гарантировать определеннуто данамиче-скую сложность множества минимальных геодезических для любой метрики на М, а именно положительность топологической энтропии геодезического потока, суженного на это множество. [c.379]

Теорема 9.6.3 доказана в [194]. Мэннинг также доказал неравенство Л4ор(з ) у М). Шея использования энтропии для доказательства изобилия минимальных геодезических, как это делается прн доказательстве теоремы 9.6.7, исходит нз [144]. [c.730]

Теорема 13.2.6 была доказана независимо французским физиком Обри [31] и Мазером [199]. Метод Мазера использовал вариационный подход на некотором бесконечномерном прос анстве, метод Обри был основан на построении глобально минимальных состояний (как в 3). До того как работа Обрн стала известна математикам, Каток [141] предложил торошение доказательства результата Мазера, основанное на рациональных приближениях. В пункте а данного параграфа мы следуем [141] и [142]. Бангерт [34] показал, что классический результат Хедлунда [118] о глобально минимальных геодезических иа торе очень близок к конструкции аналога множеств Обри — Мазера для лотоков. [c.732]

Возвращаясь к прохождению света через деформированную среду, будем опираться на исходные представления общей теории относительности и замечания Ланцоша [76]. Будем полагать, что лучи света движутся по геодезическим естественной геометрии пространства, связанного с деформируемой средой, если свет монохроматичен и длина волн света достаточно мала. При этом с>сч и, как видно из равенства (2.107), йзфО, т. е. траектории лучей света не являются минимальными геодезическими. [c.63]

Ср. задачу 2-с. Эквивалентным образом, мы можем записать г = 1Ь( ). Более того, отрезок прямой от О до 2 является единственной минимальной геодезической в метрике Пуанкаре. Этим доказывается (Ь) и (с) для односвязных поверхностей. Общий случай вытекает отсюда немедленно, и утверждение (а) легко отсюда следует. (Ср. Уиллмор.) [c.34]

Действительно, если выбрать минимальную геодезическую, соединяющую /(г) с J внутри V, то один из ее (1 прообразов соединит точку г с J, и длина этого прообраза не будет превосходить dist(/(г), J)/f . [c.242]

Пусть мы имеем более общий случай, когда поверхность имеет любую форму, и пусть точка Р движется вдоль геодезической линии, начав свое движение из точки О. Эта геодезическая линия будет кратчайшим путем от О до Р до тех пор, пока Р не перейдет за некоторую точку О (если такая существует), представляющую точку пересечения с соседней геодезической линией, проходящей также через О. За этой точкой минимальное свойство нарушается. На антикластической поверхности (на которой главные кривизны имеют противоположные знаки) две геодезических линии не могут пересекаться более одного раза, и, следовательно, каждая геодезическая линия является кратчайшим путем между двумя любыми своими точками. [c.270]

Движения по инерции (спонтанные движения) и геодезические линии. В частном, но очень важном случае движений по инерции (спонтанных движений), т. е. движений при отсутствии активных сил и = onst, динамические траектории, как было указано в п. 63 гл. V, называются геодезическими линиями метрического многообразия V . Из предыдущего пункта следует, что они определяются свойством делать стационарным (или, в частности, минимальным при достаточно близких концах) криволинейный интеграл [c.414]

Необходим след ющий минимальный комплект инструментов для геодезических работ на трассе теодолит, нивелир, рейка с делениями на обеих поверхностях длиной до 3 м, мерные ленты длиной 20 м, рулетки стальные и тесемочные, уровни-визирки, вешки, шнур. [c.302]

В случае, если условия энергопоглощения и энергоснабжения изменяются от точки к точке подобно друг другу, внутренняя трещина представляет собой поверхность минимальной площади (аналогично мыльной пленке на проволочном каркасе), а на поверхности тела трещина идет по обычной геодезической линии. На рис. 19 и 20 показан разрушенный клапан двигателя и след выхода трещины на поверхность в виде криволинейной поверхности трещины. [c.38]

Наблюдения над формами треш,ин и изломов изделий в условиях службы и при механических испытаниях образцов наводят на мысль, что траектория треш,ины (линия, вдоль которой трептина, распространяется) подчиняется определенному закону, а именно, траектория тре-ш,ины, видимая на поверхности тела, совпадает с обобш,енной геодезической линией, а поверхность излома, находяш,егося внутри тела — с обобш,енной минимальной поверхностью. Под трещиной, видимой на поверхности тела, понимается сквозная треш,ина в тонкой оболочке, которая может быть плоской, а также трептина, представляюш,ая собой след от пересечения поверхности излома с поверхностью тела. [c.181]

Напомним, что геодезическая линия имеет наименьшее расстояние между двумя точками, лежатттими на поверхности. Натянутая нить, соединяюш,ая эти две точки, совпадает с геодезической линией и находится в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия этой нити минимальна. Согласно принципу Герца при отсутствии внешних сил траектория движуш,ейся по поверхности точки совпадает с геодезической линией. Эти свойства находятся в согласии с предположением, что путь треш,ины определяется наименьшими затратами энергии на разрушение. [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...