Ветвление решений

Бифуркация - 1) спонтанный переход системы в новое качественное состояние при достижении критических условий (физическое понятие) 2) ветвление решения нелинейных уравнений при вполне определенных начальных условиях (математическое понятие). [c.147]

При численном решении задачи для неизвестных л задают произвольные начальные значения х1 = Хк/а=о из области, близкой к нулевому решению. Далее строят интегральные кривые Хй (о хи. .., xf). При малых значениях средней скорости v тривиальное решение = О является устойчивым, и интегральные кривые будут мало отклоняться от нулевого положения. Критическое значение скорости у соответствует точке ветвления решений исходной системы. В этой зоне интегральная кривая должна проходить вблизи устойчивого нетривиального решения. Варьируя начальные условия х%, мы получаем набор интегральных кривых, которые при х% Q должны определить расположение огибающей, соответствующей решению однородной задачи. [c.223]

Широкий круг вопросов, связанных с ветвлением решений для нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и уравнений для различных задач упругого деформирования, рассмотрен в Шорнике статей [387] и в статьях [44,17,234]. [c.182]

На примере цилиндрической оболочки R/h — 100 L/R = = 2,5 Е = 2,06 10 МПа v = 0,3 покажем влияние жесткости основания на величину критической нагрузки и форму волнообразования при потере устойчивости [179]. Точки ветвления решения соответствуют классической проблеме бифуркации состояния [141]. [c.89]

Рассмотрим квазистатическое деформирование упругих и упругопластических тел. Критическим значением параметра деформирования, соответствующим бифуркации (ветвлению) решений, называется такое значение, когда для соответствующей этому параметру равновесной конфигурации существует два (или более) решения задачи (3.6). Пусть для некоторого момента времени существует два решения задачи (3.6) й й Р P и т. д. Разность этих решений, представленных относительно скоростей, обозначим через Д, например [c.125]

Обратное неверно, таж каж в точке поворота достигается собственное состояние, но ветвления решения в общем случае не происходит. [c.133]

При критическом значении сжимающей силы возможно существование двух форм равновесия прямолинейной и изогнутой. Такие точки ветвления решения называют точками бифуркации решения. Какую же из двух возможных конфигураций изберет стержень при Р > Ркр На этот вопрос рассмотренный метод непосредственного интегрирования нелинейного уравнения ответа не дает. Более или менее интуитивно ясно, что при Р > стержень изогнется. При увеличении Р прогиб растет довольно быстро. [c.257]

Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела [c.107]

Пример канонической системы с гамильтонианом (1) показывает, что из неоднозначности общего решения еще не вытекает несуществование однозначных первых интегралов. Однако, как утверждает теорема 1, если на ветвление решений наложить дополнительные условия, которые выполняются в общем случае, то из неоднозначности общего решения вытекает отсутствие дополнительных однозначных интегралов гамильтоновых уравнений. [c.129]

ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ И ОТСУТСТВИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [c.327]

Глава VII. Ветвление решений [c.328]

Ветвление решений и полиномиальные интегралы [c.335]

Ветвление решений и полиномиальные интегралы обратимой системы на торе [c.335]

И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, ная. нслииейиыми интегральными уравнениями. Для нек-рых типов нелинейных И. у. разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у. найдена зaв I имo ть решения от параметров И. у., получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матем. физики определяется тем, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифферснц. ур-пий можно свести при помощи Грина функций к И. у. [c.157]

Результаты аналогичного исследования для цилиндрической панели представлены на рис. 7.7 для двух значений кривизны Ха 0,035 и 2 = 0,02. Интегральные кривые, показанные штриховыми линиями, построены при тех же начальных условиях, которые были приняты для пластины (см. рис. 7.6). В отличие от плоской панели в данном случае нарушена симметричность решения для средних значений обобш,енных координат й , щ- Наряду с критической скоростью v , соответствующей точке ветвления решений, появилась нижняя критическая скорость определяюш,ая предельную точку. Эти результаты имеют ясный механический смысл, аналогичный случаю детерминированного режима. [c.224]

Здесь возможно ветвление решений. Для того, чтобы дать представленне [c.21]

Для а = 1, = 100 эти решения и соответствующие им формы деформирования фермы показаны на рис. 1.14 в пространстве Р.Ш этого рисунка виднб, что множество решений системы (1.3.29) сложно меняется в пространстве и имеет три точки ветвления п г. з.причем г иВз являются точками вторичного ветвления решений. Такое поведение множества решений делает невозможным его численное построение с использованием единого, параметра продолжения и требует для каждой ветви [c.50]

Отметим, что в точках, где матрица / становится вырожденной, т е. все det(//) =0,i = 1,..., m+ 1, обращается в нуль и определитель det(/ )= = (-1)" +1 ), Это следует непосредственно из (1.4.8). В таких точках возможво ветвление решений системы (1.4.1). [c.59]

При изучении сложных нелинейных процессов, поддающихся исследованию ана дитическими методами с большим трудом, ЭВМ позволяют провести большие чис ленные эксперименты с целью проверки или выдвижения гипотез о качественной или количественной стороне нелинейного явления. Обнаруженная эвристическим путем на ЭВМ закономерность может служить источником новых аналитических разработок и исследований. Такое применение ЭВМ привлекало внимание многих ученых уже с самого начала появления ЭВМ. Так, одна из первых ЭВМ была использована Ферми и Уламом [32] с целью исследования распределения энергии по частотам в нелинейных волновых процессах. Ими было обнаружено аномальное, сохраняющееся длительное время, распределение энергии по первым основным частотам. Полное аналитическое исследование этого факта отсутствует и в настоящее время. С помощью ЭВМ был об-наружен и целый ряд других очень интересных и необычных эффектов в нелинейных процессах. Упомянем в этой связи образование странных аттракторов — сложных предельных многообразий нелинейных динамических систем, к которым приближа ются со временем траектории динамической системы [33], открытие так называемого Т-слоя в плазме, неожиданно образуюпдегося при разлете плазменного шнура. Такой Т-слой характеризуется аномально высокой температурой [34]. С помощью ЭВМ в последнее десятилетие было сделано удивительное открытие о количественной уни версальности поведения широкого класса нелинейных систем уравнений, зависящих от параметра, в процессе ветвления решений при изменении параметра, когда число решений может неограниченно расти с удвоением периода. Оказалось, что две посто янные а = 4.6692. .. и Л = 2.5029. .. характеризуют переход к хаотическому поведе нию решений очень широкого класса нелинейных систем уравнений [35]. Аккуратное аналитическое обоснование этого факта еще ждет своих исследователей. [c.24]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129]

Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики — теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический ангшиз причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расщепление асимптотических поверхностей, рождение изолированых периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний. Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики. [c.2]

Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем, что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла. Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы (3.11). [c.275]

Актуальность задачи Пенлеве неоднократно подчеркивалась в известных книгах В, В, Голубева [42, 43]. Он же предложил естественное расширение этой задачи выяснить связь между ветвлением решений как функций комплексного времени и наличием однозначных первых интегралов. Как будет показано ниже, при определенных дополнительных условиях общего характера задача Пенлева — Голубева имеет положительное решение. [c.328]

Пусть теперь I — контур (замкнутый путь) на плоскости комплексного времени t. Будем говорить, что аналитическая вектор-функция неоднозначна вдоль I, если она имеет ненулевое прира-шение (скачок) после обхода контура 7, Предположим, что все решения невозмушенной системы (1.2) однозначны на плоскости С = i . Тогда теорема Пуанкаре позволяет эффективно исследовать задачу о ветвлении решений системы (1.2) при малых ненулевых значениях параметра е. Все сводится к вычислению интегралов вида (1.4) по замкнутым контурам. В приложениях подынтегральные функции обычно являются мероморфными. Поэтому, согласно теореме Коши, задача о ветвлении решений сводится, по сушеству, к вопросу о наличии полюсов с ненулевыми вычетами, [c.330]

Если тело динамически симметрично, то /, д, h — целые функции, поэтому теорема 1 непосредственно не применима. Однако если среди главных моментов инерции нет равных, то функции f, д и h — эллиптические с простыми полюсами. Следовательно, в случае несимметричного тяжелого твердого тела ветвление решений в плоскости комплексного времени при малых значениях параметра Пуанкаре приводит к несуществованию дополнительных однозначных интегралов. Этот результат, полученный впервые в [79], дает положительный ответ в задаче Пенлеве — Голубева. [c.333]

Используя ветвление решений, можно установить отсутствие однозначных аналитических интегралов при малых, но фиксированных значениях параметра е ф 0. Приведем один из результатов в этом направлении, принадлежащий С. Л. Зиглину [63]. [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...