Периодические вблизи решений Лагранжа

Подобным же образом можно рассмотреть периодические решения вблизи прямолинейных решений. В этом случае опять получается семейство эллиптических решений Лагранжа, которые лежат вблизи круговых и соответствуют паре собственных значений г, —г. Остальные собственные значения получаются из корней Л , Х квадратного уравнения [c.163]

Применим сформулированную в 14 теорему существования к задаче трех тел на плоскости и докажем существование периодических решений вблизи круговых решений Лагранжа. При этом мы будем использовать обозначения 12, в которых д2к-1, 42к к = 1, 2, 3) будут координатами трех материальных точек в неподвижной плоскости. Урав-пепия движения запишем в форме Гамильтона [c.154]

Следовательно, но теореме существования 14 корням Аз = г, Ае = —i соответствует однонараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный 2тг. Но эти решения уже известны они бьши найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце 12, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей г>4 существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период т. Если положить с = os t — И4), 3 = 81п(4 — М4), то из уравнений (12 3), (12 4), (9) и (24) получается [c.162]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...