Лагранжа волновое

Ряд задач и вопросов посвящен основному расчетному соотношению теории неустановившегося обтекания, связывающему между собой параметры возмущенного течения (скорость, давление, плотность) и потенциальную функцию интеграл Коши — Лагранжа), которое обычно рассматривается применительно либо к случаю движения газа (сжимаемый поток), либо к потоку несжимаемой жидкости. Для нахождения входящей в это соотношение потенциальной функции следует воспользоваться волновым уравнением. [c.242]

Мы предполагаем, что, кроме сохранения количества движения, имеет место и сохранение обобщенного волнового момента количества движения. Можно показать, что для этого требуется симметричность тензора Tщv. Это является обобщением результата, полученного в гл. IX, и обычно считается, что поле удовлетворяет данному условию. Во многих случаях сама форма, в которой берется плотность функции Лагранжа, приводит к тензору, который уже симметричен. В других случаях тензор оказывается несимметричным, но это всегда можно исправить путем дополнительного определения, состоящего в прибавлении к первоначальному тензору другого тензора [c.166]

Согласно уравнению (104) волновое уравнение движения в системе координат Лагранжа для идеальной среды имеет вид [c.57]

Это уравнение совпадает с уравнением колебаний струны, оно указывает на волновой характер изменения величины т), и из него сразу, по аналогии со Струной, получается формула Лагранжа для скорости с распространения волн [c.272]

К сожалению, для системы с кулоновским взаимодействием ряд теории возмущений для массового оператора T> p izi,) содержит расходящиеся члены, поскольку функция 52(к) сингулярна в пределе к 0. Поэтому необходимо выполнить суммирование бесконечной последовательности членов этого ряда, соответствующих вкладу корреляций с малыми волновыми векторами. Аналогичная проблема возникает и в теории равновесных систем с кулоновским взаимодействием [64, 107], где множитель Лагранжа 2(к) дается второй формулой в (6.1.65). Эта аналогия между рассматриваемой задачей и задачей о вычислении равновесного массового оператора позволяет воспользоваться приемом, хорошо известным в теории кулоновской плазмы. [c.26]

Способ Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например волновых движений. [c.57]

Основное уравнение. Поскольку волновые движения являются безвихревыми, т. е. потенциальными, постольку можно воспользоваться интегралом Лагранжа [c.301]

Это — формула Лагранжа для волновой скорости, она является предельной для волн в водоемах малой глубины, [c.336]

Систему уравнений для параметров, определяющих волновую функцию (в форме уравнений Эйлера-Лагранжа), можно получить из условия стационарности функционала [81 [c.59]

Для обсуждения экспериментов с ударными волнами достаточно рассмотреть одномерное движение вещества, так как именно в этой наиболее простой для анализа постановке проводится большинство измерений. Так как регистрация кинематических параметров ударно-волнового процесса в конденсированной среде осуществляется, как правило, для выделенных материальных сечений образца, анализ волновых процессов удобно вести в субстанциональных координатах Лагранжа, связанных с веществом. Будем использовать в качестве лагранжевой координаты к пространственную координату х частицы в начальный момент времени [c.13]

В работе [5] приводится формализм, свободный от недостатков работ [14—17], позволяющий провести описание деформации моно-и поликристалла, а также среды с фазовым превращением. Поля дефектов (механические поля), возникающие при пластической деформации монокристалла, вводятся обобщением классической теории упругости, как и континуальная теория дефектов. Но в отличие от последней, где используются интуитивные геометрические представления, в [5] применен строго обоснованный Лагранжев формализм. Исходным является лагранжиан, вариация которого приводит к волновым уравнениям классической теории упругости. [c.10]

С—продольная скорость упругих волн, — О при а р. Уравне-ния Эйлера, полученные вариацией лагранжиана (2.48)—волновые уравнения теории упругости. Они не изменятся, если лагранжиан выбрать в ином виде [c.33]

В работе А. Н. Крайко (1964) постановка вариационных задач обобщена на равновесные и неравновесные течения газа с произвольными термодинамическими свойствами. В этой же работе Крайко ввел в рассмотрение разрывные множители Лагранжа, установил, что линиями разрыва для них могут быть только характеристики уравнений газодинамики, и вывел условия для разрывов. А. Н. Крайко (1964) и В. М. Борисов (1965) в работе о системе тел с минимальным волновым сопротивлением привели примеры задач, в которых возникают разрывные множители Лагранжа. [c.180]

О. к. пользуются при решении многих задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на ее движение. При этом значительно уменьшается число ур-ний, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с ур-ниями в декартовых координатах (см. Лагранжа уравнения механики). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, поля) О. к. являются особые ф-ции пространств, координат и времени, наз. потенциалами, волновыми функциями и т. п. при это.м оказывается возможным характеризовать движение таких систем с помощью функции Лагранжа, зависящей определенным образом от выбранных О. к. [c.461]

Для применения теории к исследованию периодических волн иногда бывает удобно взять интеграл (56) по одному периоду и по одной длине волны. Можно показать, что в этом случае вариационный принцип продолжает оставаться справедливым, если на вариации просто наложить требование быть периодическими с этими же периодом и длиной волны. Таким образом, из всех волновых движений с данными периодом и длиной волны в действительности осуп ествляется движение с таким волновым профилем, для которого интеграл (56), взятый но длине волны, стационарен. Это то же самое, что сказать средняя плотность лагранжиана X (усреднение проводится по длине волны) стационарна. [c.548]

Она является скоростью изменения плотности лагранжиана с частотой при постоянном волновом числе. Когда величина (60) вычисляется с использованием выражения (59) для X, нет необходимости учитывать малые изменения волнового профиля /п (а), которые сопровождают малые изменения со, так как X стационарна по отношению к любым малым возмущениям волнового профиля Таким образом, мы можем вычислить величину (60) для фиксированной (а) но формуле [c.549]

Эта формула показывает, что для всех частиц жидкости, обладающих одним и тем же Р, притом каким угодно, давление р имеет постоянное, не зависящее от времени значение. Следовательно, удаляя из всей жидкости слой, для частиц которого вторая координата Лагранжа превосходит выбранное значение Р, мы будем иметь волновое движение, причем поверхность волны будет определяться формулами (2) с заменою Р этим выбранным его значением. [c.40]

Это есть уравнение открытой поверхности решая его относительно с, получаем уравнение волновой поверхности, записанное в координатах Лагранжа [c.692]

Решение, полученное в этом пункте с помощью метода многих масштабов, является другим представлением решения, полученного в п. 5.8.1 с помощью усреднения лагранжиана. В самом деле, уравнения, описывающие изменение амплитуды и волнового числа, имеют в точности тот же вид. Однако в п. 5.8.1 фаза отсутствовала, зато дисперсионное соотношение (5.8.9) зависело от амплитуды. В данном пункте дисперсионное соотношение ие зависит от амплитуды, во решение задает изменение фазы. Чтобы показать эквивалентность этих представлений, разложим вели- [c.321]

Одной из подходящих систем для этой цели являются, по-видимому, волны постоянного направления на глубокой воде (см. 2). Согласно теории Уизема, их распространение определяется зависимостью плотности лагранжиана от частоты (О и волнового числа к. На самом деле выражение = к 1рё (где р — плотность жидкости) оказывается функцией одной только комбинации 2 = (il gk. Путем интерполяции между известными значениями для низких волн (г->1) и волн наибольшей высоты г — 1,20) было найдено ( 4) приближенное полиномиальное выражение [c.43]

Для периодических волн плотность лагранжиана 2 (т. е. лагранжиан в расчете на единицу площади горизонтальной проекции в случае волн на глубокой воде) является функцией волнового числа к и некоторым образом определенной амплитуды а. Однако частота со будет также известна, если мы знаем волновое число к и амплитуду а. Поэтому можно исключить а из этих двух соотношений и рассматривать 3 как функцию со и к, т. е. [c.48]

В этой статье мы в дальнейшем не будем придерживаться данного способа вычислений. Он должен служить лишь для предварительной ориентировки при установлении внешней связи волнового уравнения с у. Г. Функция у> в действительности не находится в таком соотношении с функцией действия рассматривасмо10 движения, как это следует из фор щлы (2) первого сообщения. Напротив, связь между волновым уравнением и вариационной задачей очень проста-, подынтегральное выражение стационарного интеграла представляет собой функцию Лагранжа волнового процесса. [c.679]

Это унифицирующее свойство вариационного принципа понстине замечательно. Хотя современная физика существенно отошла в своем развитии от старого курса вследствие появления теории относительности и квантовой теории, тем не менее идея о получении основных уравнений природы из вариационных принцииов сохранилась. И уравнения теории относительности, и уравнения волновой механики получаются, подобно более старым уравнениям физики, из принципа наименьшего действия . Только функцию Лагранжа L определяют по-разному. [c.140]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная — волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения — как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущен и1. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход 2s-Mepnoe (р, (7)-простраиство в статистической механике называется фазовым пространством. [c.126]

В отличие от Эйлера, к-рый характеризовал движение жидкости, рассматривая изменение скоростей, давлений и др. параметров в фнксир. точках пространства, занятого жидкостью, т. е. определял поля этих параметров, Лагранж предложил изучать движение жидкости, наблгодая за траекториями индивидуальных частиц и определяя их координаты в зависимости от времени (см. Лагранжа уравнения в гидромеханике). Практич. значение приобрели разработанные в 19 в. теория волновых движений жидкости и теория звуковых волн (см. Акустика). [c.463]

Если участок горизонтальной поверхности жидкости подвергается малому отклонению от равновесия, то под действием восстанавливающих сил (массовых и поверхностного натяжения) этот участок приходит в движение, проходит состояние равновесия, снова попадает под действие восстанавливающих сил, таким образом, возникает волновое движение жидкости. Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что жидкость идеальная несжимаемая, а движение ее потенциальное. Для таких волновых движений справедливо уравнение Лапласа (1.72), а поле давлений описывается интегралом Лагранжа — Кощи (1.39). Если плоскость хОу совпадает с горизонтальной поверхностью жидкости, а ось z направлена вертикально вверх, то волновая поверхность может быть представлена уравнением [c.85]

Выпигпем волновое уравнение, интеграл Когни-Лагранжа и краевое условие на теле, которые понадобятся для построения равномерно пригодного регнения в окрестности передних кромок тела [c.661]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

Уравнение (9.16) —классическое волновое уравнение. Величина йа — скорость распространения звука в покоящемся газе. Найдя Ф из решения (9.16), определим скорость v = gradф. Определим давление, используя интеграл Лагранжа [c.124]

Первые исследования, связанные с приближенной теорией длинных волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежат Лагранжу и относятся к 1781 г. имя Лагранжа носит основное дифференциальное уравнение распространения волн и первая формула скорости их распространения. Классическим мемуаром, содержащим строгую гсорию волн малой амплитуды, является появившийся в ]815 г. мемуар Коши. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн малой амплитуды, мы находим имена Лапласа, Пуассона, Эри, Стокса. Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления дал Митчелл и, независимо от него. нескол1>ко позднее — Н. Гг. Жуковский. [c.26]

Мильтона — Якоби (9.71), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона — Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. 9.5). КрОхМ е того, при рассмотрении уравнения Гамильтона — Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений. [c.407]

Теория волнового движения развивалась главным образом в связи с вопросами качки, сопротивления корабля на волнении, а также теории приливных волн в каналах и реках. Первые исследования, связанные с приближенной теорией длинных волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежали еще Лагранжу и относились к 1781 г. имя Лагранжа носят основное дифференциальное уравнение распространения волн и формула скорости их распространения. Классическим мемуа-ром, содержащим строгую теорию волн малой амплитуды, служит появившийся в 1815 г. мемуар Кошн. Среди лиц, способствовавших развитию теории воли малой амплитуды, находим имена Лапласа, Пуассона, Остроградского, Эри, Стокса, Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления несколько схематизированной судовой формы дал Митчелл и независимо от него И. Е. Жуковский. [c.25]

Первая попытка дать теоретическое представление о структурном механизме волнового движения и его математический анализ была предпринята Ньютоном (1687 г.). Согласно сделанным им предположениям при распространении волн частицы жидкости совершают, как в сообщающихся сосудах, лишь вертикальные колебания с периодом, длина которого равна половине длины волны. Ошибочность такой упрощенной трактовки особого вида движения была ясна уже в то время. Однака прошло почти 100 лет, прежде чем Лаплас (1776 г.) пришел к выводу, что при волновом движении частицы жидкости перемещаются по эллиптическим орбитам, радиусы которых убывают по глубине, так что у дна траектории частиц становятся горизонтальными. Несколько позже (1781 г.) Лагранж впервые решил задачу о прогрессивной волне, создав представление о горизонтальном переносе масс воды при действительном поступательном перемещении только волновой формы. [c.514]

Оптическую длину пути 1.1/1ЛП, входящую в выражение для [N7], такж моллю вычислить с помощью заданных величии. Применяя инвариантное соотношение Лагранжа (3.3.1) к линии, образованной отрезком OЛi оси У, отрезком MN луча и кривой N0 на волновом фронте W, получим [c.192]

Сразу видно, что в основном состоянии выступают только куперовские пары (k, —k ). м —вероятность того, что два состояния с противоположными л II о не заняты, к —что они заняты. Если в (83.19) произвести умножение, то появятся члены с различным числом операторов рождения пар. Таким образом, (83.19) не есть состояние с определенным числом частиц. Мы можем, однако, рассматривать (83.19) как выражение для волновой функции, определяя и и v нз условий варьирования, требуя минимума энергии. Так первоначально действовали Бардин, Купер и Шри-фер. Таким образом можно получить результаты, выведенные выше другим способом. Вариацию надо провести при фиксированном числе частиц. Мы должны, следовательно, в качестве дополнительного условия потребовать N — on.st. Это может быть выполнено посредством дополнения до варьирования к оператору Гамильтона члена —jiiV. Множитель Лагранжа А, окажется равным химическому потенциалу, т. е. энергии Ферми Ер. В этом истинная причина, почему мы перед (83.5) перешли от Я к Нтел-Полученные пока результаты привели только к понижению энергии основного состояния. То, что с этим явлением связана сверхпроводимость, обнаруживается лишь прн рассмотрении возбужденных состояний. Это NUJ II пыполним в следующем параграфе. [c.327]

Лишь решение со знаком + приводит к тому, что величина Ьц стремится к нулю при больших eft, и поэтому именно оно имеет физический смысл. Заметим, что v есть вероятность найти электрон в состоянии с волновым вектором к. Из соотношений (5.65) и (5.66) мы видим, что эта вероятность ведет себя так, как показано на фиг. 153, а. Для нормального состояния при абсолютном нуле эта вероятность описывается просто ступенчатой функцией, представленной на фиг. 153, б. Огсюда ясно, что множитель Лагранжа ц равен энергии Ферми. Мы будем и дальше использовать букву ц для обозначения энергии Ферми при конечной температуре, а не букву I, употребляемую в этом случае для нормального металла. Так принято, поскольку в теории сверхпроводимости символ 5 зарезервирован для обозначения длины когерентности, которая вскоре будет нами определена. [c.567]

Задача о вынужденных стоячих колебаниях конечно) амплитуды трз бы, открытой с одного конца, решалась в [14] методом последовательных приближений в переменных Лагранжа. Если Ца, 1) — смещение поршня, р — невозмущенная плотность среды, р а, 1) и р (а, 1) — плотность и давление, то для адиабатического распространения звука р=ра(р1раУ И волновов уравнение в переменных Лагранжа будет, согласно (1.1.8) и (1.1.9), [c.95]

В предыдущих главах мы пренебрегали влиянием аберраций на качество изображения при этом возможности оптических приборов ограничиваются либо волновой природой света, которая ста-, вит пределы увеличению оптичесмих систем, лйбо общими законами оптики, как закон Лагранжа —Гельмгольца, -делающий невозможными произвольные изменения структуры пучков н, в частности, обрекающий на неудачу все попытки сжигать предметы на больших расстояниях. [c.87]

Приравнивая давление р постоянной величине, не зависящей ни от времени, ни от координат а, 6, получим соотношение между неременными а, 6, с и ряд уравнений для определения неизвестных коэффициентов Указанное соотношение и будет уравнением свободной волновой поверхности в переменных Лагранжа. [c.687]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...