Метод многих масштабов

Решение линейного сингулярно-возмущенного уравнения на основе методов внешних и внутренних разложений, сращивания или метода многих масштабов существенно сложнее изложенного здесь подхода. [c.336]

В основе изложенной в настоящем параграфе теории уширения спектра и развитого в [23] подхода, лежит метод медленно меняющихся амплитуд. Ясно, что результаты такой теории неприменимы, когда длительность импульса составляет несколько периодов несущей частоты. В этом случае необходимо решать непосредственно уравнение (2.2.1). Заметим, что в [24] это уравнение решено методом многих масштабов и получено как изменение формы огибающей импульса, так и асимметричное уширение спектра. [c.85]

Боголюбовым, Кирквудом и другими авторами предложены общие методы, позволяющие получить из уравнения Лиувилля не только уравнение Больцмана, учитывающее лишь парные столкновения, но более общие уравнения, учитывающие тройные и множественные Столкновения молекул. Эти методы служат основой для построения уравнений, описывающих плотные газы и жидкости. Следующее ниже изложение опирается на идеи работы Н, Н, Боголюбова. Мы также используем формализм метода многих масштабов З). [c.45]

Опишем принципиальную схему вывода амплитудного уравнения, основанного на применении метода многих масштабов, для случая невырожденной колебательной неустойчивости. Для краткости представим уравнения (33.2) в матричной форме [c.231]

Вторичные течения в припороговой области характеризуются наличием сильно различающихся временных и пространственных масштабов. Так, характерное время нарастания колебательных возмущений, вызывающих неустойчивость основного течения (это время определяется вещественной частью инкремента), велико по сравнению с периодом колебаний, а также с характерными временами затухания других мод. Пространственный масштаб огибающей волнового пакета, составленного из возмущений с волновыми числами в узком интервале неустойчивости, много больше длины волны критического возмущения. Это обстоятельство позволяет применить метод многих масштабов. Именно, будем считать, что функции зависят от набора аргументов 2/ = 6 2, Г/ = 6 Г, / = О, 1> 2,.. . При этом в выражениях для дифференциальных операторов производится замена [c.232]

Асимптотическое решение системы (27) можно построить с помощью метода многих масштабов , согласно которому система (27) заменяется системой дифференциальных уравнений в частных производных ([8], С. 43-52). Указанное [c.561]

Ограничившись в силу сказанного большими к, будем действовать далее, как в [3], привлекая в необходимых случаях метод многих масштабов [6]. На этом пути прежде всего удается установить, что в главных порядках но 1/к правые части (1.8) для v , s vl e g содержат по одному слагаемому с ограниченными при к оо амплитудами и с X = u t) для v и s и с Л = Us t) для и e g. Согласно (1.9) и определению Xj [c.489]

Воспользуемся методом многих масштабов [30 д д. д. 2 д [c.27]

Для исследования системы (1.4.50)-(1.4.51) удобно, как и ранее, использовать метод многих масштабов [30]. В соответствии с этим методом вводится иерархия времен, так что производная по времени представляется в виде ряда [c.61]

В соответствии с основной идеей метода многих масштабов введем иерархию горизонтальных координат [c.124]

Осреднение уравнений и граничных условий при выполнении условий (4.1.7) можно провести с использованием метода многих масштабов [2], т. е. вводя иерархию времен и представляя производную по времени, поля скоростей, давлений и функцию Е в виде рядов по малому параметру, в качестве которого может быть выбрана величина, обратная характерной частоте вибраций [c.160]

Выше, в гл. 2, осреднение задачи (5.1.7), (5.1.8), (5.1.11)-(5.1.15) проводилось методом многих масштабов [7] в предположениях (5.1.2), [c.194]

Выберем локальную систему отсчета, связанную с малым участком поверхности, который можно считать плоским. Направим ось 2 локальной системы координат перпендикулярно поверхности раздела из среды 2 в среду 1, совместив плоскость г = О с поверхностью раздела. В соответствии с основной идеей метода многих масштабов представим производные поперек слоя и по времени в виде сумм [c.196]

Метод многих масштабов [c.132]

Рассмотренные две задачи ранее решались различными методами — осреднением по Крылову-Боголюбову и сращиванием. В методе многих масштабов возможности обоих объединены идет слияние частных методов в более общие. [c.134]

Пространственная устойчивость двумерного пограничного слоя на плоской пластине исследуется в [179] на основе метода многих масштабов, который приводит к неоднородному уравнению Орра-Зоммерфельда вследствие эффектов непараллельности. Модификация классического метода Гейзенберга [180] предложена в [181] с целью построения равномерно пригодного решения уравнения Орра-Зоммерфельда. В [182] приведены результаты измерений полей возмущений в пограничном слое на плоской пластине, дающие информацию о существенном влиянии непараллельности течения на его устойчивость. [c.13]

В ранних работах [183, 184] развита формальная схема разложения решений уравнений Навье-Стокса в ряды, справедливая при достаточной близости к нейтральной кривой линейной теории. Позднее в [185] для чисел Рейнольдса, превышающих критическое значение на малую величину, методом многих масштабов выведено нелинейное амплитудное уравнение параболического типа, обобщающее уравнение из [183, 184] на случай пространственных вариаций амплитуд возмущений в течении Пуазейля и описывающее систему волн, распространяющихся с некоторой групповой скоростью. Цитированная выше работа [178] касается существенно более сложного вопроса о нелинейных возмущениях из окрестности нижней ветви нейтральной кривой для пограничного слоя с учетом нарастания его толщины (непараллельности основного потока). [c.13]

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. [c.8]

Эти уравнения согласуются с уравнениями, полученными в пункте 6.2.9 с помощью метода многих масштабов. [c.238]

Существуют три разновидности метода многих масштабов. Мы дадим их описание на примере линейного демпфируемого осциллятора [c.245]

Гл. 6. Метод многих масштабов [c.246]

Метод многих масштабов столь популярен, что его заново открывают почти каждые полгода. Он применялся к широкому кругу задач физики, техники и прикладной математики. [c.249]

В оставшейся части этого параграфа мы опишем три разновидности метода многих масштабов и рассмотрим их применение [c.253]

Уравнение (1.1.1) получено для возмущений типа двумерного волнового пакета (1.1.2), исходя из метода многих масштабов идеи Мандельштама - представление суммы гармонических волн в виде квазимонохроматической волны. Это позволило учесть растущие и взаимодействующие возмущения на разных масштабах. При определенных упрощениях ОНПУ приводится к уравнению Гинзбурга-Ландау, а для консервативных сисч вм физики плазмы и гидродинамики идеальной жидкости - к нелинейному уравнению Шредингера. Уравнение, подобное (1.1.1), широко применяется для исследования различных гидродинамических (9-131, физических [14] и химических процессов [6-8, 11]. [c.11]

В обеих ситуациях при малых надкритичностях интервал неустойчивости по волновому числу узок, а инкремент нарастания мал, что позволяет применить метод многих масштабов и вывести а1УШЛитудное уравнение. При невырожденной неустойчивости основного движения аналогом представления (33.15) является I7 , где имеет тот же смысл, что и в п. 2 — собственная функция линейной задачи при /с = О, Gr = Gr - вещественные функции медленных переменных. [c.238]

Начнем со случая, когда критерий устойчивости os (tp — ф) > О сла нарушен, т.е. р - ф по модулю близко к тг/2. Интервал волновых чисел К, в котором проявляется модуляционная неустойчивость для вторичных движений с малыми Ко, узок, а инкремент мал,так что естественно применить метод многих масштабов. Считая для определенности (/ > О, i/ < О (противоположный случай может быть рассмотрен аналогично), пол)Л1аем уравнение для отклонения Q локального волнового числа от волнового числа Ко основного движения. Это уравнение в надлежащей системе отсчета имеет вид [c.248]

При X О главный член асимптотики может быть найден методами Лиувилля—Грина или ВКБ [61, 65]. Тот же результат получается и методом многих масштабов. Только в этом случае масштабы нетривиальны, напрашивающееся Т = (,Т1 = т не подходит. [c.134]

Трехмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости решаются численно в [146] с применением спектральных разложений Фурье-Чебышева с целью исследования нелинейной эволюции вихрей Тейлора-Гертлера в двумерных пограничных слоях и взаимодействия с ними волн Толлмина-Шлихтинга. Отмечается качественное согласование с результатами [147], полученными с помощью метода многих масштабов и теории Флоке. В случае трехмерного невозмущенного [c.10]

Для построения эффективных средД могут быть применены и другие подходы, например, вариационный [30,5, гл. 4] или асимптотический метод многих масштабов [28]. Эти математиически более сложные подходы применимы не только для слоистой, но и I в более общем случае трехмерной периодической среды. Соответствующу 1ие процедуры осреднения описаны в книгах [28, 30]. При их помощи удас ется также построить эффективные среды для систем, где имеют место отклонения от строгой периодичности [143], [28, гл. 3]. [c.161]

При попытке применить метод Латты и нелинейным задачам могут возникнуть осложнения. Кроме того, могут возникнуть трудности, если для описания поведения рассматриваемой функции во внутренней области необходимо использовать большое число специальных функций. Несмотря на эти ограничения, этот метод является отправной точкой для развития метода многих масштабов, описанного в гл. 6. [c.168]

В общей физике Кои и Пейн [1967] использовали сочетание метода многих масштабов и метода сращивания асимптотических разложений для решения уравнения Фоккера—Планка, которое описывает реакцию самовозбуждающихся осцилляторов на случайные возбуждения. Браун [1967] разработал стохастическую теорию диссоциации и рекомбинации двухатомных молекул. Рамнат [1970а] получил приближение к модели Томаса —Ферми в атомной физике и рассмотрел класс нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в астрофизике [1971]. Мейер [1971] исследовал рэлеевское рассеяние лазерного луча на тяжелом релятивистском атоме с двумя уровнями энергии Нинхус [1970] изучал броуновское движение с вращательной степенью свободы. [c.253]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...