Плотность функции Лагранжа

Таким образом, оказывается, что функцию Лагранжа, относящуюся ко всей данной системе, можно рассматривать как интеграл от другой функции. Эту последнюю функцию называют плотностью функции Лагранжа. [c.119]

Так как постулируется, что вторые производные не должны входить в плотность функции Лагранжа, то [c.121]

Этот метод развивается почти так же, как и для случая системы отдельных точек получаются результаты такого же вида, как и ранее, за исключением того, что используется плотность функции Лагранжа и вместо обычных частных производных применяются функциональные производные. [c.122]

Напомним, что плотность функции Лагранжа, удобная для описания свойств одномерного упругого тела, имела вид [c.128]

Данный метод был изложен применительно к простой материальной системе., однако оказывается, что его можно применить и к целому классу более сложных систем ). Таким путем можно вывести общие уравнения распространения упругих волн в изотропном твердом теле, взяв плотность функции Лагранжа в виде [c.134]

Общее положение в теории поля несколько отличается от того, какое имеет место в теории непрерывных материальных сред. Обычно поведение систем последнего типа достаточно хорошо понятно в своих основных чертах, и аналитический метод применяется для упрощения способа записи уравнений движения в форме, удобной для решения конкретных задач. В теории поля предварительные сведения об основных свойствах процесса обычно отсутствуют, и аналитический метод применяется как исходный пункт теоретического описания. Рассмотрение различных простейших видов плотности функции Лагранжа позволяет надеяться на успешное объяснение некоторых наблюдаемых явлений. Аналитический метод является эмпирическим в той же степени, что и метод, при котором делаются непосредственные предположения относительно формы уравнений поля, но при его использовании область возможностей значительно сужена. [c.153]

В любой теории поля тип переменных поля всегда определяется значениями спина соответствующих частиц. В любом частном случае это снова сужает область возможных форм плотности функции Лагранжа. Некоторое внимание было уделено полям с частицами, имеющими спины, отличные от О, /2 и 1, но наиболее важными являются поля, рассмотренные выше. При построении плотности функции Лагранжа обычно ограничиваются рассмотрением функций, которые содержат различные переменные поля не выше чем во второй степени. Это согласуется с тем, что в обычной практике уравнения поля являются дифференциальными уравнениями самое большее второго порядка. [c.157]

Чтобы описание включало в себя взаимодействие, предположим, что два взаимодействующих поля А и В можно описать с помощью плотности функции Лагранжа вида [c.158]

Пусть А является скалярным полем с одной переменной ф, свойства которого можно вывести из плотности функции Лагранжа [c.158]

Предполагая, что имеет место изображаемая функцией (11.11а) градиентная связь, представим плотность функции Лагранжа в следующем виде [c.159]

Плотность функции Лагранжа, представляющая все свойства любого данного поля, всегда определяется с точностью до аддитивной дивергенции четырехмерной вектор-функции от различных переменных поля. [c.163]

Первоначально энергия была определена в связи с изучением систем обычных материальных частиц поэтому этот термин не имеет смысла, если только его нельзя будет снова отнести к таким системам. С логической точки зрения отсюда следует, что нельзя ссылаться на энергию поля, пока не будет учтено взаимодействие между рассматриваемым полем и полем, связанным с обычной материей. В сущности речь идет о том же соотношении, которое было установлено в предыдущем разделе, где было найдено значение произвольной постоянной, входящей в плотность функции Лагранжа для электромагнитного поля. [c.164]

Мы предполагаем, что, кроме сохранения количества движения, имеет место и сохранение обобщенного волнового момента количества движения. Можно показать, что для этого требуется симметричность тензора Tщv. Это является обобщением результата, полученного в гл. IX, и обычно считается, что поле удовлетворяет данному условию. Во многих случаях сама форма, в которой берется плотность функции Лагранжа, приводит к тензору, который уже симметричен. В других случаях тензор оказывается несимметричным, но это всегда можно исправить путем дополнительного определения, состоящего в прибавлении к первоначальному тензору другого тензора [c.166]

Плотность функции Лагранжа для струны (см. 1.2) имеет вид [c.22]

Таким образом, линейная (погонная) плотность функции Лагранжа будет иметь вид [c.28]

Рассмотрим излучение волн в одномерной упругой системе равномерно движущейся нагрузкой. Пусть слева и справа от нее система однородна и характеризуется соответствующими плотностями функций Лагранжа ), нагрузка определяется функцией Лагранжа = (t q q T f ), где м(х, t) - смещение, q(t) - значение u(xj) при x=Vt, Т ( ) - обобщенная координата, определяющая собственную степень свободы нагрузки. Для отыскания функций и(Ху t), q(t)HT (t) получаем следующую систему уравнений (см. п.1) [23,2.9] [c.62]

Чтобы провести квантование такого поля, рассмотрим плотность функции Лагранжа [c.67]

Итак, плотность функции Лагранжа для поля поляризации кристалла, взаимодействующего с электромагнитным полем, согласно (13.17) и (13.16) определяется выражением [c.70]

Плотность функции Лагранжа электромагнитного поля и поперечной поляризации равна сумме (13.1) и (13.18), т. е. [c.70]

Здесь — плотность функции Лагранжа [c.75]

В общем случае, плотность функции Лагранжа зависит от времени t, позиционных координат х , переменных поля и их производных по независимым переменным [c.75]

Рассмотрим вытекающие из условия (3.38) уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной задачи. Предположим, что плотность функции Лагранжа выражается равенством (3.40). На основании (3.38) и (3.40) находим [c.77]

Теперь произведем сравнение полученных здесь уравнений движения и уравнений (2.75). Это позволит указать связь тензора кинетических напряжений и плотности функции Лагранжа. [c.77]

Новая форма уравнений движения элемента сплошной среды и выражение компонент тензора кинетических напряжений через плотность функции Лагранжа [c.77]

Возвратимся к выражению (3.40) плотности функции Лагранжа Известно, что частные производные связаны с компонентами тензора деформаций формулами Коши. [c.80]

Чтобы получить полную систему уравнений, аналогичных каноническим, надо исключить из плотности функции Лагранжа и ее производных производные выполнив это аналогично исключению и в предыдущем случае. Результат исключения будем обозначать так [c.94]

Воспользуемся выражением плотности функции Лагранжа для упругого стержня, приведенным в книге Лича [78] [c.107]

Последнее равенство может быть изменено, так как плотность функции Лагранжа определена с точностью до аддитивной постоян- [c.108]

Используя соотношения (5.109), (5.119) — (5.121), записываем плотность функции Лагранжа в случае воздействия температурного поля на упругую среду при конечной скорости распространения тепла [c.150]

Функция Лагранжа L = L q, , t) представляет собою функцию времени и функционал от возможных траекторий д (1) частиц системы. По аналогии можно предположить, что функция Лагранжа для поля является функционалом от амплитуды у(г, ). Обычно ее представляют в виде интеграла от плотности лагранжиана, взятого по всему пространству [c.856]

Физический смысл различия между плотностью действия в исходных выражениях (8), (9) и функцией Лагранжа как плотностью действия по Гамильтону состоит в следующем разные знаки соответствуют противоположным тенденциям влияния движения на изменение действия отброшенные слагаемые, степень малости которых выше, чем /( , отражают эффекты, игнорируемые в классической механике наличие постоянного слагаемого представляет интерес в проблеме квантования и применения принципов в задачах на равновесие. [c.59]

В вышепроведенных рассуждениях предполагалось, что все переменные, входящие в плотность функции Лагранжа взаимодействия, относятся к одной и той же точке поля, или, иначе говоря, что взаимодействие является локальным. Однако эти соображения можно расширить с тем, чтобы охватить более общий вид уже нелокального взаимодейст-, ВИЯ. Все эти обобщения требуют внимательного исследования, так как, несмотря на достигнутые теоретические успехи, пока что получено сравнительно мало результатов. Простые теории привлекательны, но нет логических оснований предполагать, что все явления можно описать с помощью простых функций Лагранжа. [c.160]

Для изгибных и одномодовых колебаний стержней (см., например, 1.2.3 и 1.3) плотность функции Лагранжа будет зависеть от высших производных, в этом случае для получения естественных краевых условий на движущихся границах нужно рассмотреть задачу о нахождении необходимых условий экстремума функционала [1.5, 1.7 [c.25]

Заметим, что включение Уй в выражение плотности функции Лагранжа и определение четырехмерного объема равенством (3.41) влечет как следствие формальное превращение криволинейных координат х в квазидекартовы координаты. Поэтому плотность функции Лагранжа, определенную формулой (3.40), следует называть квазиплотностью. [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...