Лагранжа в вариациях

Система, начало, оси, задание, определение, нахождение, преобразование, дифференцирование, число, вариации, начальные возмущения, точечное преобразование. .. координат. С помощью, в качестве. .. координат. Понятие. .. о координатах. Зависимость, соотношения. .. между координатами. Принцип Лагранжа. .. в обобщённых координатах. Вектор. .. обобщённых координат. [c.32]

Можно заметить, что уравнения в вариациях (15) также можно получить в рамках мысли Лагранжа. Действительно. Если общее решение уравнений (14), зависящее от 2rt постоянных, подставить в уравнения (14), мы получим тождество, не зависящее от численных значений этих постоянных. Тождество это можно дифференцировать по постоянным. Дифференцируя один [c.282]

Функционал Рейсснера (15.116) получен из функционала Лагранжа, в котором отсутствует член, содержащий интеграл по 5 , поскольку функционал Лагранжа варьируется лишь по перемещениям, а вариация перемещений на 5 , где они заданы, равна нулю, вследствие чего указанный член в (и) не был существенным и был опущен. В принципе же Рейсснера варьирование выполняется и по напряжениям, поэтому на варьирование по а может быть выполнено. В приведенном выше функционале Рейсснера на варьирование по а не производилось, поскольку член с интегралом по не был использован. Если бы этот член был включен в функционал, то по а следовало бы варьировать и его. [c.524]

Величина а в знаменателе правой случай биения (е о. части в (17.144) (масса колеблющегося тела) появляется в процессе вывода уравнения согласно (17.115). Решение такого неоднородного дифференциального уравнения находим по известной схеме Лагранжа ) (метод вариации постоянных Лагранжа). Фундаментальная система однородного уравнения, соответствующего (17.144) имеет вид (17.100) [c.119]

Это уравнение, которое называют вариационным уравнением Лагранжа, в отличие от уравнения в вариациях (1.29) справедливо только для консервативных систем. Из уравнения Лагранжа следует, что в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение. Справедливо и обратное утверждение если полная потенциальная энергия имеет стационарное значение, то система находится в положении равновесия. [c.24]

Согласно принципу Лагранжа в положении. равновесия вариация потенциала системы 6П, равная потенциальной энергии 6U и взятой со знаком минус работе внешних сил ЬА, на возможных перемещениях равна нулю [c.71]

Особенности граничных условий, оговоренные в начале этого пункта, приводят к тому, что при использовании принципа Ж.Лагранжа допускаются вариации параметров напряженного состояния на участках 5, 5г , где соответственно V = 0 V = 0 V = 0. Однако, вследствие равенства нулю произведений 5o"-V 5x"-V 5p"-VP на этих участ- [c.184]

Лагранж в Аналитической механике рассматривает именно эту узкую форму принципа наименьшего действия. Однако указание на более широкую форму принципа содержится в его ранней работе где в 13 прямо указывается на то, что полученное Лагранжем в 8 этой статьи соотношение, тождественное с уравнением для изоэнергетической вариации, применимо в случае произвольных сил. Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь Гельмгольц рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа эквивалентны уравнению Даламбера и в силу этого являются следствиями друг друга. Тем не менее это не дает права отождествлять их, так как варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится совершенно различными способами. Оба эти принципа получаются из соотношений при различных специализациях общего способа варьирования. [c.221]

В соответствии с выбором множителей Лагранжа первая вариация (г = 1,..., ш = 2,..., п 8 = 1,..., п) [c.83]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Выполненная замена представляет собой метод вариации произвольных постоянных Лагранжа, в котором вновь вводимые переменные связываются дополнительным условием [c.163]

В изложенной постановке рассмотрены неравновесные двухмерные течения, причем получены необходимые условия экстремума. Показано, что разрыв первой производной функции, описывающей контур тела, обусловливает разрыв множителей Лагранжа в области влияния выведена условия на таких разрывах. Дан расчет первой вариации при варьировании положения точки излома контура тела. [c.244]

Мы рассмотрим сначала способ получения приближенного решения, наиболее привычный и удобный для астрономов, опирающийся на общий метод изменения (вариации) произвольных постоянных, основы которого были заложены еще Ньютоном в его знаменитом сочинении Математические начала натуральной философии и который был затем детально разработан Лагранжем в ряде замечательных мемуаров и в его Аналитической механике ). [c.568]

При рассмотрении минимума действия требуется некоторое дополнительное исследование, так как условие постоянства эиергии Т— и необходимо рассматривать как ограничение на вариации координат. Пусть Л — постоянная энергии. Тогда, следуя правилу Лагранжа в вариационном исчислении, положим [c.344]

Замечание. Теорема 8 не справедлива для классического варианта задачи Лагранжа, когда вариации а(ы) при всех значениях и точно удовлетворяют уравнениям связей. В этом случае уравнениями экстремалей являются уравнения (31) с подправленной функци ей Лагранжа 2 = ioL—hK,f где Яо —некоторая постоянная (которая может быть и нулем), причем среди множителей Яо, Яь..., Яш не все обращаются в нуль. В примере 8 постоянная Яо как раз равна нулю. [c.45]

Уравнения Лагранжа в виде (2.32) непосредственно следуют из условия (2.35), если множитель Лагранжа определить как Л = 1 и учесть произвольность вариаций 5аи- [c.46]

Если при этом существует функция Лагранжа (см. 94), то гамильтонова и лагранжева формы (21i) —(21г) 101 уравнений в вариациях обладают одними и теми же инвариантами группы монодромии. Действительно, переход от гамильтоновой к лагранжевой форме уравнений движения выполняется в силу изложенного в 6—8 с помощью преобразования, рассмотренного в 147. Если данное периодическое решение не представляет собой точку равновесия, то на основании сказанного в 148 можно гарантировать, что по крайней мере один, а следовательно, в силу 151 по крайней мере два из мультипликаторов si,. .., sjn равны 1. Таким образом, по крайней мере два из характеристических показателей 11,. . ., Xzn равны нулю. [c.135]

Однако прямой путь отыскания экстремума не всегда технически удобен. Чаще используют для этого метод неопределенных множителей Лагранжа, в котором все вариации [c.85]

МЫ поступим согласно процедуре, описанной в предыдущей главе, и получим уравнения Эйлера—Лагранжа, соответствующие вариациям каждой а, (х) (1 = 1,. . ., УУ). Это необходимо делать с учетом того, что коэффициенты а,- уже не просто скаляры. Поэтому они определяются из системы N уравнений [c.58]

Нетрудно убедиться в том, что (3.26) и (3.27) оказываются уравнениями Эйлера — Лагранжа, соответствующими вариации функционала [c.63]

Утверждение Лагранжа в дальнейшем мы увидим, что лто допущение обладает всей той общностью, какой только можно пожелать , относится, повидимому, к другой части вычисления, и.зложенной в пункте 34 и касающейся вопроса о вариации элемента поверхности dxdy. Действительно, в том случае, когда Sx зависит только от одной переменной х, а Sy — от одной переменной у, вариация прямоугольника вычисляется очень легко в данном случае упомянутый прямоугольник преобразуется в другой прямоугольник со сторонами dx + S dx и dy- -Sdy и, следовательно, его вариация получается непосредственно и составляет [c.138]

Теоремы взаимности. Мы можем применить главную функцию Гамильтона для вывода замечательных формул, связывающих два незначительных возмущения естественного движения системы. Если воспользоваться символами ЗиЛ для обозначения значений соответствующих вариаций в момент времени t, то теорема, данная Лагранжем в, Мёса-nique Analytique), выразится равенством [c.278]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченньш, вероятно, потому, что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум, как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего. [c.307]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Здесь Axfo и Ayfo - приращения координат точки /°, а при отсутствии торца, когда /° = /, - точки / 6х и б д - вариации, т.е. приращения X и 19 проварьированной и исходной образующей при фиксированной ординате у] И - известные функции х,у,р = р д) и множителей Лагранжа в соответствующих точках. Для тел без торца здесь и далее /° заменяется на /. [c.498]

Пусть I такая линия. При варьировании I область С разобьем на области ненрерывности множителей Лагранжа. В этих областях и на границах аЬ и (1Ь функции /Х1, 12, Мз, Р определяются но-нрежнему, т. е. выполняются уравнения (4.1) - (4.13). Пусть [(/ ] скачок (/ на I. Поскольку параметры течения и их вариации на I ненрерывны, то в выражении (3.1) появится дополнительный интеграл [c.530]

Здесь Ь - левая часть первого уравнения из (1.1) А множитель Лагранжа се = 0п/3 = 1в ЗР п се = 1, а /3 множитель Лагранжа в ИЗ. Коэффициент Сдг отвечает результирующей силе, действующей на вал в нанравлепип в = вх. В обеих задачах при допустимом варьировании вариации 7 и оптимизируемого функционала из (1.3) совпадают при любых ограниченных множителях [c.572]

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.15]

Это уравнение называется вариационным уравнением Лагранжа в нем с (о — дифференциал объема, dS — дифференциал поверхности, 67 — вариация потенциальной энергии деформации, соответствующая вариациям перемещений. Тройной интеграл берется по всему объему тела, а двойной (поверхностный) — по той части поверхности, где заданы усилия. Отсюда, преобразуя (11.5), приходим к выводу, что перемещения, имеющие место в действительном состоянии равновесия, отличаются от всех возможных тем, что они сообщают минимальное значение выражению (см. [17], стр. 141, или [18], стр. 314—317) [c.75]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Первое аналитическое развитие метода вариации произвольных постоянных было даио Эйлером в работах по изучению взаимных возмущении Юпитера и Сатурна, удостоенных премий Французской Академии наук в 1748 и 1752 гг. Разработка этого метода была продолжена Лагранжем в 1766 г. и завершена им в 1782 г. [c.266]

В начале этой главы был рассмотрен вопрос об устойчивости пяти точек Лагранжа в ограниченной задаче трех тел. Что будет с частицей, находящейся в точке Лагранжа, если ее координаты и скорости получат малые приращения Будет ли она колебаться около точки Лагранжа или быстро уйдет от нее Точку Лагранжа в этих случаях называют соответственно устойчивой или неустойчивой. Для того чтобы ответить на вопрос, устойчиво или неустойчиво решение Лагранжа, мы линеаризовывали уравнения в вариациях, решали их и анализировали корни характеристического детерминанта. [c.168]

Описанные вариации понадобятся нам для доказательства теоремы Нётер чтобы вывести уравнения Лагранжа — Эйлера, надо будет добавить в вариации формы (31.3) к членам, вызываемым параметрами С , еще и произвольные вариации б1ф , т. е. написать вместо (31.3) [c.195]

Выясним механический смысл векторов — неопределенны х множителей Лагранжа. В связи с введением Х1 и Х вектор и его вариация не ограничиваются уравнениями (5.25), (5.26) при нахождении стационарного значения (5.32). Это приводит к тому, что, во-первых, в тех узлах и по тем направлениям, где перемещения не заданы, действующие усилия не предполагаются уравновешенными, и, во-вторых, усилия не предполагаются уравновешенными на элементах. Величины неуравновешенных усилий характеризуются невязками в уравнениях (5.25) и (5.26). В результате в выражении (5.32) дополнительной Энергии, видоизмененном по сравнению с (5.31), появляются второй и третий члены. Они представляют собой работу указанных неуравновешенных усилий (невязок в уравнениях (5.25) и (5.26)) на соответствующих перемещениях. По смыслу этой работы [Х] есть вектор перемещений в узлах с нулевыми компонентами там, где перемещения заданы. Последнее обстоятельство обеспечивается матрицей Еь Вектор ЕДз является вектором обобщенных перемещений каждого элемента как твердого целого последовательно по всем элементам. Нулевые компоненты этого вектора отвечают нулевым строкам в Ел и соответствуют закреплениям элементов как жестких систем. Таким образом [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...