Разложение функций Случаи в бесконечные ряды

Будем считать, что точка лежит внутри поверхности. целиком находящейся внутри тела. В этом случае Г1 < г и справедливо разложение функции Грина в виде ряда (2.83). Рассмотрим уравнение (2.84) для акустически мягкого тела и представим неизвестную функцию др(г)1дп на поверхности в виде ряда (2.85). Подставив в уравнение (2.93) разложения (2.75), (2.83) и (2.85), получим соотношения (2.86), которые можно рассматривать как бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Хд. Решив численно эту систему, получим распределение колебательной скорости на поверхности, а затем по формулам (2.78), (2.79) [с учетом того, что р(г) 1 = 0] и поле в любой точке во внешней области. [c.92]

Разложение функции, определяющей поле акустического давления, в бесконечный ряд нормальных волн представляет собой очень полезный аналитический прием, особенно когда длина волны не мала по сравнению с глубиной воды. Обсуждение метода нормальных мод в этом разделе касается только очень простого и ограниченного случая (т. е. плоской волны, перпендикулярной к поверхности и дну моря с очень простыми граничными условиями). В общем случае для разложения функции по нормальным модам в качестве исходного соотношения используется волновое уравнение для трехмерной области поля с произвольными граничными условиями. [c.96]

В общем случае коэффициент сжимаемости является сложной функцией температуры и плотности (или давления) и может быть представлен в форме разложения в бесконечный ряд по степеням плотности [c.25]

Вообще всякую периодическую, но негармоническую функцию с частотой и можно разложить в спектр, т. е. представить в виде ряда гармонических функций с частотами со- 2о>,, 3(0i,. .. (вообще пщ, где п — номер гармоники), кратными основной частоте. Чем сильнее отличается от гармонической разлагаемая функция, тем богаче ее спектр, тем больше обертонов содержится в разложении и тем больше амплитуды этих обертонов. В общем случае спектр периодической функции содержит беско-. нечный ряд гармонических обертонов (т. е. имеющих частоты, кратные частоте основного тона), амплитуды которых, вообще говоря, убывают (но не всегда монотонно) с увеличением номера обертона. Чем более плавной является разлагаемая функция, тем быстрее убывают амплитуды обертонов. Хотя разложение периодической функции в гармонический ряд дает в общем случае бесконечный спектр, но вследствие того, что обертоны спектра обычно быстро убывают, практически приходится принимать во внимание наличие только некоторого конечного (и небольшого) числа обертонов. [c.617]

Поскольку получить точное аналитическое решение дифференциального уравнения (20.12) в общем случае невозможно, будем искать его в виде бесконечного ряда. Для пластины с шарнирно опертыми по всем четырем сторонам краями удобно использовать разложение искомой функции прогиба w(x,y) в двойной тригонометрический ряд по синусам [c.436]

Описанный способ решения является удобным по двум причинам. Во-первых, возможен непосредственный предельный переход к панели бесконечной длины. Во-вторых, каждый член полученных рядов носит экспоненциальный характер изменения по длине панели, что соответствует характеру искомых решений. Однако описанный метод решения имеет недостатки. Обсуждаемое решение неудобно использовать для панелей, у которых не равны нулю поперечные перемещения. Как будет показано ниже, в этом случае собственные функции оказываются не ортогональными, поэтому нельзя найти коэффициенты рядов в явном виде. Кроме этого, решение малоудовлетворительно в случае достаточно коротких, но широких пластин. В этом случае более выгодно строить разложение искомых функций в тригонометрические ряды по поперечной координате. [c.83]

В случае необходимости можно получить полное разложение потенциала и скорости в окрестности бесконечно удаленной точки в виде ряда по сферическим функциям (см. [45], стр. 143). [c.64]

Таким образом, принцип суперпозиции позволяет исследовать сложную электромагнитную волну, заменяя ее суммой (в общем случае бесконечной) монохроматических составляющих. С математической точки зрения такая замена означает разложение функции в ряд или интеграл Фурье. [c.45]

Пусть выделенная на заданном волновом фронте лучевая трубка при подходе к некоторой точке схлопывается, т, е. площадь трубки 5(т) становится равной нулю. При этом нулевой член лучевого разложения (21,23) становится бесконечно большим. Это означает, что структура поля локально не близка к плоской волне, В ряде случаев — каустика, фокус — переход к иным, не экспоненциальным, как при рассмотрении почти плоских волн, функциям позволяет построить асимптотические разложения, в которых уже нулевой член хорошо описывает поле. [c.225]

В настоящем разделе рассмотрена с помощью метода сферических гармоник задача о плоском изотропном источнике в бесконечной среде, В рамках этого метода угловая зависимость потока учитывается с помощью разложения в ряд по полной системе элементарных функций. В общем случае естественным выбором являются сферические гармоники, но для плоской и сферической геометрий они сводятся к полиномам Лежандра. [c.67]

Обратим внимание на довольно характерную ситуацию, встречающуюся довольно часто в статистической механике при проведении оценок типа разложения по малому параметру полученный для интеграла 1 ряд по степеням в/ l) является асимптотическим, т. е. конечное число его членов достаточно хорошо аппроксимирует температурную зависимость исследуемой величины 1 , а весь ряд (если бы мы его выписали в виде бесконечной суммы) к величине 1 не сходится, так как в зависимости величины /у от температуры имеются части, не представимые в виде ряда по целым степеням в/ц (у нас, например, выявились члены, пропорциональные е " /, в других случаях это могут быть дробные степени малого параметра, комбинации с его логарифмом и т. п.). Это обстоятельство особенно хорошо заметно для случаев V = 0 и = I, когда этого ряда вообще нет (одна константа) или в нем только два члена, а вся основная зависимость от 0 изображается функциями от (см. задачу 19). [c.157]

В проведенном выше анализе критического состояния разложение в ряд термодинамических функций по степеням двух переменных величин в области критической точки фактически не использовалось. Это было обусловлено, в частности, тем, что производная д р дТ )у в критической точке обращается в бесконечность, вследствие чего разложение р в ряд, например по степеням Т — Гк, V — Ук, утрачивает смысл. На кривой фазового равновесия вместо разложения по степеням двух переменных применялось исключительно разложение по степеням одной переменной такой подход основывался на однозначности полных производных (во всяком случае первого порядка), вытекающей из общих особенностей фазовых переходов второго рода. [c.105]

Тогда все добавки вычисляются в явном (элементарном) виде и построение правой части в (5.9) не составит труда. Заметим, что если и уравнение (5.10) решать посредством разложения в ряд, то получается бесконечная система алгебраических уравнений. Для ее решения необходимо определить, к какому классу принадлежит система уравнений (см. 15 гл. I). Известен прием построения необходимых оценок [46] в случае, когда функция, отображающая область ДГ. является рациональной, а контур 0 — окружность. Для простоты ограничимся случаем, когда отображающая функция имеет вид [c.408]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Здесь индексом о обозначены члены разложений, соответствующие автомодельному решению для скользящей пластины бесконечного размаха, и предполагается, что О < а < < +1. Если рассматриваемая задача может решаться с необходимой точностью на конечном (достаточно большом) интервале значений Л, и функции fi на этом интервале ограничены, то при 1 1 каждый последующий член разложения можно считать меньшим по порядку величины предыдущего в этом случае, предполагая, что остатком ряда можно пренебречь при i 1, для нулевых членов разложения будем иметь [c.222]

Подставив в (4.43) разложения всех входящих сюда функций в ряды Лорана в окрестности нуля и проделав такие же преобразования, как в случае плоской задачи, приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно постоянных 2(1+2, [c.129]

Разложение функций — Случаи сиеци альные 307 ----- в бесконечные ряды 151 [c.560]

Как отмечалось выше, проведенное доказательство содержит логическую брешь . Действительно, мы не доказали, что выражение (5.14) применимо для молекул, начинающих взаимодействовать. Было сказано лишь, что оно имеет смысл , ибо две сталкивающиеся молекулы являются как раз двумя случайно-выбранными молекулами из бесконечного (при N- 00) множества. Как это ни странно, упЪмянутая брешь не следует иа неполноты наших представлений, а обусловлена скорее сущностью-явления. В самом деле, насколько нам известно, никто не-предложил удовлетворительного доказательства гипотезы хаоса (было разработано много формальных доказательств, базирующихся на разложении 7 -частжчной функции распределения в степенной ряд по времени столкновения, однако они едва ли могут рассматриваться как удовлетворительные). И все же мы верим, что удовлетворительное доказательство можно построить на основе двух предположений — об очень большом числе молекул (М -> оо) и о пренебрежимо малом радиусе взаимодействия (а ->-0),— если их последовательно применять с самого начала, как было сделано в случае теплового равновесия. Заметим, что> стремления к пределам N- 00 и а 0) не независимы, так как N0 должно оставаться конечным (ТУ а — порядок величины правой части уравнения (6.11)). Чтобы дать представление об осуществимости этого положения, отметим, что при N 10 и (Г - 10 " см будет N(У 10 10" см = 1 м , Т. е. величина порядка площади макроскопической поверхности, в то время как, например, N0 порядка 10 10" см = 10" см = 10" м , т, е. пренебрежимо мало по сравнению с обычными макроскопическими объемами N0 — параметр, который служит мерой порядка величины отброшенных членов они становятся все более и более важными по мере увеличения плотности газа). [c.41]

Следует иметь в виду, что, поскольку выражение (3.158) получено с помощью квантовой теории возмущений, суммирование появляется в разультате разложения возмущенной волновой функции в бесконечный ряд по невозмущенным волновым функциям, при этом и появляются члены, которые можно интерпретировать как переходы с участием промежуточных состояний, называемых виртуальными [81]. Хотя с использованием выражения (3.158) и были выполнены расчеты для Нг, широкое применение этого выражения затруднено из-за недостатка информации о величине и знаке всех возможных членов, которые могут давать вклад, а также ввиду возможной интерференции членов, в общем случае имеющих различные фазы [81,82]. [c.119]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]

Ряд Фурье содержит бесконечное число членов, но нередко бывают случаи, когда все коэффициенты, за исключением нескольких, оказываются равными нулю II тогда удается получить относительно простое п точное выражение для раскладываемой в ряд функции. Часто при разложении функции в ряд Фурье практически с достаточной точностью можно ограничиться лишь несколькими первыми членами ряда, так как коэффициенты ряда быстро убывают при увеличении номера члена ряда. Например, на рие, 154, а показан график колебаний, имеющий вид ломаной линии е амплитудой 0 мм и периодом 0,1 е. Следовательно, основная частота колебаний й) = 2я/Г = 20я. Соответствующие вычиеления показывают, что для этой функции отличны от нуля только коэффициенты ряда с нечетными индекеами ] = 10 Ьз=—1,5 5 = 0,6 Ь =—0,3. Так как они быстро убывают, то в данном случае можно вполне ограничиться первыми четырьмя членами ряда с этими коэффициентами. Подставив их значения в (49.1), получим [c.194]

При теоретическом исследовании динамики объекта необходимо, чтобы разложения весовой и переходной функций имели достаточно простой аналитический вид. В этом случае обычно используют методы получения приближенных выражений для g(f) и h(t) с помощью приближенного выражения для самой передаточной функции W(p). Приближенное выражение для W(p) обычно представляет собой конечный отрезок бесконечного ряда, являющегося разложением W(p) по какой-то системе функций. Задача получения обратного преобразования Лапласа от W(p) становится в этом случае очень простой для его решения достаточно осуществить почленный переход к опигиналам в разложении функции W p). Обычно функции, по которым производится разложение W p), выбираются такими, что переход к оригиналам не вызывает никаких затруднений. Фактически, основная сложность в рассматриваемом методе аппроксимации g t) связана с отысканием удобного разложения W p) в ряд и исследованием корректности замены W(p) приближенным выражением в виде конечного отрезка ряда. Выясним, какими свойствами должно обладать это [c.109]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Задачи рассматриваемого типа, сводящиеся к решению диференциаль-ного уравнения (94) при граничных условиях (95), играют в теорети- ческой физике большую роль. Мы попытаемся решить задачу, предположив, что f(x, бесконечным рядом, каждый член которого представляет произведение из функции от одного только х на функцию от одного только общее выражение для f x, [c.103]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Найдем решение этого уравнения, соответствующее начальным условиям t = to, х = Хо- Нетрудно видеть, что при этом значении х функция f x) = 2g x — Хо) неголоморфна, так как производная / х) обращается в бесконечность при х = Хо и, следовательно, в этой точке не существует разложения в ряд Тейлора. Таким образом, на плоскости t, X вдоль прямой х = Хо условия теоремы Коши не соблюдены. Отсюда мы можем заключить, что в точках этой прямой возможны, случаи неединственности решений, случаи несуществования и т. -д. [c.242]

В одиннадцатой главе асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи применяется в задаче о волновом поле источника, расположенном на вогнутой поверхности тела. В этой задаче мы сталкиваемся с эффектом шепчущей галереи и существованием поверхностной волны интерференционного типа. В случае поверхностного источника в любой сколь угодно малой окрестности границы тела расположено бесконечное число каустик. Это огибающие многократно отраженных от границы лучей. Задачи об асимптотике волновых полей в случае неизолированных особенностей поля лучей до последнего времени почти не рассматривались. Метод нормальных волн (разложение волнового поля в ряд по некоторым специальным решениям волнового уравнения), который обычно используется в задачах такого рода, обладает наряду с несомненными достоинствами и следующим недостатком представление волнового поля суммою нормальных волн не [c.17]

Достаточно общая процедура вычисления эффективной проводимости связана с применением метода возмущений или перенормировок и приводит к бесконечному ряду, суммирование которого в общем случае представляет собой трудно разрешимую задачу. В большинстве случаев остается открытым вопрос о сходимости ряда теории возмущений, если флуктуации проводимости достаточно велики. Сложность и громоздкость выражений для членов ряда возмущений затрудняют анализ его структуры и выбор методов суммирования ряда. В этом смысле определенные перспективы могут быть связаны с методом Херринга, в соответствии с которым все флуктуирующие функции представляются рядами Фурье и исходные уравнения содержат искомые амплитуды этих разложений. Редукция к нелинейной системе уравнений также приводит к ряду, но, как показано В. А. Кудиновым и Б. Я. Мойжесом [16], структура ряда относительно проста. Ее анализ позволил авторам предложить приемы приближенного суммирования итерационного ряда, приводящие к довольно простым формулам для эффективной проводимости. Этот анализ оказался полезным и для выбора пробных функций при построении вариационных оценок для эффективных характеристик. Далее излагается метод Херринга и результаты его развития в работе [16]. [c.161]

СПЕКТР колебаний, совокупность гармонич. колебаний, на к-рые может быть разложено данное сложное колебат. движение. Математически такое движение представляется в виде периодической, но негармонич. ф-ции f t) с частотой (0. Эту ф-цию можно представить в виде ряда гармонич. функций /(i)=2.4 os re oi с частотами доз, кратными осн. частоте (где Ап — амплитуды гармонич. функций, t — время, п — номер гармоники). Чем сильнее исходное колебание отличается от гармонического, тем богаче его С., тем больше составляющих обертонов (гармоник) содержится в разложении и тем больше их амплитуды. В общем случае С. колебания содержит бесконечный ряд гармоник, амплитуды к-рых быстро убывают с увеличением их номера, так что практически приходится принимать во внимание только нек-рое конечное число обертонов. Процессы, не имеющие строгой периодичности или непериодические, могут представляться в виде суммы гармонич. компонент с некратными частотами или в виде суммы (интеграла) бесконечного числа [c.702]

Разложение в ряды можно провести также и для парной функции распределения, но по той же самой причине нельзя ожидать, что это приведет к успеху. Однако в случае парного распределения удается обойти трудности, делая более или менее сложные допущения относительно свойств частичных функций распределения. Обычный подход здесь заключался бы в использовании цепочки уравнений Ивона (разд. 7.4) и введении априорных допущений, позволяюш их оборвать эту цепочку на уровне парной функции распределения. Можно было бы также, исходя из формального разложения в ряд, выбрать определенный (бесконечный) класс диаграмм и показать, что соответствующая приближенная парная фунищя распределения подчиняется замкнутому уравнению. Следует подчеркнуть тот факт, что подобным процедурам никогда не удается дать вполне строгое обоснование — они всегда содержат элемент угадывания, результаты которого могут оказаться более или менее успешными. Тем не менее в последнее время некоторые приближенные процедуры такого типа дали поразительно хоропше результаты мы обсудим их в последуюпщх разделах. [c.283]

Рассматривается движение цилиндрического тела в ограниченной вязкой жидкости в приближении Стокса. Задача решается методом конформного отображения области течения на кольцо с последуюгцим использованием разложений искомых функций в ряд Лорана. Для частных случаев движения кругового цилиндра в жидкости, ограниченной концентрическим неподвижным цилиндром, получены точные аналитические решения. В случае эксцентрических окружностей для определения коэффициентов предложен численный алгоритм, основанный на методе коллокации. Путем предельного перехода к бесконечно большому радиусу внешнего цилиндра исследуется движение цилиндра перпендикулярно к плоскости. [c.330]

К работам по теории крыла конечного размаха тесно примыкают исследования взаимодействия несущих поверхностей с телами вращения (интерференция). А. А. Дородницыным (1944) было предложено решение задачи об определении несущих свойств системы, состоящей из крыла большого удлинения и тонкого длинного фюзеляжа. Крыло заменялось несущей линией (пронизывающей фюзеляж) с переменной по размаху циркуляцией и сходящими с нее свободными вихрями, а фюзеляж — соответствующими особенностями, расположенными на оси. В. Ф. Лебедев (1958) обобщил метод А. А. Дородницына на случай стреловидного крыла и крыла малого удлинения с тонким фюзеляжем. В работе А. А. Никольского (1957) предложено правило расчета подъемной силы а индуктивного сопротивления и рассмотрены некоторые задачи оптимизации системы крыло — фюзеляж в случае, когда крыло мало возмущает осесимметричный поток вокруг фюзеляжа. Вихревые линии, сходящие с крыла, при этом криволинейны и расположены вдоль линий тока исходного осесимметричного потока около изолированного фюзеляжа. А. И. Го-лубинский (1961) разработал метод решения задачи для обтекания крыла с бесконечно длинным цилиндрическим фюзеляжем. При этом для крыла использовалась теория несущей поверхности, а на поверхности фюзеляжа удовлетворялись граничные условия и путем разложения в ряды с помощью цилиндрических функций решалась соответствующая краевая задача. Расчет и опыты показали, что если диаметр фюзеляжа сравним с размахом крыла, то аэродинамическая сила, возникающая вследствйе интерференции, получается того же порядка, что и сила, действующая на изолированные консоли крыла. [c.97]

До появления ЭВМ асимптотические методы служили основным инструментом исследования течении в соплах. Эти методы являются важными и в настоящее время и позволяют, с одной стороны, оценить точность численных расчетов, если доказана сходимость, а с другой стороны — построить решение вблизи особых точек, которые зачастую трудно рассчитать численными методами. Наконец, асимптотические методы в некоторых случаях позволяют получать достаточно достоверную качественную и даже количест-веипую информацию о течении. Ниже представлены следующие основные асимптотические методы теорпи сопла метод источников и стоков, решение обратной задачи теории сонла для иесжимаемой жидкости, разложение в ряд по функции тока, асимптотические методы в трансзвуковой области, решение в окрестности бесконечно удаленной точки в дозвуковой области сопла, метод малых возмущений для исследования течений, близких к радиальным, линейная теория для нестационарных течений газа. [c.114]

Функция, представленная на рис. 6.4, может быть разложена в ряд Фурье в интервале [/1, Щ, если допустить, что она повторяется с периодом, равным или ббльшим длины интервала [/,, г]. На рис. 6.5, а показан дискретный амплитудный спектр в предположении, что период Т совпадает с /2 — ь Расстояние между составляющими Фурье в этом случае равно 1/( 2 — Если период увеличивается, как показано на рис. 6.5, б, то огибающая спектра остается той же (за исключением масштабного множителя), а расстояние между линиями уменьшается. Реальный сигнал, ограниченный во времени, получается в пределе, когда период стремится к бесконечности. Как показано на рис. 6.5, это приводит к тому, что расстояние между спектральными линиями стремится к нулю, т. е. получается непрерывный спектр. С возрастанием периода уменьшается основная частота В разложении Фурье-сигнала мы можем заменить индекс суммирования п на /ь Таким образом, [c.140]

Общие трудности теории неидеальных систем понятны и с формально-математической точки зрения. В области фазовых переходов рассчитываемые величины имеют особенности (разрывы или сингулярности этих функций или их производных). Описание их с помощью нескольких членов регулярного ряда не представляется возможным — конечное число совершенно гладких поправочных членов не содержит этих особенностей, их может содержать лишь бесконечная сумма слагаемых. Однако заранее известно, что отсуммировать весь ряд целиком (т. е. точно решить задачу) мы не можем (исключая, конечно, редкие счастливые случаи). Более того, неясно, каков математический смысл этих рядов, являются ли они регулярными, или асимптотическими, или еще какими-либо (и вообще сходятся ли они к тем величинам, которые они аппроксимируют в первыхсвоих членах). Когда исследуется несколько членов разложения — это не так важно, так как эти вопросы еще не возникают. Но мы хотим дойти до особенностей исследуемых величин. Предположим теперь. [c.294]

В промежуточной области температур вариационная оценка является, естественно, интерполяционной. Ее успех во многом зависит от того, как выбран оператор Яо и какие в него включены вариационные параметры (в теории возмущений гамильтониан Щ таких параметров вообше не включает). Так как эти параметры затем определяются из уравнений минимизации, решения которых могут оказаться и не бесконечно гладкими функциями температуры и других термодинамических параметров, то появляется возможность описать (хотя и в вариационном приближении) фазовые переходы 1-го и 2-го родов, которые могут происходить в изучаемых системах именно в области промежуточных температур. Напомним, что для того, чтобы получить разрывную функцию, рассчитывая ее с помощью регулярного метода (в нашем случае с помощью низко- или высокотемпературных разложений), необходимо отсуммировать бесконечную последовательность членов ряда. [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...