Спектр периодической функции

Вообще всякую периодическую, но негармоническую функцию с частотой и можно разложить в спектр, т. е. представить в виде ряда гармонических функций с частотами со- 2о>,, 3(0i,. .. (вообще пщ, где п — номер гармоники), кратными основной частоте. Чем сильнее отличается от гармонической разлагаемая функция, тем богаче ее спектр, тем больше обертонов содержится в разложении и тем больше амплитуды этих обертонов. В общем случае спектр периодической функции содержит беско-. нечный ряд гармонических обертонов (т. е. имеющих частоты, кратные частоте основного тона), амплитуды которых, вообще говоря, убывают (но не всегда монотонно) с увеличением номера обертона. Чем более плавной является разлагаемая функция, тем быстрее убывают амплитуды обертонов. Хотя разложение периодической функции в гармонический ряд дает в общем случае бесконечный спектр, но вследствие того, что обертоны спектра обычно быстро убывают, практически приходится принимать во внимание наличие только некоторого конечного (и небольшого) числа обертонов. [c.617]

Таким образом, в отличие от дискретного спектра периодической функции, спектр непериодической функции является сплошным. Это принципиальное различие существенно сказывается в том, что из спектра непериодической функции невозможно выделить одну гармоническую составляющую (одной определенной частоты), по- [c.622]

Последовательность амплитуд q, j, ,,. .. образует спектр периодической функции (фиг. 171). [c.263]

Спектр периодической функции 312 Специальные функции — см. Функции специальные Спираль Архимеда 274 [c.585]

Последовательность амплитуд 40, Ai, Ai,... образует спектр периодической функции (фиг. 15). [c.312]

Величина 6 (/ш)] носит название амплитудного спектра функции f t). Однако в отличие от спектра периодической функции спектр непериодической функции представляет собою не совокупность дискретных значений, а непрерывную функцию частоты (рис. 9). Такого рода спектр носит название сплошного графически он изображается непрерывной кривой. Поэтому иногда говорят, что сплошной спектр содержит все частоты . [c.281]

При сравнении математического и физического способов получения спектра произвольной периодической функции возникает следующая интересная проблема хорошо известно, что разложение функции E(t) можно проводить не в ряд Фурье, а каким-нибудь другим способом с использованием более сложных функций. С точки зрения математика эти два разложения эквивалентны, если в обоих случаях выполнены соответствующие условия сходимости рядов. Физик же всегда оказывает явное предпочтение разложению по гармоническим составляющим, исходя из его физической целесообразности. [c.69]

Как видно из формул (9.45), (9.46), среднее А) при конечном V (н соответственно дискретном энергетическом спектре) является почти периодической функцией с дискретным частотным спектром. (Спектральная плотность (9.47) представляет собой сумму и-функций, а функция Грина (9.55) имеет дискретное множество полюсов на действительной оси.) [c.179]

При анализе колебаний машинного агрегата с ДВС в резонансных зонах наиболее рациональным является спектральное представление характеристики Mj в виде соответствующего тригонометрического ряда Фурье. Амплитудные и фазовые параметры этого ряда можно получить, следуя зависимости (2.42), если известны ряды Фурье периодических функций (q, р , Ры) и Характеристика q,Q) в форме (2.47) представлена своим рядом Фурье. Компоненты амплитудного Су и фазового спектров ряда Фурье характеристики Mjl q, рс, Pio) можно определить в виде аналитических зависимостей, используя аппроксимации (2.45) для безразмерных функций Kiq) и Siq) [c.41]

Структурная модель может быть задана дифференциальным уравнением системы, на вход которой подается импульс в виде б-функции. Одиночные импульсы в механике моделируют ударные явления. Когда рассматриваемое ударное явление есть результат прохождения короткого удара через систему (среду), структурная модель характеризует ее свойства. Периодическая последовательность импульсов является объединением моделей периодического и импульсного процессов. Спектр периодического импульсного процесса дискретный. [c.86]

Спектральный анализ периодических процессов. Определение спектра частот и коэффициентов Фурье по заданным периодическим функциям называется спектральным анализом. Коэффициенты Фурье связаны с функцией u(f) следующими соотношениями [c.21]

Здесь ft — комплексные коэффициенты Фурье. Частоты оз , оза,. .. в отличие от ряда Фурье (19) для периодических функций не находятся между собой в простом кратном отношении. Представление (27) соответствует колебаниям с дискретным спектром. Спектр почти периодических функций может быть также и непрерывным. [c.27]

Пусть нагрузка q t, х) является условно-периодической функцией времени со спектром частот Vi, Vг,. . v,. Тогда ее коэффициенты Фурье имеют вид [c.170]

Из (7.118) следует, что пространственный спектр поверхности, не принадлежащей области G, промодулирован периодической функцией, являющейся типичным интерференционным сомножителем. Действительно, если область G равна О или просто в этой области не произошло никаких и> менений, т.е. >р(х, у) = у), то интенсивность объектного светового поля в плоскости (In) будет равна [c.183]

Часто в расчетах используется такая характеристика случайных процессов, как спектральная плотность (см. 21). Она также характеризует внутреннюю структуру процесса. В теории случайных процессов доказывается, что всякий стационарный процесс (рис. 28, а) может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различной частоты, так называемых гармоник. В каждой гармонике с детерминированной частотой амплитуды случайны. Иными словами, каждая периодическая функция является случайной из-за разброса амплитуд (рис. 28,б,в,е). Разброс этих амплитуд характеризуется дисперсией. При этом каждой частоте свойственна своя дисперсия амплитуд. Спектр случайного процесса представляет собой распределение дисперсий амплитуд по различным частотам. [c.90]

Отдельное затухающее колебание не является периодическим процессом. Оно соответствует предельному случаю, когда частота повто-.рения рассмотренной периодической функции стремится к нулю. В этом случае можно осуществить предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. Если воспользоваться разложением в интеграл Фурье одиночного затухающего процесса, то получим в итоге представление этого непериодического колебания в виде непрерывного спектра (рис. 1.1.4). [c.7]

Спектр. Термин спектр был введен Ньютоном для названия того изображения, которое появляется на белом экране при разложении солнечного света на составляющие цвета. Позже под этим сугубо оптическим понятием стали подразумевать изменение интенсивности светового излучения с длиной волны. Иногда эта зависимость представляется в виде линейчатого спектра, т. е. в виде последовательности спектральных зон, между которыми интенсивность излучения практически равна нулю. Таким образом, если по оси интенсивностей в оптических спектрах всегда откладывается непрерывная величина, то по оси частот возможна и дискретная шкала. С этой точки зрения линейчатые оптические спектры мало чем отличаются от частотных спектров, получаемых при разложении периодических функций в ряды Фурье, а непрерывные оптические спектры оказываются аналогичными спектрами разложения Фурье непериодических функций. [c.7]

Если на вход дискретного преобразователя подана непрерывная функция X (О, то ее можно разложить в бесконечный ряд Фурье. Обычно в системах связи приходится передавать непрерывные функции с ограниченным спектром, т. е. такие периодические функции, которые содержат конечное число гармонических составляющих (гармоник). [c.37]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

При анализе эмпирических кривых выбранное число ординат на периоде должно обеспечивать точность аппроксимации не ниже точности эксперимента. Одновременно необходимо иметь в виду, что периодическая функция с ограниченным спектром полностью определяется заданием на периоде Т 2 Г/с равноотстоящих ординат, где /с — верхняя граница спектра (теорема Котельникова, приведенная в [28]). [c.514]

Для интегрируемых систем, а также для движений неинтегрируемых систем, лежащих на инвариантных торах (а не в стохастическом слое) переменная X является (по теореме Лиувилля-Арнольда) некоторой квази-периодической функцией. В общем случае с п рационально независимыми частотами (п — число степеней свободы). Для хаотических движений спектр является сплошным, в самом же движении могут наблюдаться регулярные отрезки и сильно выраженные хаотические пульсации. [c.93]

Оказывается, что при подходящем выборе фаз все решения Кронига-Пенни с действительными X можно сшить с функциями вида (70.2). Поэтому непрерывный спектр периодических состояний ие меняется. Но мы должны ещё рассмотреть случай мнимого X. [c.339]

Принципиальное отличие подхода теории неупорядоченных систем к построению энергетического спектра электронов состоит в следующем. В классической зонной теории идеального кристалла потенциальная энергия электрона является строго периодической функцией координат. В неупорядоченной системе из-за нарушения дальнего, а иногда и ближнего порядка в расположении атомов потенциальная энергия свободного носителя заряда включает в себя случайную компоненту. Для описания случайных полей в теории не- [c.114]

Подчеркнем, что в случае периодической функции или модулированного колебания ( 2) интервалы 2%/Т между линиями математического спектра задаются периодом Т периодической [c.536]

Нарушение консервативности системы возможно не только за счет рассеяния энергии, но и за счет ее поступления. Примером такой системы с притоком энергии может служить колебательная система, совершающая вынужденные колебания, обусловленные некоторым внешним фактором, именно, возмущающей силой, явно зависящей от времени. Нами было рассмотрено действие силы, являющейся периодической функцией времени, а также действие произвольно изменяющейся силы. Заметим, что силу, действующую по произвольному закону, можно рассматривать как наложение сил с непрерывным распределением частот, т. е. обладающую, как говорят, непрерывным спектром частот. Таким образом, в [c.137]

О вынужденных колебаниях легко находится разлол<ив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как устойчивость формы гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функци11. [c.622]

Акустооптика изучает взаимодействие оптических волн с акустическими в различных веществах. Возможность такого взаимодействия впервые предсказал Бриллюэн в 1922 г., а затем ее экспериментально проверили в 1932 г. Дебай и Сиарс в США и Люка и Бигар во Франции. При взаимодействии света со звуковыми волнами наиболее интересное явление представляет собой дифракция света на акустических возмущениях среды. При распространении звука в среде возникает соответствующее поле напряжений. Эти напряжения приводят к изменению показателя преломления. Такое явление называется фотоупругим эффектом. Поле напряжений для плоской акустической волны является периодической функцией координат. Поскольку показатель преломления среды претерпевает периодическое возмущение, возникает явление брэгговской связи, как показано в гл. 6. Акустооптическое взаимодействие является удобным способом анализа звуковых полей в твердых телах и управления лазерным излучением. Модуляция света при акустооптическом взаимодействии находит многочисленные применения, в том числе в модуляторах света, дефлекторах, устройствах обработки сигналов, перестраиваемых фильтрах и анализаторах спектра. Некоторые из этих устройств мы рассмотрим в следующей главе. [c.343]

Электромагнитная волна называется когерентной, если ее автокорреляционная функция периодична, имеет тот же период, что и излучение, и постоянную максимальную амплитуду. Электромагнитную же волну, для которой автокорреляционная функция непериодична и для которой максимальная амплитуда со временем уменьшается, называют некогерентной. Квазикогерент-ной волной называют волну с периодической автокорреляционной функцией, максимум амплитуды которой не остается постоянным за время наблюдения произвольной длительности. Эти определения находятся в соответствии с теоремой Винера — Хинчина, согласно которой автокорреляционная функция какой-либо функции является фурье-преобразованием энергетического спектра этой функции [5]. Таким образом, выходное излучение лазера можно считать когерентным только при очень неточном толковании введенных выше определений. Частичная когерентность излучения лазера вытекает из принципа неопределенности. Квазипериодическое излучение лазера обусловлено процессами, которые описываются только статистическими параметрами, в силу чего излучение вряд ли может иметь точно воспроизводимый период. [c.364]

С уменьшением частоты повторения отдельных колебаний число спектральных линий, необходимых для спектрального представления процесса, постоянно возрастает. Необходимо иметь все большее и большее число отдельных гармонических составляющих, чтобы взаимным уничтожением их амплитуд при сложении изобразить провалы между затухающими колебаниями. Надо заметить, что все линейные спектры, соответствующие различным частотам периодической функции, при надлежащем подборе масштаба Ьрдинат имеют одну и ту же огибающую (рис. 1.1.3, б пунктир). [c.7]

Таким образом, периодические функции характеризуются дискретными спектрами, а непериодические — непрерывными., Спектр прямоугольных импульсов. Пусть имеется бесконечная последовательность прямоугольных импульсов величиной I/o и продолжительностью х, повторяющихся через промежутки времени Т (рис. 32). Посколыу функция четная Ь =0, а коэффициенты при косинусе равны [c.58]

В уравнении (7.53) произвольная функция Р в) описывает угловую зависимость спектра плоских волн сам орепрод уцирующегося пучка. Подставив в (7.53) выражение для разложения этой периодической функции в ряд Фурье [c.477]

Теорема о дискретном представлении гласит следующее Если функция / (х) не содержит частот, больших, чем Л периодов на 1 мм, то она полностью определяется путем задания ее ординат в последовательных точках, отстоящих в пространстве друг от друга на расстоянии 1/2Й мм . При доказательстве этой важной теоремы мы будем рассматривать спектр функции / (t) как произведение периодической функции Ёр (а) и одиночного прямоугольного импульса гес1 со, так что Е (со) = Ер (со) гес1 со удовлетворяет условиям теоремы о дискретном представлении (фиг. А.2). [c.235]

Стохастический режим. В точке пересечения критических кривых Rl и Ra (рис. 44) мнимую ось пересекают две пары собственных значений (х,, х,) и щ, Xj), принадлежащих соответственно спектрам собственных значений матриц odi и aS . Поэтому в области П1 на диаграмме устойчивости обе х- и у-подсистемы становятся неустойчивыми. Поскольку собственные частоты колебаний =. = Imxi и 2 = ImXj, вообще говоря, несоизмеримы, в окрестности положений равновесия при надкритических значениях R можно ожидать рождения двумерных инвариантных торов, т.е. д (т) и у(х) будут задаваться двоякопериодическими векторными функциями вида г1)( ,т, ат), где г з( , и) — 2я-периодическая функция по каждому из аргументов. На рис. 49 и 50 представлены результаты численного интегрирования системы (6), (7) в точке а = 2,6, R = 40, принадлежащей области III. Интегрирование проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Рунге — Кутта без контроля точности интегрирования с шагом Дт = 0,002, что по порядку величины составляет 10 T i (Г, = = 2я/тах ( j, а))> и с заданной точностью интегрирования, равной 0,1%. Основной результат оставался неизменным. [c.153]

Анализ будет опираться на теорему относительно комплексной функции иiv W = w t) вещественной переменной I, принимающей комплексные значения и являющейся почти периодической в смысле Бора. Предположим, что функция w t) удовлетворяет при всех —оо at <С. - -оо условию jiw(i) > с, где с — некоторая положительная постоянная. Тогда функция w t) w t) будет почти периодической, равной по модулю 1 при всех I и с частотами, содержапщмися в полном спектре частот функции w t). Положим [c.459]

В данном примере спектр одиночного прямоугольного импульса, который описывается функцией sine, сначала умножается на гребенчатую функцию, что дает спектр периодической последовательности импульсов, затем получившийся линейчатый спектр переносится в точки /о- Сигнал во временной области и последовательное получение спектра представлены на рис. 6.20. Отметим, что спектр огибающей последовательности содержит линию при / = О, которая представляет собой среднее значение функции. В окончательном спектре эта линия из [c.167]

Рассматривая величину (лк/N) как волновое число возбуждения j, видим, что выражение (8.50) в точности совпадает со спектром (8.15) периодической цепочки с сильной связью при соответствующих граничных условиях. Из уравнения (8.48), где Ро бсть непрерывная медленно меняющаяся функция X, следует, что мы получаем зону разрешенных уровней при N оо распределение их становится непрерывным. Аналогичные исследования спектра периодической решетки в рамках модели Кронига — Пенни не дают ничего нового. [c.350]

В общем случае форма напряжения зву кового сигнала не является периодической функцией времени и ее можно представить с помощью интеграла Фурье, являющегося распространением ряда Фурье на бесконечно большой период повторения функции Для звуковых сигналов интервал между часто тами гармоник стремится к нулю, и пре рывистый спектр сигнала превращается в сплошной А это значит, что напряжение зву кового сигнала имеет непрерывный спектр На практике при анализе и испытаниях усилителен 34 в установившемся режиме часто используют в качестве входного сигнала напряжение синусоидальной формы что яв [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...