Разложение в бесконечные ряды

При определении значений функций Лежандра можно пользоваться их разложением в бесконечные ряды [55], методика табулирования этих функций при комплексном значении п дана в работе [91]. [c.218]

Разложение в бесконечные ряды 151 [c.589]

С учетом (11-38) и (11-39) уравнение (11-37) можно привести к виду (с точностью до членов первого порядка в разложениях в бесконечные ряды параметров вдува) [c.340]

Таким образом, удовлетворено уравнение (11-102) и учтено изменение касательного напряжения по сечению ламинарного подслоя в зависимости от параметра вдува (по крайней мере с точностью до членов первого порядка в разложениях в бесконечные ряды выражений, содержащих параметр вдува). Два других условия типа [c.385]

Используя разложения в бесконечные ряды, можно решить задачу о протекании несжимаемой вязкой жидкости сквозь трубу прямоугольного сечения. Обозначим высоту прямоугольника, параллельную оси Оу, через 2h, а основание, параллельное оси Ох, — через 2 x,h, где х — любая положительная постоянная. Ось Oz, как и ранее, проведем через центр прямоугольника и направим вниз по потоку. [c.384]

Для нахождения силовых функций подобных образований пришлось также разработать специальную главу в теории притяжения, изучая конструкцию таких силовых функций и, особенно, находя их разложения в бесконечные ряды. [c.346]

Используя разложения в бесконечные ряды, можно решить задачу [c.476]

Г(у))) в виде разложения в бесконечный ряд Тейлора по степеням у и почленного интегрирования), а только выпишем результат. Он имеет следующий вид [c.597]

Отношение рг/Рк очень близко к единице, и поэтому можно получить гораздо более простое выражение, выполнив разложение в бесконечный ряд и пренебрегая всеми членами выше второго порядка. Тогда получим [c.139]

В общем случае коэффициент сжимаемости является сложной функцией температуры и плотности (или давления) и может быть представлен в форме разложения в бесконечный ряд по степеням плотности [c.25]

Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке п и соответственно —(п + 1) в показателе степени. Из положительности п следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов, который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с г", поскольку он соответствует большему значению степени п. (Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность — (п + 1) — п целочисленна.) Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. Мы установили, таким образом, что искомое решение представляет собой определенную с точностью до несущественного постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию, соответствующую при г = О показателю степени п. [c.670]

При отрицательных и дробных (см. стр. 152) значениях показателя п в правой части разложения получается бесконечный ряд. [c.75]

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [c.151]

Следует иметь в виду, во-первых, что использование табулированных функций при подчинении нагрузочного режима нормальному закону удобно при т с 4- 5 (так как при больших т число биномиальных коэффициентов и, следовательно, слагаемых равно m + 1), во-вторых, при не целых т расчетные формулы необходимо выводить с использованием разложения бинома в бесконечный ряд [106 J. Поэтому более удобными оказываются численные методы. [c.69]

Пользуясь разложением р в бесконечный ряд, он представляет и эти условия в виде равенства нулю двух бесконечных рядов затем, предположив, что зависимость X ж у от р также имеет форму бесконечных рядов, он определяет коэффициенты последних при помогци обычных приемов. Формулы для проекций скорости и ускорения центра получаются путем дифференцирования бесконечных рядов, построенных для х ж у. [c.185]

В плоских задачах о внедрении в упругое полупространство цилиндрических тел, как правило, предполагается, что поверхность Ej, ограничивающая ударник, является гладкой, а ее направляющая кривая выпукла. Эти вопросы при вертикальном движении ударника и постоянной скорости внедрения рассмотрены в работах В. Д. Кубенко [41], С. Н. Попова [51, 52], В. Д. Кубенко и С. Н. Попова [42]. В первой из них использовано разложение в тригонометрический ряд Фурье по координате х с периодом, равным расстоянию между соседними периодически расположенными на полуплоскости фиктивными штампами. Он выбирается так, чтобы за рассматриваемый промежуток времени соседние штампы не оказывали влияния друг на друга. В трех других работах с помощью интегральных преобразований задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Найдены напряжения в центральной точке контакта. [c.378]

Другими словами, если известно аксиальное распределение и (г) вращательно-симметричного электростатического или магнитного поля и это распределение является бесконечно дифференцируемой функцией, то можно определить поле во всем пространстве с помощью разложения в степенной ряд (3.20). Единственно, что для этого необходимо знать — аксиальное распределение потенциала. Это очень важный момент, и мы еще не раз к нему вернемся. Детальное обсуждение будет проведено в разд. 9.8. [c.68]

Сходимость этого ряда также нужно исследовать в каждом отдельном случае. В бесконечный ряд Маклорена можно разложить много алгебраических и неалгебраических выражений. Эти разложения можно найти во многих справочниках. Если ряд сходится и если при разложении ограничиваются конечным, большей частью малым, числом членов, то получают приводимые ниже приближенные формулы, часто применяемые в измерительной технике. [c.55]

И. ч. могут быть выражены бесконечными десятичными дробями и бесконечными непрерывными дробями. Бесконечные ряды также являются средством изображения И. ч. так, для числа л мы имеем такое разложение в бесконечный сходящийся ряд [c.154]

Это может быть сделано вообще только при по.мощи разложений интегралов в бесконечные ряды, вследствие чего искомые условия необходимо распадутся на бесчисленное множество условий, проверка всей совокупности которых может сделаться доступной только в некоторых простых случаях. [c.437]

Одним из удобнейших и широко применяемых способов разложения силовой функции в бесконечный ряд является классическое разложение силовой функции тела и материальной точки (или шара, обладающего сферическим распределением плотностей) по так называемым сферическим или шаровым функциям, а поэтому прежде всего необходимо ознакомиться с элементами теории таких функций. [c.150]

Для приближенного интегрирования уравнений возмущенного движения в элементах Делонэ или в элементах Пуанкаре нужно прежде всего выразить характеристическую функцию Р через время и сами элементы, что можно сделать, как мы уже знаем, только при помощи разложений характеристической функции в бесконечный ряд. [c.697]

При определении оригинала по известному изображению часто используется теорема разложения Хевисайда. Пусть (р) — регулярна в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (не имеет особых точек при Rep i ). При этом имеет место разложение в степенной ряд fпо степеням, равномерно сходящийся в области Rep Li + 8, 8 > 0. Пусть, кроме того, lim (р) == 0. [c.67]

Применение этой теоремы для доказательства возможности разложения произвольной функции в бесконечный ряд нормальных функций можно провести в точности так же, как в 142. [c.316]

В.А. Амбарцумиан [5], например, рассматривал законы рассеяния в виде разложений в бесконечные ряды по полиномам Лежандра [c.353]

Выражения для компонент электромагнитного поля дифрагированной (рассеянной) волны получаются в виде разложений в бесконечные ряды по электрическим и магнитным мультиполям коэффициентами разложения служат слон<пые функции параметра р = 2лг/А, (г — радиус шара, к — длина волны) и показателей преломления образующего шар вещества п и окружающей среды По- Ряды сходятся очень медленно число членов, к-рые следует учитывать, приблизительно равно 2р, поэтому прп больших р необходимо применение вычислительных машин (опубликовано иеск. таблиц). При р 1 и пр < 1 существен только первый член ряда, т. е. электрич. диполь, что приводит к закону Рэлея, причем поперечные сечения рассеяния с и поглощения а пропорциопальны и соответственно (к — показатель поглощения вещества, образующего шар). Если р 1, но пр не мало, то при пр = кл (к — целое число) ст резко возрастает до о = бяг (резонансы Ми). С увеличением р рост о и а замедляется и сопровождается постеигапю затухающими осцилляциями. При р > 1 коэффициент ослабления а + о 2лг . Индикатриса рассеяния сильно зависит от р и от п. Если размеры шара близки к X, то характерной особенностью индикатрисы является большое количество резко выраженных максимумов и минимумов, имеющих интерференционную природу. При р а 1 индикатриса сильно вытянута вперед (индикатрисный эффект Ми) и при малых углах рассеяния приобретает отчетливо выраженный дифракционный характер. Столь же резкие изменения с ростом р испытывает поляризация рассеянной (дифрагированной) волны. При нек-рых р > 1 и для нек-рых углов рассеяния она оказывается отрицательной (поляризационный эффект Ми), т. е. плоскость поляризации совпадает с плоскостью рассеяния. [c.227]

В большинстве задач небесной механики необходимо было бы на этом этапе ввести разложения в бесконечные ряды. Здесь же упрощающее обстоятельство заключается в том, что уравнение для д5уд1 является не диффсренциа.льным уравнением в частных производных, а обыкновенным дифференциальным уравнением. Поэтому можно определить из соотношения [c.484]

Равложенне по степеням вксцентрнситета. Итак, нами полностью решена задача о разложении в бесконечный ряд главной части пертурбационной функции для случая круговых орбит. Мы получили это разложение в форме (11.86), что можно записать кратко следующим образом [c.62]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Разложение функций — Случаи сиеци альные 307 ----- в бесконечные ряды 151 [c.560]

Локальные поля в окрестности клиновидного надреза/трещины. Решение Уильямса. Приведем классическое ре-гиение двумерной задачи теории упругости методом разложения в степенные ряды [64]. Рассмотрим задачу о пластине, ограниченной двумя пересекающимися плоскими гранями, так что исследуемая область представляет собой бесконечный двугранный угол 2а (рис. 2.3). Пластина находится в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. При отсутствии объемных внегиних сил уравнения равновесия тождественно удовлетворяются с помощью со-отногиений [c.85]

Задача об отрыве ламинарного пограничного слоя была точно решена Гёртлером [15], который разработал новый общий аналитический метод расчета установившегося двумерного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости с произвольными градиентами давления. Так как его решение дается в виде быстро сходящихся бесконечных степенных рядов, можно получить решение с любой степенью точности, удерживая достаточное число членов разложений в степенные ряды. Рассмотрим этот метод подробнее ввиду его высокой точности. [c.94]

Это выражение полностью эквивалентно разложению в степенной ряд (3.20) и представляет тот же важный факт аксиальносимметричное поле полностью определяется своим распределением потенциала вдоль оси. (Заметим, что — просто переменная интегрирования и не имеет физического смысла.) Хотя выражение (3.112) изящнее, чем бесконечный степенной ряд [c.87]

Полоса. Другая интересная задача, вводящая в заблуждение своей кажущейся простотой, относится к дифракции иа бесконечно длипиой, идеально проводящей плоской по.чосе с параллельными краями или к дифракции на дополнительном экране в виде щели в бесконечной плоскости. Было предложено несколько способов решения этой задачи [6, 16, 33—36], по ни один из них пе давал решения в замкнутом виде. Ниже показано, как в случае нормального иадения плоской волны метод дуального интегрального уравнения [37, 38] использовался для получения в решении первых двух членов разложения в степенной ряд по ka, где 2а — ширина полосы. [c.544]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

Эго и есть искомое разложение элементарного перемещения Аг в бесконечный ряд по степеням малой величины А1. Здесь выписаны три первых члена этого разложения в дальнейшие члепы ряда входят векторы, проекции которых на оси х, у, г равны четвертым, пятым и т. д. производным от координат X, у, г по времени. Все эти векторы получают название ускорений третьего, четвертого и т. д. порядков. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...