Разложение функции Грина

Подставляя фурье-разложение функции Грина, получим [c.161]

Доказать, что вещественная часть фурье-разложения функции Грина при некоторой частоте, определяется значениями мнимой части при всех частотах (и наоборот). [c.199]

Вследствие вещественности функции F(i) очевидно, что = F. Подставляя в (18.11) фурье-разложение функции Грина (18.8), получим [c.153]

Сравнивая результаты (24.18) с общими разложениями функций Грина (24.10), (24.12) и (24.14). находим, что отношение вещественно и положительно. Таким образом, при малых (О и р (ш —ср) вид всех функций Грина О (р), [c.287]

Произведем разложение функций Грина, определенных в гл. 6, 2, в интеграл Фурье и введем фурье-компоненты [c.171]

Разложение функций Грина [c.177]

Из предположения о полноте системы собственных состояний оператора Но сразу же следует разложение функций Грина. Если подействовать оператором 0 Е) на (6.37), то для резольвенты получим [c.177]

Подставим теперь уравнение Липпмана —Швингера (7.15) в (8.1) и используем разложение функции Грина (7.24) [c.206]

ВЫЧИСЛИТЬ все собственные функции электронов, хотя практически это и невозможно. В одноэлектронном приближении эти собственные функции и собственные значения дают полное описание системы. Зная их, мы можем вычислить любое выбранное нами свойство жидкости. Как мы увидим, функция Грина дает альтернативное описание системы она содержит ту же информацию, что и собственные функции и собственные значения, и тоже позволяет рассчитать любое свойство. Вместе с тем, разложение функции Грина по теории возмущений легко можно довести до высоких порядков, а вычисление многих свойств с ее помощью оказывается более непосредственным, чем с использованием собственных значений. Эти преимущества достигаются ценой некоторой потери в простоте понимания. [c.244]

Рассмотрим теперь разложение функции Грина в ряд теории возмущений. Для простоты мы опускаем индексы и аргумент Е, которые одинаковы для каждой функции Грина в наших выражениях. Таким образом мы пишем [c.248]

Замечательно, что удается систематически записать члены высших порядков в разложении функции Грина в ряд теории возмущений. При этом мы обнаруживаем, что такое разложение фактически очень напоминает простую геометрическую прогрессию, а значит, можно просуммировать весь ряд для О (к, к) во всех порядках. Действительно, вводя 2 как некоторую произвольную функцию волнового вектора и энергии, получаем [c.249]

Тем не менее если просто вычислить 2 во втором порядке по и снова подставить этот результат в (2.97), то можно заметить, что фактически это означает суммирование некоторых членов разложения функции Грина во всех порядках. На обычном языке теории поля мы бы сказали, что мы просуммировали определенный класс диаграмм во всех порядках. В данной задаче, если мы вычисляем 2 [c.249]

ДО второго порядка по псевдопотенциалу, следует ожидать значительного улучшения результатов по сравнению с непосредственным разложением функции Грина до второго порядка по псевдопотенциалу. [c.250]

Спектральное разложение функции Грина. Пусть уравнение (2.5) имеет спектр собственных чисел с соответствующими собственными функциями ф . Поскольку ФГ удовлетворяет тем же граничным условиям, что и ф (г) (по определению), то можно разложить ФГ по этому базису (он будет полным для ФГ) [c.22]

Определение универсального множителя Ар, входящего в разложение функции Грина Г(Л1о, М, ) по волнам ы, основано, как и в предыдущем параграфе, на сравнении разложения (4.4) с аналогичным разложением в эталонной задаче. Такое сравнение показывает, что формула (4.5) для универсального множителя Ар сохраняется и в случае граничного условия [c.323]

Иначе говоря, ряд (9.39) представляет собой просто локаторное разложение функции Грина для виртуального кристалла, (9.17) [согласно формулам (9.18) и (9.40), соответствующий закон дисперсии имеет вид К (q) = Fq, причем спектральная переменная равна Я 1. Другими словами, приближение (9.42) дает результат, похожий на тот, что получается в аппроксимации усредненной [c.387]

Будем считать, что точка лежит внутри поверхности. целиком находящейся внутри тела. В этом случае Г1 < г и справедливо разложение функции Грина в виде ряда (2.83). Рассмотрим уравнение (2.84) для акустически мягкого тела и представим неизвестную функцию др(г)1дп на поверхности в виде ряда (2.85). Подставив в уравнение (2.93) разложения (2.75), (2.83) и (2.85), получим соотношения (2.86), которые можно рассматривать как бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Хд. Решив численно эту систему, получим распределение колебательной скорости на поверхности, а затем по формулам (2.78), (2.79) [с учетом того, что р(г) 1 = 0] и поле в любой точке во внешней области. [c.92]

Если функция Грина известна, то решение задачи теплопроводности для заданной области, при заданных граничных условиях и начальной температуре, являющейся произвольной функцией пространственных координат, можно сразу же записать при помощи формул данного раздела. Некоторые из этих решений были уже получены другими методами, но при этом мы каждый раз допускали, что возможно такое разложение произвольной функции, которое требуется задачей. В излагаемом сейчас методе нет необходимости в подобном допущении ). [c.350]

Особый интерес представляет вопрос о влиянии фокусировки накачки на увеличение разрешения и главное — числа разрешаемых элементов. Вычисления, связанные с решением этой задачи методом разложения по плоским волнам, резко усложняются в связи с тем, что для нахождения пространственного распределения поля в преобразованном излучении приходится суммировать двойной ряд. Подход функций Грина оказывается полезным и для решения всех упомянутых вопросов. [c.61]

Спектральное представление функции Грина A- A2))z легко находится из выражения (5.1.40) с помощью замены коммутатора [Л ( ), Л2] на [АЛ ( ), A 2( )] и последующего спектрального разложения усредненных произведений. В результате получаем формулу [10] [c.361]

Как отмечалось в разделе 5.2.1, корреляционные функции и функции Грина [см. (5.2.9) и (5.2.10)] являются аналитическими в верхней комплексной полуплоскости. Таким образом, чтобы записать соотношения (5.2.54) для обобщенных восприимчивостей и кинетических коэффициентов остается доказать, что Ai A2))z = 0 z ) и Ai 2)2 = 0 z ) при 00. Эти свойства можно проверить непосредственно с помощью формул (5.2.9) и (5.2.10). Папример, асимптотическое разложение Ai A2))z по l/z получается в виде [c.367]

Важным обстоятельством является то, что после разложения упорядоченных экспонент в ряды по S все средние значения в правых частях уравнений (6.1.15) и (6.1.17) вычисляются с помощью теоремы Вика, поскольку невозмущенный оператор энтропии (6.1.10) есть билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Для слабо неидеальных квантовых газов множитель Лагранжа 52(/ /2 1 2) играет роль малого параметра. В этом случае уравнения (6.1.15) и (6.1.17) можно решить методом итераций (см. задачу 6.1). Если корреляции дают существенный вклад в неравновесные термодинамические величины, то метод итераций непригоден и требуется по крайней мере частичное суммирование формальных рядов теории возмущений. Как уже отмечалось, для равновесных систем суммирование такого рода наиболее удобно проводится в технике температурных функций Грина. Поэтому естественно построить аналогичную технику и для неравновесных состояний. [c.12]

С помощью теоремы Вика каждый член разложения 5-частичной термодинамической функции Грина (6.1.55) по S может быть выражен через произведения свободных одночастичных функций Грина, вычисляемых со статистическим оператором [c.20]

Одночастичная и 5-частичная функции Грина для ферми- и бозе-систем по-прежнему определяются соотношениями (6.1.53) и (6.1.55). Заметим, однако, что теперь формула (6.1.52) дает разложение термодинамической функции Грина по степеням взаимодействия. [c.31]

В нашей статической задаче С — функция Грина двумерного уравнения Лапласа, т. е. О —1п г1—Г2 /2я. Для точек, далеких от цилиндра, для которых справедливо (20.35), надо разложить С в ряд по малому параметру / (ф)/г, где / = / (ф) есть уравнение контура С. Нулевой член этого разложения выпадет при вычислении (20.37), вследствие (20.34). Член, пропорциональный 1/г, равен второму слагаемому в [c.214]

Расчет многофотонных сечений другими методами. Расчет сечений многофотонной ионизации для поглощения К фотонов в первом неисчезающем порядке теории возмущений можно также провести методом Далгарно-Льюиса, который сводится к решению системы К — 1 неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка (см. [5.4], гл. III). Для значений К от 2 до 8 расчет указанным методом был проведен, в частности в работе [5.8]. Результаты хорошо согласуются с данными из расчетов методом штурмовского разложения функции Грина. [c.117]

В этом разделе мы покажем, что в наиболее общем случае поле, удовлетворяющее условию Зоммерфельда, можно представить в виде суперпозиции цилиндрических мод. Это представление можно использовать как альтернативный метод разложения по плоским волнам вместо рассмотренного в разд. 4.8. Оказывается, что он особенно полезен для полей, симметричных относительно вращения вокруг некоторой оси (например, o иz). Рассмотрим сначала разложение функции Грина [c.282]

В. М. Бабича [4] и И. А. Молоткова [2] оказались совпадающими. Идея использовать при построении асимптотических разложений функций Грина теорему взаимности и принцип локальности была высказана В. С. Б у л д ы-р е в ы м [5]. Решения дифракционных задач акустики и теории упругости, сводящихся к нахождению асимптотики функций Грина при импедансцом условии, получены в работах И. А. Молоткова [4], [I]. [c.444]

Базируясь на работе Д. Людвига [2] и на интегральных априорных оценках решений уравнения Гельмгольца, К. Моравец и Д. Людвиг [1] строго оправдали лучевые разложения функции Грина задачи Дирихле в освещенной области и асимптотические формулы для нее в полутени. [c.446]

Соотнопхения (2.7) и (2.8) дают разложения функций Грина по степеням и задача вычисления поправок фактически сво- [c.21]

Слияние анизотропии кристалла на формирование изображения можно учесть в рамках излон енного метода в параксиальном приближении, используя выражение (2.27) с функцией Грина, определяемой формулами (П2.10) или (П2.11) вместо (2.26), и соответствующие выражения для идущих от точечных источников волн ИК-излучения и накачки вместо (2.33). Такой подход позволяет получить все основные эффекты, связанные с анизотропией и проанализированные в 3 настоящей главы разложением по плоским волнам. Можно, в частности, убедиться, что при малой анизотропии ее роль сводится к сносу изображения. [c.65]

В том же 1940 г. вышла еще одна пионерская работа по численному решению ГИУ для плоской задачи теории упругости [15]. В ней Ц. О. Левина и С. Г. Михлин рассмотрели плоскость с двумя вырезами. Эта область конформно отображается на круговое кольцо, для которого известна функция Грина. В результате получено ГИУ, решенное численно путем предварительного разложения его ядра в ряд и перехода к близкому уравнению с вырожденным ядром, а последнее решалось сведением к алгебраической [c.267]

Используя свойства исходной эллиптической краевой задачи [193 и оценку функции Грина [279], важные результаты о полноте и сходимости кратных разложений были получены М. Г. Джавадовым [139], И. И. Воровичем, В.Е. Ковальчуком [91 [c.8]

Из разложения (6.1.25) следует, что условие (6.1.24) выполняется, только если exp —iziy) = Г]. Таким образом, фурье-комноненты функции Грина отличны от нуля лишь для частот [c.14]

С помощью введенных выше графических элементов можно дать наглядное диаграммное представление любого члена в разложении одночастичной функции Грина по степеням возмущения S в операторе энтропии. Как мы уже отмечали, правила диаграммной техники для термодинамических и равновесных мацубаровских функций Грина фактически совпадают. Формально выражение (6.1.64) для корреляционной части оператора энтропии аналогично выражению для оператора двухчастичного взаимодействия в гамильтониане. Поэтому мы просто воспользуемся результатами анализа рядов теории возмущений для мацубаровских функций Грина [1, 64], внося необходимые изменения, связанные с рассматриваемой задачей. Итак, в импульсном представлении правила построения диаграммного разложения одночастичной термодинамической функции Грина состоят в следующем [c.23]

Теперь становится ясно, почему метод функций Грина является эффективным для вывода кинетического уравнения только в тех случаях, когда система достаточно хорошо описывается в квазичастичном приближении. Дело в том, что при использовании разложений по временным производным д/dt неявно предполагается, что свойства g t) близки к свойствам начального статистического оператора т. е. в любой момент [c.60]

Для того чтобы найти поведение к на бесконечности, нужно знать асимптотику функции Грина. Согласно результатам разд. 11 гл. IV, решение на бесконечности всегда определяется оборванным разложением Чепмена — Энскога со скоростью, давлением и температурой, удовлетворяющими стационарным линеаризованным уравнениям Навье — Стокса. В таком случае нетрудно выяснить, выполняется ли условие (13.1) для решений, стремящихся на бесконечности к линейной комбинации инвариантов столкновений (линеаризованный вариант стремления к максвеллиану). [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...