Функции Разложение в бесконечные ряд

При определении значений функций Лежандра можно пользоваться их разложением в бесконечные ряды [55], методика табулирования этих функций при комплексном значении п дана в работе [91]. [c.218]

Для нахождения силовых функций подобных образований пришлось также разработать специальную главу в теории притяжения, изучая конструкцию таких силовых функций и, особенно, находя их разложения в бесконечные ряды. [c.346]

В общем случае коэффициент сжимаемости является сложной функцией температуры и плотности (или давления) и может быть представлен в форме разложения в бесконечный ряд по степеням плотности [c.25]

Если же функция аналитична в бесконечности, то для коэффициентов ее разложения в ряд по степеням 1/г выполняется оценка [c.410]

Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке п и соответственно —(п + 1) в показателе степени. Из положительности п следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов, который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с г", поскольку он соответствует большему значению степени п. (Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность — (п + 1) — п целочисленна.) Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. Мы установили, таким образом, что искомое решение представляет собой определенную с точностью до несущественного постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию, соответствующую при г = О показателю степени п. [c.670]

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [c.151]

Следует иметь в виду, во-первых, что использование табулированных функций при подчинении нагрузочного режима нормальному закону удобно при т с 4- 5 (так как при больших т число биномиальных коэффициентов и, следовательно, слагаемых равно m + 1), во-вторых, при не целых т расчетные формулы необходимо выводить с использованием разложения бинома в бесконечный ряд [106 J. Поэтому более удобными оказываются численные методы. [c.69]

Другими словами, если известно аксиальное распределение и (г) вращательно-симметричного электростатического или магнитного поля и это распределение является бесконечно дифференцируемой функцией, то можно определить поле во всем пространстве с помощью разложения в степенной ряд (3.20). Единственно, что для этого необходимо знать — аксиальное распределение потенциала. Это очень важный момент, и мы еще не раз к нему вернемся. Детальное обсуждение будет проведено в разд. 9.8. [c.68]

Это Примечательный результат. Простой факт отсутствия зависимости потенциала от координаты х позволяет устранить все функции, кроме двух, из бесконечного набора функций разложения в ряд. Физический смысл оставшихся двух функций легко понять. В самом деле, очевидно, что [c.71]

Одним из удобнейших и широко применяемых способов разложения силовой функции в бесконечный ряд является классическое разложение силовой функции тела и материальной точки (или шара, обладающего сферическим распределением плотностей) по так называемым сферическим или шаровым функциям, а поэтому прежде всего необходимо ознакомиться с элементами теории таких функций. [c.150]

Для приближенного интегрирования уравнений возмущенного движения в элементах Делонэ или в элементах Пуанкаре нужно прежде всего выразить характеристическую функцию Р через время и сами элементы, что можно сделать, как мы уже знаем, только при помощи разложений характеристической функции в бесконечный ряд. [c.697]

Применение этой теоремы для доказательства возможности разложения произвольной функции в бесконечный ряд нормальных функций можно провести в точности так же, как в 142. [c.316]

Обыкновенные уравнения, получающиеся при разложении в степенной ряд уравнений в частных производных (14.9) или (14.59), описывают изменение во времени локальных характеристик изотропной турбулентности, относящихся к фиксированной точке потока. Такие уравнения можно проверять с помощью приборов, регистрирующих пульсации тех или иных гидродинамических полей в одной точке. Эквивалентные уравнения можно также получить, помножив все члены спектральных уравнений (14.14) или (14.62) на соответствующую степень к и проинтегрировав затем по всем значениям к (в частности, уравнение (15.2) эквивалентно (14.19), а (15.10) эквивалентно (14.65)). Если, однако, мы разложим все слагаемые уравнения (14.14) или (14.62) в ряд Тэйлора по Л и приравняем соответствующие коэффициенты справа и слева, то получим уравнения, имеющие совсем другой характер. Эти новые уравнения будут связывать величины, характеризующие поведение спектральных плотностей вблизи точки к = 0, т. е. определяющие асимптотическое поведение наиболее длинноволновых компонент гидродинамических полей такие величины будут интегральными характеристиками турбулентности, зависящими от значений корреляционных функций при всех значениях г от нуля до бесконечности. Естественно, что соответствующие соотношения нельзя проверить на материале измерений за решеткой [c.131]

Разложение функции, определяющей поле акустического давления, в бесконечный ряд нормальных волн представляет собой очень полезный аналитический прием, особенно когда длина волны не мала по сравнению с глубиной воды. Обсуждение метода нормальных мод в этом разделе касается только очень простого и ограниченного случая (т. е. плоской волны, перпендикулярной к поверхности и дну моря с очень простыми граничными условиями). В общем случае для разложения функции по нормальным модам в качестве исходного соотношения используется волновое уравнение для трехмерной области поля с произвольными граничными условиями. [c.96]

Результаты (11.7.13) и (11.7.15) выражаются через элементарные функции и интегралы от них. Такая форма удобна для изучения, но не всегда удобна для использования. Для некоторых целей, например для разложения в ряд или даже для прямого вычисления, могут быть более полезными эллиптические функции и их разложения в бесконечные произведения. [c.302]

Будем считать, что точка лежит внутри поверхности. целиком находящейся внутри тела. В этом случае Г1 < г и справедливо разложение функции Грина в виде ряда (2.83). Рассмотрим уравнение (2.84) для акустически мягкого тела и представим неизвестную функцию др(г)1дп на поверхности в виде ряда (2.85). Подставив в уравнение (2.93) разложения (2.75), (2.83) и (2.85), получим соотношения (2.86), которые можно рассматривать как бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Хд. Решив численно эту систему, получим распределение колебательной скорости на поверхности, а затем по формулам (2.78), (2.79) [с учетом того, что р(г) 1 = 0] и поле в любой точке во внешней области. [c.92]

Вообще всякую периодическую, но негармоническую функцию с частотой и можно разложить в спектр, т. е. представить в виде ряда гармонических функций с частотами со- 2о>,, 3(0i,. .. (вообще пщ, где п — номер гармоники), кратными основной частоте. Чем сильнее отличается от гармонической разлагаемая функция, тем богаче ее спектр, тем больше обертонов содержится в разложении и тем больше амплитуды этих обертонов. В общем случае спектр периодической функции содержит беско-. нечный ряд гармонических обертонов (т. е. имеющих частоты, кратные частоте основного тона), амплитуды которых, вообще говоря, убывают (но не всегда монотонно) с увеличением номера обертона. Чем более плавной является разлагаемая функция, тем быстрее убывают амплитуды обертонов. Хотя разложение периодической функции в гармонический ряд дает в общем случае бесконечный спектр, но вследствие того, что обертоны спектра обычно быстро убывают, практически приходится принимать во внимание наличие только некоторого конечного (и небольшого) числа обертонов. [c.617]

Правила разложения колебаний сложной формы на простые гармонические колебания основаны на теореме Фурье, доказываемой в математике. Согласно этой теореме, любую периодическую функцию х = 1(Ы) можно представить в виде бесконечного ряда, называемого рядом Фурье [c.194]

Однако это решение будет иметь на бесконечности, вообще говоря, полюс порядка —х, и поэтому для существования аналитического в бесконечности решения необходимо потребовать выполнение дополнительных условий. Для функции (г) эти условия состоят в том, что ее разложение в ряд по степеням 1/z должно начинаться с члена XJz -. Относительно же функции g i) эти условия принимают вид [c.23]

Тогда все добавки вычисляются в явном (элементарном) виде и построение правой части в (5.9) не составит труда. Заметим, что если и уравнение (5.10) решать посредством разложения в ряд, то получается бесконечная система алгебраических уравнений. Для ее решения необходимо определить, к какому классу принадлежит система уравнений (см. 15 гл. I). Известен прием построения необходимых оценок [46] в случае, когда функция, отображающая область ДГ. является рациональной, а контур 0 — окружность. Для простоты ограничимся случаем, когда отображающая функция имеет вид [c.408]

В дальнейшем для вычисления интеграла (И 1.1.11) воспользуемся теоремой вычетов и разложением в ряд функции v в точке = —ik. Тогда, учитывая условия на бесконечности (III.1.9), найдем [c.103]

Кроме того, если начало координат лежит внутри отверстия, то всякая функция F (г), аналитическая в области материала во всех точках, включая точки на бесконечности, допускает разложение в ряд Лорана [c.218]

Эти формулы легко установить, если предварительно задаться для функций ф(Р и ф(Р разложением в ряды Лорана около бесконечно удаленной точки t = оо. Коэффициенты этих разложений определяются из граничных условий при р = а и из условий в бесконечности. [c.508]

При решении задачи с линейным потоком тепла, поставленной 112, труднее всего доказать возможность разложения любой функции в соответствующий ряд функций. С помощью разложения (6) можно показать ), что любая функция f[x) равна сумме бесконечного ряда характеристических функций, если [c.254]

Переход от изображения (3-39) к оригиналу с помощью теоремы разложения приводит к решению для оригинала в виде бесконечного ряда. Вычисление функции W r, т) для малых времен процесса затруднительно ввиду необходимости брать несколько членов ряда. Поэтому найдем решение, пригодное для малых времен процесса теплопередачи. С этой целью преобразуем равенство (3-38) и представим его в виде [c.120]

Представляет интерес метод решения обратной задачи теплопроводности, изложенный в работе [268]. Предполагается, что известная из эксперимента температура внутренних точек тела является неограниченно дифференцируемой функцией времени. При таком ограничении температура остальных внутренних точек тела и поверхности, а также потоки, проникающие через поверхность, выражаются рядами, представляющими собой разложения по производным опытных функций. Коэффициенты таких разложений являются универсальными функциями геометрии тела. Они могут быть вычислены заранее для всех возможных экспериментов. Хотя точное решение обратной задачи описывается бесконечным рядом производных экспериментальных функций, сами эти функции абсолютно [c.166]

Выражения для компонент электромагнитного поля дифрагированной (рассеянной) волны получаются в виде разложений в бесконечные ряды по электрическим и магнитным мультиполям коэффициентами разложения служат слон<пые функции параметра р = 2лг/А, (г — радиус шара, к — длина волны) и показателей преломления образующего шар вещества п и окружающей среды По- Ряды сходятся очень медленно число членов, к-рые следует учитывать, приблизительно равно 2р, поэтому прп больших р необходимо применение вычислительных машин (опубликовано иеск. таблиц). При р 1 и пр < 1 существен только первый член ряда, т. е. электрич. диполь, что приводит к закону Рэлея, причем поперечные сечения рассеяния с и поглощения а пропорциопальны и соответственно (к — показатель поглощения вещества, образующего шар). Если р 1, но пр не мало, то при пр = кл (к — целое число) ст резко возрастает до о = бяг (резонансы Ми). С увеличением р рост о и а замедляется и сопровождается постеигапю затухающими осцилляциями. При р > 1 коэффициент ослабления а + о 2лг . Индикатриса рассеяния сильно зависит от р и от п. Если размеры шара близки к X, то характерной особенностью индикатрисы является большое количество резко выраженных максимумов и минимумов, имеющих интерференционную природу. При р а 1 индикатриса сильно вытянута вперед (индикатрисный эффект Ми) и при малых углах рассеяния приобретает отчетливо выраженный дифракционный характер. Столь же резкие изменения с ростом р испытывает поляризация рассеянной (дифрагированной) волны. При нек-рых р > 1 и для нек-рых углов рассеяния она оказывается отрицательной (поляризационный эффект Ми), т. е. плоскость поляризации совпадает с плоскостью рассеяния. [c.227]

Равложенне по степеням вксцентрнситета. Итак, нами полностью решена задача о разложении в бесконечный ряд главной части пертурбационной функции для случая круговых орбит. Мы получили это разложение в форме (11.86), что можно записать кратко следующим образом [c.62]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Разложение функций — Случаи сиеци альные 307 ----- в бесконечные ряды 151 [c.560]

Как отмечалось выше, проведенное доказательство содержит логическую брешь . Действительно, мы не доказали, что выражение (5.14) применимо для молекул, начинающих взаимодействовать. Было сказано лишь, что оно имеет смысл , ибо две сталкивающиеся молекулы являются как раз двумя случайно-выбранными молекулами из бесконечного (при N- 00) множества. Как это ни странно, упЪмянутая брешь не следует иа неполноты наших представлений, а обусловлена скорее сущностью-явления. В самом деле, насколько нам известно, никто не-предложил удовлетворительного доказательства гипотезы хаоса (было разработано много формальных доказательств, базирующихся на разложении 7 -частжчной функции распределения в степенной ряд по времени столкновения, однако они едва ли могут рассматриваться как удовлетворительные). И все же мы верим, что удовлетворительное доказательство можно построить на основе двух предположений — об очень большом числе молекул (М -> оо) и о пренебрежимо малом радиусе взаимодействия (а ->-0),— если их последовательно применять с самого начала, как было сделано в случае теплового равновесия. Заметим, что> стремления к пределам N- 00 и а 0) не независимы, так как N0 должно оставаться конечным (ТУ а — порядок величины правой части уравнения (6.11)). Чтобы дать представление об осуществимости этого положения, отметим, что при N 10 и (Г - 10 " см будет N(У 10 10" см = 1 м , Т. е. величина порядка площади макроскопической поверхности, в то время как, например, N0 порядка 10 10" см = 10" см = 10" м , т, е. пренебрежимо мало по сравнению с обычными макроскопическими объемами N0 — параметр, который служит мерой порядка величины отброшенных членов они становятся все более и более важными по мере увеличения плотности газа). [c.41]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

X й( г— з), ДЛЯ массового оператора мы получаем вместо первого члена разложения сумму бесконечного ряда. В действительности мы не можем сделать этого, так как в выражение для массового оператора снова входит искомая функция 6 (г, Поэтому для получения замкнзгтой системы уравнений мы должны подставить (36) в уравнение Дайсона, т. е. фактически воспользоваться уравнением (35). Графически оно выглядит [c.478]

Следует иметь в виду, что, поскольку выражение (3.158) получено с помощью квантовой теории возмущений, суммирование появляется в разультате разложения возмущенной волновой функции в бесконечный ряд по невозмущенным волновым функциям, при этом и появляются члены, которые можно интерпретировать как переходы с участием промежуточных состояний, называемых виртуальными [81]. Хотя с использованием выражения (3.158) и были выполнены расчеты для Нг, широкое применение этого выражения затруднено из-за недостатка информации о величине и знаке всех возможных членов, которые могут давать вклад, а также ввиду возможной интерференции членов, в общем случае имеющих различные фазы [81,82]. [c.119]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]

Можно показать, что для определения величин Р и La не обязательно знать полное выражение комплексного потенциала, а достаточно иметь коэффициенты первых трех членов разложения функции й dWidz в ряд Лорана. Действительно, в теории функций комплексного переменного доказывается, что всякую функцию, аналитическую вне окружности некоторого радиуса с центром в начале координат, стремящуюся к конечному пределу в бесконечности, можно представить равномерно сходящимся рядом Лорана вида [c.233]

Это означает, что представляемая бесконечным рядом (27.8) функция pa rei как ехр( ). Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разложение ехр( -) в ряд [c.168]

Для определения бесконечного множества неизвестных коэффициентов А используем систему уравнений, получаемую путем подстановки в (XV.176) и (XV.178) /ф и (Оф osO, разложенных в ряд по системе ортогональных функций ( os i ). Приравнивая далее коэффициенты при Р т ( os ) друг другу [члены с Р 2т + 1) X X ( os d) в этих уравнениях отсутствуют], получим искомые коэффициенты Л . Практически это достигается разложением [c.451]

При теоретическом исследовании динамики объекта необходимо, чтобы разложения весовой и переходной функций имели достаточно простой аналитический вид. В этом случае обычно используют методы получения приближенных выражений для g(f) и h(t) с помощью приближенного выражения для самой передаточной функции W(p). Приближенное выражение для W(p) обычно представляет собой конечный отрезок бесконечного ряда, являющегося разложением W(p) по какой-то системе функций. Задача получения обратного преобразования Лапласа от W(p) становится в этом случае очень простой для его решения достаточно осуществить почленный переход к опигиналам в разложении функции W p). Обычно функции, по которым производится разложение W p), выбираются такими, что переход к оригиналам не вызывает никаких затруднений. Фактически, основная сложность в рассматриваемом методе аппроксимации g t) связана с отысканием удобного разложения W p) в ряд и исследованием корректности замены W(p) приближенным выражением в виде конечного отрезка ряда. Выясним, какими свойствами должно обладать это [c.109]

Вывужденвые колебания. Применим соотношение (6.73) для расчета колебаний бесконечной зажатой полосы под действием произвольной внешней нагруз1 и. Разыскивая решение системы (6.68) в виде разложения в ряд по нормальным волнам и (ж, у) = = 2Фп ( ) п (у), где (х) — скалярные функции, получим [c.204]

Аналитическое решение полученных уравнений дл5Г профиля произвольной конфигурации затруднительно. Для замкнутых профилей может быть использован прием разложения искомых функций В тригонометрические ряды по периметру сечения. Таким образом, получаются бесконечные системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих рядов. Ограничившись тем или иным числом учитываемых членов ряда, можно получить решение с требуемой степенью точности. [c.434]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...