Представление Фурье

Отсюда получаем соотношения, связывающие функции Грина в частотном представлении (Фурье) (9.21) и (9.22) со спектральной плотностью 1 [c.168]

Множитель Кп вводится для сглаживания представления Фурье функции F между известными точками % (см. разд. 8.3). Для гармоник с номером n Jf 12 можно принять /С =1. Решение уравнения движения дает следующие коэффициенты [c.695]

Теперь будем рассматривать вектор распределения как множество вигнеровских функций в представлении Фурье [c.113]

Идея динамики корреляций принадлежит И. Пригожину, выдвинувшему ее в несколько ином представлении (фурье-компоненты jV-частичной функции распределения) в монографии [c.143]

В представлении Фурье — Лапласа см. разд. 20.5. [c.303]

Решение уравнений задачи теории стационарной теплопроводности строится аналогично. Исследование нестационарных процессов осуш ествляется с помош ью интегральных принципов. Термодинамика нестационарного процесса теплопроводности устанавливается на основе представления Фурье [6], путем введения соответствуюш,его этому представлению потенциала рассеивания Ф. Из уравнения баланса энтропии следует [c.165]

Предполагается, что волновые амплитуды значительно изменяются только в течение промежутков времени, больших по сравнению с соответствующими периодами колебаний, и на расстояниях, больших по сравнению с соответствующими длинами волн. В представлении Фурье это означает, что величина Ех существенно отлична от нуля только в такой области для которой соблюдаются неравенства и (f ) < I f ) I- Здесь fi, и (fft) — максимальные значения временных и пространственных частот колебаний Ех (к, ,2) величины и д 1 ) задаются теми или иными существующими экспериментальными условиями, в частности продолжительностью (длительностью импульса) взаимодействующих групп волн. При подстановке выражения (1.32-10) для напряженности поля и выражения для поляризации с аналогичной зависимостью от / и 2 в уравнение (1.32-4) получаются основные уравнения для процессов, в которых определяющие величины могут в известных пределах обнаруживать нестационарное поведение. Более подробно это описано в приложении 6. [c.95]

Линейная оптическая восприимчивость атомарной среды. Перейдем в выражении (2,5,20) к представлению Фурье, Для этого разложим поле в интеграл Фурье [c.119]

Введем спектральное представление ) (фурье-образ) J (со) функции Fba согласно соотношению [c.367]

Поправки к коэффициентам переноса, возникающие из-за нарушения приближения хаотических фаз, можно учесть с помощью представления Фурье (п. 5.4г). Воздействие внешнего шума на динамику системы рассмотрено в 5.5. [c.291]

Представление Фурье. Для одной итерации стандартного отображения [c.326]

В первой части этой главы интегральное представление Фурье-сигналов, ограниченных во времени, было получено предельным переходом к разложению в ряд Фурье периодических сигналов. Теперь пройдем в обратном направлении к разложению Фурье периодических сигналов, применив предельный переход к разложению сигналов, ограниченных во времени. [c.159]

Однородность поля (К) можно интерпретировать как трансляционную инвариантность в статистическом смысле ( 1.1) для описания такого поля естественно воспользоваться плоскими волнами е Ч-н, волновые векторы которых q выбираются так, чтобы удовлетворить соответствующим граничным условиям в большом объеме V. Для любого члена данного ансамбля случайных полей можно строго ввести представление Фурье [c.138]

В представлении Фурье он имеет вид [c.117]

Первый член описывает флуктуации типа Орнштейна — Цернике, а второй учитывает взаимодействие между ними. Соответствуюш,ая длинноволновым флуктуациям часть статистической суммы (11.8) в представлении Фурье записывается в виде континуального интеграла (мы сохранили обозначение этой части такое же, как и для полной статистической суммы) [c.118]

Это уравнение решается элементарно, если рассматривать его во всем пространстве К (включая и нефизическую для нас область К = Д < 2го). Действительно, переходя к представлению Фурье [c.315]

Исследуем теперь с помощью линеаризованного уравнения Власова проблему собственных колебаний рассматриваемой системы в целом. Считая внешнее поле отсутствующим, получаем, как и должно быть в задачах этого типа, линейную систему однородных уравнений. Можно перейти к трехмерному представлению Фурье, но проще искать решение этих уравнений не в виде суперпозиции, а в виде отдельной изолированной волны (уравнения-то линейные, и общность рассмотрения при этом не теряется) продольного типа (поперечные колебания будут рассмотрены в задаче 35), распространяющейся, например, вдоль оси х [c.305]

Рассмотрим теперь случай непериодической функции у (t), для которой суш,ествует интегральное представление Фурье. На основании (А2.3) и (А2.5) имеем [c.347]

Результаты, представленные уравнениями (4.64) и (4.68), можно уточнить, если проделать аналогичные действия, взяв 2-ю гармонику Lui ряда Фурье (4.61), затем 3-ю и т. д., и, используя принцип суперпозиции, все полученные решения алгебраически сложить. После сложения функции и)((р) и Л(д( ( ) не получатся уже I ap-моническими. Они будут отражать характерные особенности рабочей машины и ее механизма. При использовании ЭВМ применение принципа суперпозиции не составит труда. [c.177]

Чтобы облегчить поиск решений (4.14) и (4.15), пользуются представлением функций многих переменных в виде комбинаций более простых функций, зависящих по возможности от одной переменной и выраженных элементарным образом. Для этого широко применяется метод разделения переменных, который называется также методом Фурье. Сущность этого метода можно пояснить на примере (4.14), если воспользоваться комбинацией [c.91]

Решение задачи для полосы в тригонометрических рядах. Если закон распределения нагрузки на балку-полосу не может быть представлен целой алгебраической функцией, то для получения решения задачи нагрузку следует разложить в тригонометрический ряд Фурье [c.138]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Задача разложения в спектр непериодической функции F(t) математически решается представлением ее в виде интеграла Фурье, что законно при выполнении некоторых условий, которые были сформулированы ранее. Физически эта операция получения непрерывной суммы бесконечно большого числа синусоидальных компонент сводится к регистрации спектральным прибором сплошного спектра. [c.70]

Отметим некоторые важные свойства Фурье-спектра. Так, при вращении транспаранта вокруг оптической оси будет вращаться и спектр. Изменение масштабов транспаранта приводит также к изменению Фурье-спектра, а именно к расширению при его уменьшении и сужению при его увеличении. Поступательное движение транспаранта в плоскости / на спектре не отражается. Постоянный член в преобразовании Фурье изображения представлен в спектре пучком нулевого порядка, который создает в центре плоскости 2 яркую точку. [c.51]

Согласно определению и в) эрмитов тензор (си) = (со). Используя фурье-представление 0-функции, вычислим интеграл [c.284]

Если бы мы имели дело только с монохроматическим излучением, то понятия фазовой скорости было бы достаточно для описания всех явлений, связанных с распространением электромагнитных волн. Однако монохроматическая волна, представляющая собой безграничную и бесконечно длящуюся синусоиду, неосуществима. На самом деле излучение распространяется в виде импульсов, ограниченных во времени и в пространстве (см. 1.7). Скорость распространения такого импульса можно отождествить со скоростью распространения какой-либо его точки, например точки максимальной напряженности поля. Однако при этом надо предполагать, что импульс, распространяясь, сохраняет свою форму или во всяком случае деформируется достаточно медленно. Для того чтобы судить об этом, можно представить импульс как наложение бесконечно большого числа близких по частоте монохроматических волн (представление импульса в виде интеграла Фурье). Если все эти монохроматические волны разной длины распространя- [c.86]

Переходя к фурье-представлению [c.54]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Разумеется, использование представления Фурье не ограничивается квантовой механикой. В равной степени его можно использовать в классической механике, что и осуществлялось весьма интенсивным образом. Однако оказывается, что в квантовой механике использование представления Фзфье приводит к формулировке, которая на порядок проще описания в фазовом пространстве. Поэтому практически во всех приложениях будет использоваться фурье-образ вигнеровской функции. [c.113]

Так же, как и в классической механике, пространственно однородная система определяется требованием трансляционной инвариантности вигнеровских функций [см. формулу (3.5.1)]. Если, однако, использовать представление Фурье, то это свойство будет выражаться немного иначе. Из соотношения (3.6.15) видно, что добавление ко всем координатам q произвольного вектора а, вообще говоря, приводит к изменению функции fV (ч> P)i не изм1внявтся лишь вклад, обусловленный теми значениями к, сумма KOfopHX равна нулю. Следовательно, в вигнеров-хкую функцию, описывающую однородную систему, могут давать вклад только фзфье-компоненты с волновыми векторами, дающими в сз мме нуль [c.119]

Наконец, заметим, что симметризующий оператор Ра (Га) имеет простой вид (3.8.17) только в представлении Фурье. Если бы мы использовали представление Яв (qipi,. . ., qap, [Г ]), то вид симметризующего оператора был бы чрезвычайно сложным. [c.124]

См. также другие работы брюссельской школы, приведенные в библиографии гл. 17. В более ранних работах применялись диаграммы, несколько отличающиеся от используемых здесь, так как они были приспособлены для представления Фурье ). Рассматриваемые здесь диаграммы были приведены в работе BaUs u R., Physi a, 56, 1 (1971) 62, 485 (1972). [c.267]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

Для представления и гармонического анализа функции кинематической погрешности рекомендуется использовать ряды Фурье. Так, функцию кинематической погреигности зубчатого колеса можно представить в виде [c.303]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]

В действительности мы всегда имеем более или менее сложный импульс, ограниченный во времени и в пространстве. При наблюдении такого импульса мы можем выделять какое-нибудь определенное его место, например, место максимальной напряженности того электрического или магнитного поля, которое представляет собой электромагнитный импульс. Скорость импульса можно отождествить со скоростью распространения какой-либо его точки, например, точки максимальной напряженности поля. При этом, однако, надо предполагать, что импульс нащ сохраняет при распространении свою форму или во всяком случае деформируется достаточно медленно или периодически восстанавливается. Для выяснения этого обстоятельства мы можем представить импульс как наложение бесконечно большого числа близких по частоте монохроматических волн (представление импульса в виде интеграла Фурье). Если, например, все эти монохроматические волны разной длины распространяются с одной и той же фазовой скоростью (среда не имёет дисперсии), то с той же скоростью перемещается и импульс как целое, сохраняя неизменной свою форму. [c.428]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...