Сходимость ряда теории возмущений

С учетом возмущения гамильтониан системы зависит от угловых переменных (3.1.12) и, как мы видели в гл. 2, резонансы между степенями свободы могут нарушить сходимость рядов теории возмущений. Тем не менее можно доказать теорему (теорема KAM), согласно которой при выполнении определенных (перечисленных ниже) условий существуют инвариантные торы [c.185]

Коэффициенты аи убывают медленнее, чем Ьи, а при рациональных а некоторые из них не определены. В этом и состоит проблема малых знаменателей, препятствующих сходимости рядов теории возмущений. Если а зависит от /1, то величину I нужно выбирать так, чтобы ни один знаменатель не оказался резонансным. Для этого необходимо соответствующим образом изменить процедуру разложения, а также потребовать достаточно быстрого убывания коэффициентов Ьи- Доказательства теоремы КАМ чрезвычайно сложны и мы не будем их здесь излагать. Основная идея доказательства состоит в изменении начальных условий на каждом шаге разложения таким образом, чтобы все время оставаться достаточно далеко от всех резонансов и тем самым иметь возможность продолжать разложение. [c.187]

Возможно, что в подобных обстоятельствах и следует искать объяснение вопроса сходимости рядов теории возмущений. [c.126]

Во-первых, все рассуждения о суммировании диаграмм носили чисто формальный характер, ибо основывались на определенных предположениях об аналитических свойствах искомых функций. В частности, неявно предполагалась сходимость ряда теории возмущений в точке = 0. Фактически, однако, это. предположение может оказаться и несправедливым. Так, например, в квантовой электродинамике р д теории возмущений, по-видимому, является асимптотическим [1]. [c.278]

Здесь мы намерены дать такое доказательство, основанное на идеях, предварительный вариант которых был изложен в двух более ранних работах автора 112]. Будет развит аппарат теории возмущений, который позволит вычислять запаздывающие функции г в любом порядке по константе связи путем решения методом последовательных приближений уравнений условия унитарности с определенными граничными условиями. Будет строго доказано, что этот формализм приводит к конечным результатам во всех конечных порядках теории возмущений. Однако о важнейшем вопросе сходимости рядов теории возмущений мы не получим никаких сведений. Таким образом, всюду в дальнейшем любое утверждение типа Л справедливо в теории возмущений следует понимать Л справедливо в любом конечном порядке теории возмущений . [c.12]

Хотя мы оставили в стороне вопрос о сходимости рядов для возмущений, но на основании результатов, полученных в последнее время А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом [1], можно думать, что эти ряды сходятся для большинства начальных условий из интересующей нас области движения спутника. Во всяком случае, если иметь в виду ограниченные промежутки времени, то, как показывает сравнение теоретических выводов с наблюдениями, построенная в таком виде теория хорошо представляет движение спутника на достаточно больших временных интервалах. [c.239]

На вопрос о сходимости самого ряда (1.31) ответить много сложнее в 5 этот вопрос будет исследован более подробно. Ограничимся общепринятым суждением ряд теории возмущений расходится, если возмущающий потенциал имеет хотя бы одно связанное состояние. [c.17]

Чтобы решить вопрос о сходимости ряда теории возмуш,ений, можно, как и в 10.1, оценить время релаксации т при рассеянии на флуктуациях потенциала Т (г). Упомянутое разложение можно считать справедливым, если длина свободного пробега электрона или иного возбуждения значительно превышает длину корреляции случайного поля ( 3.3). Это эквивалентно требованию, чтобы неопределенность волнового числа электрона была меньше размера спектральной области, в которой сосредоточен потенциал возмущения. В таких условиях удобно исходить из уравнения Шредингера в импульсном представлении. [c.557]

Метод предполагает такую перенормировку разлагаемого в ряд оператора, которая заведомо приводит к более быстрой его сходимости. Так, уже первый член нового разложения является суммой бесконечного числа членов обычного ряда теории возмущений. Как будет показано, аналогичными свойствами обладают и разложения, приводимые далее для задачи об эффективных параметрах. Некоторое отличие методов связано с введением в нашей задаче свободного параметра, разумным выбором которого можно улучшить приближенное решение. [c.149]

Дальнейшие приближения (/>1) можно получить последовательно по аналогии с изложенным выше. Их практическое применение сопровождается прогрессивным возрастанием объема вычислений, который становится сопоставимым с прямым использованием уравнений (7.13), дающих теоретически точные результаты при устранении необходимости особого исследования, в каждом конкретном случае сходимости рядов (7.19) и (7.20), чего, строго говоря, требует теория возмущений. [c.132]

Это выражение представляет собой формальное решение уравнения Лиувилля в виде бесконечного ряда, каждый член которого содержит лишь операторы U° (t), X и может быть явно вычислен. Подобное разложение совпадает с формальным разложением теории возмущений по взаимодействию. Разумеется, разложение имеет смысл лишь в случае сходимости ряда. В общем случае его сходимость доказать невозможно этот вопрос мы оставим открытым, рассматривая ряд (16.1.12) как своего рода исходное выражение для дальнейших преобразований (см. также разд. 6.1). [c.159]

В. И. Арнольд . Преодолев значительные математические трудности, характерные для исследований сходимости рядов, встречающихся в задаче трех и многих тел, путем применения процесса последовательных канонических преобразований и исключения частот, соответствующих быстро убывающим малым делителям, они построили строгую теорию возмущений [c.115]

По существу, вековое множество — это множество тех торов невозмущенной интегрируемой задачи, которые распадаются при добавлении возмущения порядка е. В типичной ситуации В всюду плотно в 0 с этим связана хорошо известная трудность — появление малых делителей , препятствующих не только сходимости, но даже формальному построению рядов классической схемы теории возмущений. [c.123]

Секулярные члены. Каноническая теория возмущений позволяет получить решение уравнений Г амильтона для тех значений , которые лежат в области т сходимости ряда (28.7). Однако в реальной ситуации приходится ограничиваться вычислением конечного числа членов ряда. Обрывая процесс последовательных приближений, мы получим решение, область применимости которого ограничена отрезком, меньшим г. Представить решение для всех I т конечным числом слагаемых не удается. [c.314]

Но в классической теории возмущений, основанной на применении метода последовательных приближений, приводящего к рядам, расположенным по степеням возмущающих масс, уже в первом приближении получаются члены не только чисто тригонометрические, но и вековые (т. е. пропорциональные какой-либо целой степени времени), а также смешанные (содержащие произведения степени времени на тригонометрическую функцию), и такие же члены возникают и во всех последующих приближениях. Поэтому обрывками подобных рядов, сходимость которых к тому же остается неизвестной, для решения вопросов космогонического характера пользоваться нельзя, что и привело к необходимости вводить в небесную механику чисто математические задачи о свойствах бесконечных рядов, о их сходимости и об оценках их сумм, образуемых некоторым конечным числом первых членов. [c.329]

В классической небесной механике вопрос о сходимости получаемых в теории возмущений рядов вообще не ставился, и пригодность получаемых приближений проверялась исключительно путем сравнения результатов вычислений с данными, получаемыми при помощи наблюдений. [c.668]

Характер сходимости рядов классической теории возмущений [c.822]

Теория возмущений, методы которой от Лапласа и Лагранжа и до наших дней господствуют в исследованиях по небесной механике, исходит из разложений координат в ряды по степеням малых планетных масс. Как же обстоит дело со сходимостью этих разложений [c.494]

Сходимость рядов в теории возмущений [c.499]

СХОДИМОСТЬ РЯДОВ в ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 501 [c.501]

Сходимость рядов в теории возмущений (продолжение) [c.510]

Исследования Брунса относятся к ряду (6), в то время как фактически в теории возмущений ряды имеют форму (5) или (4 ). Из сходимости ряда (6) следует, что (5) также сходится, но ряд (5) не обязательно должен расходиться для тех значений v, которым соответствуют точки расходимости ряда (6). Действительно, тригонометрические множители в ряде (4) способствуют тому, чтобы решение этого дифференциального уравнения можно было представить аналитической функцией отношения средних движений п и п ). [c.510]

Метод П. а. применяют в разл. фпз. задачах для улучшения свойств решений, полученных приближённы-Л1и методами. Метод позволяет ускорить сходимость ряда теории возмущений по малому параметру, аналитически продолжить полученное решение за пределы круга сходимости исходного ряда, осуществить численное решение ур-ний, в этом случае П. а. имеет преимущество по сравнению с методом Ньютона. [c.520]

По тем же причинам процедура интегрирования нелинейных систем, основанная на групповом подходе (см. п. 4, П1.2 и п. 2, IV. 1), также нуждается в модификации. Дело в том, что для бесконечно.черных алгебр Ли теряет общепринятый смысл понятие группового элемента (вместе с тем, их нильпотентные подалгебры могут быть экспоненциированы, и элементы Л из (III. 2.16) существуют), и поэтому элементу (III. 2.17) нельзя, вообще говоря, придать строго определенный смысл. В силу этого решения уравнений (III. 2.16) следует рассматривать в виде ряда последовательных приближений, снабдив операторы L+ или (что то же самое, функции ф+аф-а) параметром малости Я. Тогда, как и в рамках методов, приведенных в настоящей главе, центр тяжести решения нелинейных систем типа (III. 2.11), связанных с бесконечномерными алгебрами Ли, переносится в область исследования условий сходимости рядов теории возмущений. [c.185]

Из рассмотрения 3 следует, что осцилляции волновой функции внутри потенциала обусловлены наличием связанных состояний. Следовательно, если потребовать, чтобы волновая функция не имела осцилляций, и построить соответствующий псевдопотенцпал, то он будет вполне пригодным если же вдобавок потребовать, чтобы функция была максимально гладкой, то он окажется наилучшим. Это будет означать и хорошую сходимость рядов теории возмущений. [c.59]

Можно сказать, что выражение (4.74) является новым, по отношению к критерию Баргманна ( 4), критерием сходимости ряда теории возмущений. При построении (2.153) из (2.56) мы фактически использовали именно (4.74). [c.172]

В значительной мере непрерывный предел может быть сведен к пределу фейнмановских диаграмм. Поэтому важно установить сходимость эвклидовых пропагаторов (функций Грина). Стратегия, которой мы будем следовать в случае бозонной материи, состоит в сведении задачи к установлению почленной сходимости рядов теории возмущений во внещнем калибровочном поле. Это возможно благодаря наличию равномерной оценки для функций Грина, обусловленной диамагнитным неравенством и достаточной аналитичностью по константе связи. [c.121]

Эти внутренние пороки концепции псевдопотенциала выходят за рамки допустимого при рассмотрении материалов, в которых состояния электронов проводимости нельзя отделить от других электронных состояний атома или иона. В случае переходных металлов, например, атомные с -уровни не полностью заполнены и поставляют электроны в зоны, расположенные вблизи уровня Ферми. Состояния, отвечающие таким уровням, нельзя рассматривать как остовные, т. е. подлежащие исключению из псевдовол-новой функции -зоны путем вычитания соответствующих проекций. Напротив, такие состояния следует явно включать в рассмотрение. Другими словами, оператор псевдопотенциала становится столь существенно зависящим от энергии и орбитального квантового числа, что уже не может удовлетворить основным требованиям сходимости рядов теории возмущений приближения ПСЭ в задаче о рассеянии и др. [c.465]

Достаточно общая процедура вычисления эффективной проводимости связана с применением метода возмущений или перенормировок и приводит к бесконечному ряду, суммирование которого в общем случае представляет собой трудно разрешимую задачу. В большинстве случаев остается открытым вопрос о сходимости ряда теории возмущений, если флуктуации проводимости достаточно велики. Сложность и громоздкость выражений для членов ряда возмущений затрудняют анализ его структуры и выбор методов суммирования ряда. В этом смысле определенные перспективы могут быть связаны с методом Херринга, в соответствии с которым все флуктуирующие функции представляются рядами Фурье и исходные уравнения содержат искомые амплитуды этих разложений. Редукция к нелинейной системе уравнений также приводит к ряду, но, как показано В. А. Кудиновым и Б. Я. Мойжесом [16], структура ряда относительно проста. Ее анализ позволил авторам предложить приемы приближенного суммирования итерационного ряда, приводящие к довольно простым формулам для эффективной проводимости. Этот анализ оказался полезным и для выбора пробных функций при построении вариационных оценок для эффективных характеристик. Далее излагается метод Херринга и результаты его развития в работе [16]. [c.161]

Таким образом, возмущенную задачу можно считать решенной , если ряды теории возмущений корректно определены и являются сходящимися. Из их сходимости вытекал бы ряд важных следствий (в частности, вечная устойчивость Солнечной системы). Забегая вперед, скажем о разочаровывающем результате Пуанкаре в общем случае из-за наличия так называемых малых делителей ряды теории возмущений расходятся. Более того, расходятся ряды усовершенствованной теории возмущений, предложенной Пуанкаре и Болином, в которой решения разлагаются в ряды не по степеням е, а по степеням у/ё. Заметим, что если ряды теории возмущений сходятся, то уравнения движения имеют полный набор интегралов в инволюции, которые можно представить в виде сходящихся степенных рядов по е (или у/е). [c.15]

Так или иначе, ясно, что процесс самосогласования потенциала эквивалентен суммированию ряда теории возмущений типа (3.63) или (3.64). Следовательно, вопросы сходимости теории возмущений переходят из чисто академической проблемы во вполне прикладную задачу сходимости итерационных процессов прп самосогласованпи кристаллического потенциала. [c.106]

Чтобы избежать таких математических тонкостей, как проблема сходимости ряда со случайными слагаемыми, можно попытаться вычислить диагональные элементы функции Грина (9.110) и несколько иным образом. К сожалению, пользуясь методом когерентного потенциала и его обобш,ениями ( 9.4 и 9.5), мы всегда подразумеваем, что рассматриваемые состояния делокализованы [76]. Пусть, однако [77—79], мы явно записали цепочку уравнений для слагаемых (9.120) перенормированного ряда теории возмущений. Опустив члены порядка К , получим первое из этих уравнений в следующем виде [c.425]

Попытки суммирования всего ряда теории возмущений, или по крайней мере ускорения его сходимости, связаны с методом перенормировок, развитым в квантовой теории поля. Здесь уместно отметить работу [28], где изложены результаты Буре, В. И. Татарского и Гериенштейна, рассматривавших процесс распространения волн в средах со случайными неоднородностями. Эффективность метода перенормировок возросла с использованием предложенного В. М. Финкельбергом разделения многочастичных взаимодействий на локальные и нелокальные. Фактически это эквивалентно выделению в каждом члене ряда возмущений некоторой его части, ответственной за взаимодействие определенного рода, и последующему суммированию всех членов такого типа. Этот подход, получивший в работах Т. Д. Шермергора [37] и Г. А. Фокина [33] название сингулярного приближения, позволил авторам рассмотреть многие задачи теории упругости микронеоднородных сред, определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных диэлектриков. Было установлено, что аналогичные результаты можно получить без выписывания ряда возмущений, если отделить сингулярную и формальную производные функции Грина в основном функциональном уравнении. Это приближение, получившее название обобщенного сингулярного приближения в комбинации с модификацией метода перенормировок, позволило установить общность многих приближенных результатов, в частности метода самосогласования, метода изучения сильно изотропных сред. Была выяснена связь сингулярного приближения с методами построения вариационных границ для эффективных характеристик. [c.107]

Вопросы второй и третьей категории до сих пор мало пссле-дованы, хотя часто появляются важные результаты. Моично вспомнить, например, исследования о рядах Эйлера и их значении для так называемых механических квадратур. Подобные исследования есть и в теории возмущени . Между тем здесь перед нами открывается непочатый край работы, где при помощи существующих методов исследования сходимости, несомненно, можно получить в высшей степени важные выводы для астрономии. [c.464]

В возникающей здесь проблеме малых знаменателей долгое время не наблюдалось никакого прогресса. Лшпь в последнее время К. Зигелю [66], А. Н. Колмогорову [67], В. И. Арнольду [12] удалось разрешить ряд задач, связанных с указанными трудностями. В классической теории возмущений все приближения вместе расходятся. Более сильный прием теории возмущений может основываться на методах типа Ньютона, обеспечивающих быструн> сходимость. (Прим. перев.) [c.494]

После того как былн выяснены особенности свойства сходимости ряда (6), можно было бы поставить вопрос, имеют ли вообш е получающиеся в теории возмущений ряды действительный математический смысл Если бы для достижения этого захотели бы ограничить средние движения, а значит, также и V, такими значениями, для которых ряд (6) сходится, тогда на практике можно было бы получить этим путем сколь угодно хорошее приближение, так как точки сходимости образуют повсюду плотное множество. Но в действительности на этом пути мы только переместили бы трудности, а не преодолели бы их. По теореме Коши— Пуанкаре известно, что координаты в задаче трех тел суть аналитические функции постоянных интегрирования, и едва ли можно объяснить, как можно использовать решение дифференциальных уравнений, которые не обладают этим свойством, для определения постоянных интегрирования из наблюдений. [c.504]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...