Асимптотические решения первый метод

Асимптотические решения первый метод [c.46]

Теперь мы дадим подробную теорию асимптотических решений первого рода, которые могут служить решениями для задач о собственных значениях класса I (стр. 147). Выводы, к которым мы придем, подтверждают результаты, полученные описанными выше эвристическими методами, дальнейшие же сведения относительно этих решений можно получить в результате применения точных методов. [c.161]

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. [c.8]

И принес наибольшее количество эффективных решений. Первые его применения были даны в работах [137, 162, 163, 183]. Этот метод нашел отражения и во всех книгах, посвященных теории оболочек вращения. Особенно последовательно и полно использована малость в монографии [81 ]. Обсуждаемый асимптотический подход, в сущности, эквивалентен методу расчленения, хотя это обстоятельство и не всегда бросается в глаза при чтении литературы по теории оболочек вращения. Дело в том, что в ней обсуждаются преимущественно случаи п = О, и = 1, когда основное напряженное состояние строится элементарно, а, следовательно, асимптотический метод используется лишь для построения (более точного, чем в главе 8) прог стого краевого эффекта. Если п 2, но не слишком велико, то в процессе применения обсуждаемого варианта асимптотического метода построение основного напряженного состояния и построение простого краевого эффекта превращается в почти самостоятельные задачи, и черты сходства с методом расчленения проявляются более отчетливо. [c.210]

Высшие ВКБ-приближения. Асимптотическое решение (31.12) определяет первое приближение ВКБ, широко используемое в теоретической физике [49, 152, 242, 264, 265]. Получим высшие ВКБ-приближения, используя метод последовательных диагонализаций гамильтониана [141]. [c.348]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Говоря математически, если мы прилагаем к изучению задачи устойчивости уравнение Орра—Зоммерфельда и ищем четыре асимптотических решения, как в гл. 3, то первым методом мы найдем четыре пригодные решения. Однако ограниченность решения в бесконечности немедленно исключает два решения типа (3.4.9). [c.128]

Для класса I первый асимптотический метод дает адекватные решения, поскольку граничные точки находятся на конечных расстояниях от критической точки у. и, следовательно, можно использовать асимптотические решения, получаемые при помощи этого метода. Все, что остается,— это определение надлежащих ветвей. [c.147]

Для решения уравнений вида (9.1) с достаточно малыми [х разработан ряд асимптотических (приближенных) методов, из которых в настоящей главе будут изложены два метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля [186]) и метод Пуанкаре [184, 185]. Первый из них дает возможность найти асимптотические решения [c.652]

Однако строгое математическое доказательство того факта, что формулы лучевого метода в случае регулярных лучевых полей являются асимптотическими разложениями решений рассматриваемых краевых задач, представляет собой трудную и в большинстве случаев еш,е не решенную проблему. Несмотря на отсутствие строгих доказательств, ни физики, ни математики не сомневаются в справедливости асимптотических формул лучевого метода. Эта уверенность основывается, во-первых, на том, что в ряде случаев такие доказательства все же получены (см. 6 гл. 1 и вводные замечания к гл. 10, где приводятся соответствуюш,ие ссылки), во-вторых, на том, что построение, формул лучевого метода согласуется с физическими представлениями о распространении коротких волн, и, в-третьих, на том, что эти формулы хорошо подтверждаются экспериментом. [c.11]

Значение эйконала т+(М, у) — у(—у) в этой стационарной точке совпадает (тоже с точностью до членов порядка 0( -л ,/б)) значением эйконала отраженной волны, найденным с помощью лучевого метода. Если расстояние к от рассматриваемой точки М до границы свет —тень удовлетворяет неравенству (5.1), то интеграл 2 (см. (2.8)) можно асимптотически вычислить по методу стационарной фазы ). Первое слагаемое в формуле (2.7) /1 имеет лучевое разложение, совпадающее с разложением падающей волны, 2, будучи формальным решением уравнения Гельмгольца, имеет эйконал отраженной волны, и сумма этих слагаемых обращается в нуль на 5. Из того, что по лучевому разложению падающей волны лучевое разложение отраженной волны определяется однозначно (см. гл. 1), следует, что в области (5.1) асимптотическое разложение 2 совпадает с лучевым разложением отраженной волны. [c.401]

Примеры, рассмотренные в этой главе, показали, что метод многих масштабов применим как к задачам, которые могут быть изучены с помощью метода сращивания асимптотических разложений, таким, как задача о космическом корабле Земля—Луна, так и к задачам, которые не могут быть изучены с помощью последнего метода, таким, как задачи о нелинейных колебаниях. Метод многих масштабов дает одно равномерно пригодное разложение в отличие от метода сращивания асимптотических разложений, в котором рассматриваются два разложения, подлежащих сращиванию. Хотя и в методе многих масштабов обыкновенное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение в частных производных, получение первого приближения не представляет больших трудностей, чем решение первого внутреннего уравнения. Однако трудными для [c.324]

Как было отмечено, для применения описанной в п. 7.2 методи ки прежде всего нужно установить структуру оптимального управление в возмущенной задаче. В данном случае эта структура идентифицирует ся решением базовой задачи. Поэтому первый этап алгоритма асимптотического решения задачи (8.1), к изложению которого мы переходим состоит в нахождении оптимального управления в задаче (8.2). Заметим что эта задача в отличие от исходной является линейной. [c.38]

Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить более простой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим приближением по параметру е решения x(t, е) называется такая функция x t, е), что разность x(t, е)—x(t, е), называемая остаточным членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения t, если параметр e- l. Одним из достоинств метода усреднения является то, что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем, совпадающие при t to, асимптотически близки на интервале /—В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит к неравномерно пригодному разложению решения [78]. Ограничимся далее нахождением решения в первом приближении метода. [c.167]

Широкое распространение при решении задач тепломассообмена получили приближенные методы. Из первой главы следует, что эти задачи, как правило, содержат нелинейные уравнения в частных производных. Применение классических методов математической физики, описанных в гл. 4, 5, 6, эффективно лишь при решении относительно простых линейных уравнений. Поэтому велика роль приближенных методов, с помощью которых можно решать нелинейные уравнения. Среди наиболее эффективных приближенных методов, применяемых к задачам тепломассообмена, можно указать интегральные методы, методы последовательных приближений, асимптотическое методы. [c.267]

Применяя метод разделения переменных, можно получить выражения для рассеянного поля в виде суммы собственных функций, которая хорошо сходится лишь для рассеивателей небольших по сравнению с X размеров. Однако, применяя преобразование Ватсона для превращения суммы в контурный интеграл, из этих рядов можно получить асимптотическое разложение. Решение, как правило, получается в виде суммы двух членов, первый из которых представляет собой геометрооптический член, а второй —дифракционный, отвечающий за образование дифракционных полей одного из четырех типов. [c.35]

Чтобы использовать асимптотические методы Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского при изучении одночастотных колебаний нелинейных или параметрических систем, необходимо сделать некоторые допуш,ения. Во-первых, в исходной системе, движение которой описывается уравнением (4.34), возможны гармонические незатухающие колебания с какой-либо частотой й . Во-вторых, равновесие исходной системы (4.34) возможно только при тривиальном решении [c.176]

По аналогии с решением задачи о динамической устойчивости системы с двумя степенями свободы рассмотрим динамическую устойчивость двойного физического маятника в первом приближении асимптотическим методом. Так как в основе этого метода лежит предположение, что время корреляции возмущений /i (О и /з (О значительно меньше времени релаксации амплитуд и фаз обобщенных координат Ф1 и фа, а время наблюдения за системой значительно превышает (l/ j, 2 i, 2), то уравнения динамической устойчивости, по первому приближению системы (6.103) получаем путем приравнивания к нулю аддитивных не- [c.269]

В работе [5] изложен аналитический метод определения критических скоростей ротора турбомашины с учетом упругой нелинейности совмещенной опоры. Частоты свободных колебаний ротора, выполненного по двухконсольной схеме (см. рис. 1), определены в результате решения системы нелинейных дифференциальных уравнений движения асимптотическим методом [6] в первом приближении и представлены в виде [c.132]

Трещина по дуге эллипса или параболы. Полученные в предыдущем параграфе аналитические решения имеют удовлетворительную точность лишь при малых значениях параметра X (в среднем X С 0,6). Увеличение числа приближений приводит,с одной стороны, к довольно громоздким выкладкам, а с другой — несущественно расширяет диапазон применимости решения. Поэтому приведенные асимптотические решения могут служить лишь первыми оценками, позволяющими получить представление о порядке исследуемых величин, характере их изменения и т. д. За исключением крайне редких случаев, когда возможны точные аналитические решения, для получения точных результатов необходимо обращаться к численным методам решения интегральных уравнений с использованием ЭВМ. В качестве иллюстрации применения квадратурного метода решения сингулярных интегральных уравнений рассмотрим задачу о распределении напряжений около гладкой криволинейной трещины в пластине при всестороннем растяжении ее на бесконеч- [c.54]

В 4.2 рассматривается задача теории упругости 5з о взаимодействии шара с внутренней поверхностью сферического упругого слоя, внешняя поверхность которого жестко закреплена. Такая задача достаточно хорошо моделирует работу сферического самосмазывающего подшипника, особенно при нагрузках, когда размер площадки контакта соизмерим с шириной подшипника. Для решения используется метод сведения парного ряда-уравнения к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Предполагая, что толщина слоя мала, а радиусы шара и внутренней сферы слоя близки, получено асимптотическое решение БСЛАУ. В результате получены простые удобные для инженерных расчетов формулы для контактных напряжений, размера области контакта и жесткости системы штамп-сферический слой. [c.17]

Метод решения аналогичен методу, развитому автором при исследовании установившихся колебаний бесконечно длинных цилиндрических оболочек 10] и цилиндрических оболочек конечной длины 12]. Предполагалось, что устано-виласть стационарная волна. Затем перемещения выражались в виде бесконечного ряда по формам свободных колебаний. Усечение этого ряда производилось на основе анализа кинетической энергии и энергии деформации при всех возможных вариантах взаимодействия между формами движения. В результате находится однородное асимптотическое разложение, при помощи которого учитываются все эффекты,, существенные для первого нелинейного приближения. Решение следует считать точным для динамических процессов, при которых длина волны в продольном направлении не слишком мала по сравнению с радиусом оболочки. [c.64]

Рассматриваются задачи о продольных нестационарных колебаниях вязкоупругого стержня конечной длины, удар вязко-упругого стержня о жесткую преграду и распространение волн напряжений в полубесконечном вязкоупругом стержне. В качестве модели, описывающей вязкоупругие свойства материала стержня, используется обобщенная модель стандартного линейного тела, содержащая дробные производные различных порядков. Задачи решаются методом преобразования Лапласа, при этом в отличие от традиционных численных подходов характеристическое уравнение не рационализируется, а решается непосредственно с дробными степенями. Проведено численное исследование указанных задач. Временные зависимости напряжения и контактного напряжения в стержне, соответствующие первой и второй задачам, проанализированы для различных значений реологических параметров порядков дробных производных и времени релаксации. Исследования показали, что стержень не прилипает к стенке ни при каких значениях реологических параметров. В задаче о распространении волн напряжений получены асимптотические решения вблизи волнового фронта и при малых значениях времени. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, протекающие в вязкоупругих материалах. Все зависит от соотношения порядков производных, стоящих слева и справа в реологическом уравнении. [c.281]

Н. Г. Четаев (1945) эти результаты получил на основании второго метода. В сомнительных случаях (когда правые части дифференциальных уравнений не зависят от ) Ляпунов либо доказывал вторым методом асимптотическую устойчивость нулевого решения либй неустойчивость (при этом решения в окрестности нулевого решения построить мы не умеем и по сей день), либо в сочетании первого метода (построение интегральной поверхности — интегрального множества) и второго доказывал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Но в этом случае он мог бьг построить и общее решение в окрестности нулевого решения, откуда следует и неасимптотическая устойчивость нулевого решения рассматриваемой системы. Мы видим, таким образом, что в случае асимптотической устойчивости нулевого решения удается построить функцию Ляпунова [c.73]

На каждой из этих интегральных поверхностей при достаточно малом с находится одно из периодических решений (16). Вторым методом Ляпунов доказал асимптотическую устойчивость периодических решений (16) в классе тех решений, которые начинаются вблизи этих периодических решений и расположены на одной поверхности с соответствующим периодическим решением. Как видим, он здесь воспользовался первым методом, так как строил периодические решения (16), но не построил общего решения в окрестности нулевого решения. Можно, однако, показать, что в этом случае Ляпунов мог бы (не обращаясь ко второму методу) построить общее решение по первому методу, откуда получил бы и факт неасимптотической устойчивости нулевого решения. [c.77]

Мы не будем останавливаться и на других сомнительных случаях, рассмотренных Ляпуновым, при исследовании которых основную роль играет первый метод. Отметим только, что как в прежних системах, так и в этих последних имеются случаи, когда нулевое решение является асимптотически устойчивым и это доказывается только вторым, методом. Во всех этих случаях мы не умеем строить решения в окрестности точкк покоя в промежутке t > о- Только в одном случае это удалось сделать в последние годы. [c.79]

В заключение мы отметим метод, созданный Н. Н. Боголюбовым. В 1945 г. Боголюбов предложил для систем весьма общего вида новый метод доказательства существования интегрального многообразия и изучения качественной картины поведения интегральных кривых в окрестности этого многообразия. Метод Боголюбова позволяет и фактически построить решение в окрестности интегрального многообразия, т. е. этог метод является значительным развитием первого метода или новым первым методом. Кстати, здесь у Боголюбова, как и у Ляпунова, возникают характеристические числа, совокупность которых и определяет качественную картину вблизи некоторой точки или периодического решения. И если имеется т характеристических чисел с отрицательной вещественной частью, то имеется т-параметрическое семейство решений, асимптотически приближающихся к стационарной точке или периодическому решению. Работы в этом направлении, объединяемые так называемой киевской школой, сейчас нелегко и обозреть. По изучению интегральных многообразий глубокие исследования провел Ю, А. Митропольский и его ученйки, которые рассматривали вопросы существования интегральных многообразий и их устойчивость как в смысле Ляпунова, так и при вариации правых частей дифференциальных уравнений и притом для весьма разнообразных > колебательных систем. Здесь устойчивость интегральных многообразий в смысле Ляпунова является аналогом того, что мы видели во всех сомнительных случаях у Ляпунова (но у Боголюбова и Митропольского рассматриваются системы более общего вида). Устойчивость же интегральных многообразий при вариации правых частей уравнений является задачей нового типа. [c.82]

Методы исследования орбит существенно определяются характером полета Можно выделить орбиты многооборотные и орбиты с небольшой угловой дальностью. К орбитам первого типа относятся орбиты спутников Земли, Луны, планет, совершающих за время своего существования большое число витков. Исследование и проектирование таких орбит связано с использованием методов, позволяюш их выявлять картину эволюции параметров оскулирующей орбиты с течением времени под влиянием возмущаюнщх факторов, таких, как нецентральность поля тяготения, воздействие атмосферы, возмущения от других небесных тел, влияние светового давления и пр. Задача расчета процесса эволюции может рассматриваться как задача нелинейных колебаний, и широкое применение различных методов осреднения и техники построения асимптотических решений может обеспечить создание простых и эффективных методик как для пр.едварительного, так и для уточненного расчета. [c.272]

Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье — Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений путем линеаризации при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рейнольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительны у1 степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько зшрощенных уравнений Навье — Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь первым приближением в методе разложения решений уравнений Навье — Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены 2 и 3. [c.508]

Л. Б. Именитов [2.12, 2.13] (1969) исследовал собственные колебания прямоугольной шарнирно опертой пластины, исходя из трехмерных уравнений динамической теории упругости, к которым применяется асимптотический метод интегрирования. Напряженное состояние пластины представлено в виде суммы основного медленно затухающего напряженного состояния и вспомогательных быстро затухающих от краев напряженных состояний. Для их определения применяются итерационные процессы. При этом первое приближение соответствует классической теории, вычислены также второе и третье, уточняющие приближения. Показано, что при отношении ширины квадратной пластины к толщине alh=25 асимптотические поправки к частоте по классической теории пластин малы. Из сравнения с точным решением показана также малость погрешности асимптотического решения даже при alh=6. [c.147]

Н. Д. Векслер и У. К. Нигул [3.20, 3.58] (1966) исследовали поведение сферической оболочки, внезапно нагруженной в полюсе. В прифронтовой области строятся асимптотические решения, следуя W. Flugge и Е. Е. Zaja [1.163], а при удалении от фронта применяется метод конечных разностей. Обнаружено, что при удалении от первого фронта существуют сильные осцилляции малой амплитуды, а при удалении от второго фронта движения носит экспоненциальный характер. В работе [3.19] приведены численные результаты для оболочки с /i// =l/25. Исследуется возможность перехода от расчета по уточненной теории типа Тимошенко к расчету по теории Кирхгофа—Лява. Анализируется характер напряженного состояния вблизи места приложения нагрузки и влияние размера области, занятой нагрузкой. [c.225]

Мексин (1946 Ь) решал уравнение (2.1.5) асимптотическими методами с использованием того, что X велико. В своем первом приближении (дальше он не пошел) Мексин фактически рассматривает (2.2.3) как приближение для (2.1.5). Это можно усмотреть, изучая его решение и граничные условия. Таким образом, асимптотическое решение должно оправдываться тем, что к велико. Оказывается, что к приблизительно равно тт. Эта величина может показаться слишком малой, но часто такие значения можно считать достаточными для метода асимптотических приближений. [c.34]

Улучшенные решения, свободные от этих трудностей, были недавно даны Толлмщ.ом (1947) для нейтралького случая и для действительных значений у. Более полная теория была дана Вазовым (1953Ь), который разбирает общий комплексный случай. Однако, в отличие от двух предыдущих методов, ни один из этих методов не содержит алгоритма для вычисления приближений высшего порядка с их помощью получены только первь е член,.] асимптотических решений. Подробности этих исследований будут изложены в 8.8. [c.146]

Для не слишком сложных функций / (eJi) (например, для случая, когда f (ej ) колоколообразная кривая) в [15] предложена оценка для 5, основанная на развитии приведенных пыше геомет-рооптических построений. Для функций f(x), не имеющих изломов (точек разрыва первой производной), в [88] из асимптотического решения системы уравнений метода поперечных сечепий (см. [45]) найдены выражения для б при е- -0. На рис. 2.15 приведена зависимость в от 1/е для f=lH—thex и р =0,7 1,0 1,5 [c.61]

Существуют два метода вычисления коэффициентов Сп. Первый метод — это интегрирование уравнений (4.12) при заданных начальных условиях. Он будет использован пами при решении задачи об отражении заданного полутеневого поля от гладкого тела. Отраженное поле также будет нолутеневым, и начальные значения Сп для отраженного поля берутся и.э краевых условий на поверхности тела. Второй метод — сопоставление с известной неравномерной асимптотикой строгого решения ок используется при построении краевой волны в задаче днфракции произвольного лучевого поля на ребре. Назовем его .методом асимптотического сшивания . При решении вторым методом поле представляется в виде суммы двух полутеневых полей (отвечающих двум границам свет — тень ГО рещения), краевые волны которых, поскольку они определяются ребром тела, имеют одну и ту же фазу и могут быть поэтому объединены. Рещение ищется в форме [c.95]

Маккелви [L955] выразил асимптотические решения задачи с точкой возврата второго порядка (т. е. при а = 2) через функции Уиттекера. Задача с точкой возврата второго порядка возникает при рассмотрении дифракции на эллиптических цилиндрах с почти единичным эксцентриситетом (Гудрич и Казаринов [1963]) и при решении уравнения Шредингера (Фосс [1933]). Первое исследование задачи с точкой возврата второго порядка провел Голдстейн [1931] с помощью метода сращивания асимптотических разложений, как это сделано в п. 7.3.1. [c.370]

Доклады, помещенные в первых двух частях, посвящены аналитическим и численным методам решения задач тепло- и массообмена. В нескольких из них рассмотрены отдельные математические проблемы теории, в частности вопросы разрешимости краевых задач теплЬ- и массообмена, единственности их решения, теории интегральных преобразований и т. д. Вопросы, представляющие интерес для развития и расширения математического аппарата теории, затронуты и в ряде других докладов, в которых рассматриваются конкретные процессы и явления в физических системах (применение дуальных интегральных уравнений, асимптотические методы решения некоторых сингулярных интегральных уравнений, вариационные методы, метод конформных отображений,. математическая теория регулярного теплового режима и т. п.). [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...