Метод второй А. М. Ляпунова

Метод второй А. М, Ляпунова 332, 339 [c.540]

Совокупность этих способов составляет второй метод А. М. Ляпунова. [c.332]

ВТОРОЙ МЕТОД А. М. ЛЯПУНОВА [c.339]

Второй метод А. М. Ляпунова [c.339]

Второй метод А. М, Ляпунова отличается тем, что при его применении не приходится интегрировать дифференциальные уравнения возмущенного движения. [c.339]

Теоремы I и III предыдущего параграфа можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. [c.344]

Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346]

Эта теорема есть частный случай первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости. Для доказательства ее необходимо привлечь рассуждения, примененные Ляпуновым при изложении им второго метода. См. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, 1950, стр. 77 и сл. [c.423]

За последние годы для анализа устойчивости нелинейных автоматических систем стали применять второй метод А. М. Ляпунова. Возросший интерес к работам Ляпунова не только со стороны советских, но и иностранных специалистов объясняется многими обстоятельствами. [c.531]

Качественные методы исследования дифференциальных уравнений были развиты трудами великих математиков второй половины прошлого века А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. [c.9]

Первый, после А. М. Ляпунова, существенный вклад в развитие метода функций Ляпунова был сделан Н. Г. Четаевым. Работая над знаменитой проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, Четаев (4930) сначала установил для автономных систем одну теорему о неустойчивости, в которой наряду с первой производной функции V рассматривается также вторая производная У". [c.16]

ОСНОВЫ ВТОРОГО -МЕТОДА А. М. ЛЯПУНОВА 75 [c.75]

Возможный способ оценки устойчивости систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, предоставляет второй (или прямой) метод А. М. Ляпунова [441. В этом методе ищется функция Ляпунова, которая является обобщением понятия энергии для механической системы в том смысле, что она должна быть положительно определенной функцией переменных, т. е. мощности, температуры и т. д., и обладать отрицательной производной по времени. Если можно найти такую функцию, то для области изменения переменных, где она существует, система будет асимптотически устойчивой. Функция Ляпунова найдена для некоторых задач. Были разработаны специальные способы [451 уточнения результатов, получаемых с помощью прямого метода Ляпунова (461. Тем не менее не существует общего подхода к получению функций Ляпунова. [c.403]

Общая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпуновым, была предметом его докторской диссертации ). А. М. Ляпунов предложил два метода исследования устойчивости движения. К первому он отнес совокупность всех способов исследования устойчивости, в основании которых лежит разыскание общих или частных решений дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде бесконечных рядов. Ко второму методу были отнесены все те способы, которые основываются на построении некоторых функций времени и переменных, определяющих состояние движения системы, и не требуют разыскания решений дифференциальных уравнений возмущенного движения. Функции, применяемые во втором методе, получили название функций Ляпунова. Основная идея второго (часто говорят —прямого) метода Ляпунова состоит в качественном исследовании поведения интегральных кривых системы дифференциальных уравнений возмущенного движения по отношению к некоторым поверхностям, которые могут либо меняться с течением времени, либо являются неподвижными интегральными поверхностями. [c.429]

Пользуясь своим вторым методом, А. М, Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого порядка в функциях Хд", в решении этой задачи он видел свое главное достижение. Случаи, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, названы Ляпуновым критическими. В некоторых из критических случаев установившихся движений, а именно, в случаях одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней и двух нулевых корней характеристического уравнения, а также в некоторых случаях периодических движений Ляпунов дал решение задачи об устойчивости. В замечательной работе Ляпунова общая теория дифференциальных уравнений получила существенное развитие. [c.10]

Теперь опишем все части с большей подробностью. Первая часть Общие методы не изменилась по содержанию, только исправлены некоторые недостатки и кое-где введены некоторые дополнения. А именно, в главу И прибавлены поясняющие примеры и введен дополнительный раздел, дающий понятие об устойчивости при постоянно действующих возмущениях и приведено доказательство теоремы Ляпунова о производном определителе, которая в 1-м издании дана без доказательства. Наконец, подробно рассмотрен важный пример Ляпунова составления характеристического уравнения для уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. [c.7]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

В теории управления существует богатый арсенал методов и алгоритмов исследования устойчивости, o HOBoti для которых послужили две группы методов, разработанных первоначально А.М. Ляпуновым и известных в литературе как первый и второй. методы Ляпунова (см. 1221). [c.16]

См. лит. при ст. Интерферометр. ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ, два осн. метода исследования устойчивости движения, предложенных А. М. Ляпуновым (1892). По существу каждый из Л. м. охватывает совокупность способов исследования, объединённых общей идеей. Первый Л. м. основывается на отыскании и исследовании решений ур-ний т. н. возмущённого движения, т. е. движения, к-рое по каким-то причинам (напр., вследствие случайного толчка) отличается от рассматриваемого невозмущённого движения. Второй (илп прямой) Л. м. наиболее распространён и состоит в исследовании устойчивости движения с помощью нек-рых, спец. образом вводимых ф-ций, наз. функциями Ляпунова. [c.356]

Г. Н. Дубошин. Устойчивость движения.— В кн. Механика в СССР за тридцать лет, 1917—1947. М.— Л., Гостехиздат, 1950, стр. 73—98 Н. Н. Красовский. Второй метод Ляпунова в теории устойчивости движения.— В кн. Труды [1] Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл. механике (27 января —3 февраля 1960 г.). Обзорные доклады. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1962, стр. 36—47 В. В. Румянцев. Устойчивость движения твердого тела с полостями, наполненными жидкостью.— Там же, стр. 57—71 В. И. Арнольд. Устойчивость и неустойчивость динамических систем со многими степенями свободы.— Труды II Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл, механике (29 января — 5 февраля 1964 г.). Обзорные доклады. Вып. 1. М,, Наука , 1965, стр. 7—15 В. А. Якубович, Ф. Р. Гантмахер. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем.— Там же,, стр. 30—63 А. М. Летов. Оптимальное управление и устойчивость.— Там же, стр. 94--111 В. М. Матросов. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости.—. Там же, стр. 11 125 В. В. Румянцев, Исследование устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостями. Там же, стр. 453—169 С. Н. Шиианов. Устойчивость систем с запаздыванием.— Там же, стр. 170—180 В. В. Румянцев. Метод [c.124]

Второй метод основывается на принципах, не зависящих от разыскания каких-либо решений уравнений возмущенного движения он Ьостоит в построении некоторых непрерывных однозначных функций V х, t переменных и времени обращающихся в пуль при = О и удовлетворяющих определенным условиям. По признанию Ляпунова, на этот метод его натолкнуло изучение работы А. Пуанкаре О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1881—1885 русский перевод М.—Л., 1947). Основания второго метода выражены в данных Ляпуновым следующих четырех теоремах. [c.9]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Одним из первых, кто понял большое теоретическое и прикладное значение теории устойчивости Ляпунова, был Н. Г, Четаев. В начале тридцатых годов он организовал в Казани семинар, на котором докладывались работы по устойчивости движения, аналитической механике и качественной теории дифференциальных уравнений. В работе семинара активное участие принимали М. Ш. Аминов, Г. В. Каменков, П. А. Кузьмин, И. Г. Малкин, К. П. Персидский и многие другие. Так образовалось ядро созданной Н. Г. Четаевым и ставшей впоследствии знаменитой Казанской школы устойчивости, особенно прославившейся развитием второго метода Ляпунова. Развитие науки и техники показало, насколько важно было предвидеть необходимость исследований в новой области механики, значение которой было тогда неясным, организовать начало этих исследований и привлечь к ним молодежь. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...