Функция Уиттекера

На основании соотношения (4.34) функцию Уиттекера (4.36) [c.106]

Найдем теперь функцию Уиттекера. Согласно формуле (4.44) и соот- [c.107]

Подставляя в это выражение полученное выше ф, найдем функцию Уиттекера [c.107]

А — значение /"(0), полученное из условия /(0)=0 И1 а, т]—А) —решение уравнения Вебера, которое выражается через асимптотические разложения, через полином Чебышева — Эрмита или функцию Уиттекера. [c.43]

Нормированные собственные функции Уп выражаются через функции Уиттекера 2 [c.632]

См. уравнения (15) и (24) работы [67]. Там же показано, что функция, изображение которой имеет вид р Кч , является функцией Уиттекера. Помимо этого, можно использовать теорему обращения с контуром рис. 40. [c.406]

Уравнению (10.11) удовлетворяют функции Уиттекера [c.89]

Это уравнение является родственным уравнению Уиттекера и имеет два линейно-независимых решения, которые выражаются через функции Уиттекера Ми,с(х) и Ми,-с(х) [41]. Следовательно, собственные функции / (г) будут пропорциональны величине [c.211]

Пайти функцию Уиттекера К и составить уравнения Уиттекера системы с лагранжианом Ь = ( 1 + ( 1 + 2)/ [c.205]

Пайти функцию Уиттекера К частицы массы ш в однородном ноле тяжести. [c.205]

Используя асимптотическое представление функций Уиттекера (12) ири больших р (т. е. при малой постоянной времени [c.61]

Первая работа подобного характера принадлежит Е. Уиттекеру [27] и опирается на рассмотрение действия в смысле Якоби для гамильтоновых снстем с двумя степенями свободы. В этом случае положение точки в рассматриваемой динамической системе определяется двумя позиционными координатами (х, у) и любая траектория точки является плоской. Критерий Уиттекера состоит в том [27], [58], что рассматривается некоторое плоское кольцо на плоскости (л , у) и значение, построенной специальным образом, функции на внутренней и внешней границах кольца. Эта функция (назовем ее функцией Уиттекера) имеет следующую аналитическую структуру [c.797]

Функция K(qi,q2,. .., qn,P2, , Pn,h) в (20.7) называется функцией Уиттекера, уравнения (20.9) уравнениями Уиттекера (в [c.85]

Его решением является функция Уиттекера [c.658]

Если U z ) = О, но U z ) ф О, тогда решение уравнения (3.34) может быть также выражено через функцию Уиттекера. [c.658]

Пользуясь свойствами функций Уиттекера, в пределе при ю->-0 получаем [c.582]

Для специальных профилей скоростей решение уравнения (6.2.7) можно выразить через хорошо известные трансцендентные функции. Так, если выполняется равенство (6.2.3), то решение выражается через функцию Уиттекера от аргу- [c.124]

Для профиля вида (3.25) особого рассмотрения требует случай =Л . Результат не может быть получен непосредственно по формулам (3.24). (3.26а) и (3.266), так как при выводе (3.24) мы считали, что ФО. Если а, =0, то входной импеданс легко получить предельным переходом ->0. Однако при а, Ф О переход к пределу осложняется стремлением к бесконечности (см. формулу (3.266)) индекса / функции Уиттекера, входящей в решение. Здесь оказывается полезным заметить, что если при = 2 в соотношении (3.23) принять [c.53]

В этом случае получить точные решения дл я произвольного значения % удается только при условии / = О, от = 1/3, когда - линейная функ дия г. Функция Уиттекера > о,1/з входящая в формулу (3.24) для входного импеданса нижней среды, может быть выражена через часто используемую функцию Эйри [240] [c.55]

Эффективное волновое число в этом уравнении является частным случаем семейства решаемых профилей (3.34) (01 = О, Рзг = - 2, 2 ] =к а ). Как было показано в п. 3.2, для таких профилей эффективного волнового числа решения волнового уравнения выражаются через функции Уиттекера, причем для уравнения (3.180), согласно последнему из соотношений (3.35), индекс т функций Уиттекера равен 3/4. В этом частном случае функции Уиттекера сводятся к.функциям параболического цилиндра. В 9 мы подробно проанализируем решения уравнения (3.180), в том числе в [c.86]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

Мы не будем заниматься интегрированием этого уравнения, а найдем уравнение траектории путем составления нового обобщенного интеграла энергии, используя то обстоятельство,, что, срорди-ната ф в функцию Уиттекера не входит. В соответствии с выражением (4.22) имеем [c.108]

Собственными функциями задачи являются гипергеомет-рические функции Уиттекера двух родов [c.250]

Если воспользоваться асимптотическрхм представлением функций Уиттекера для больших в виде [c.60]

С другой стороны, на основании известного соотношения (П-7) между функциями Уиттекера и вырожденными гипергео-мегрическими функциями коэффициент ку ( ) можно представить в виде [c.60]

Таким образом, функцию к, г) можно выразить через функцию Уиттекера ([242], стр. 251) ф( ) к, г) = (2г )- -1Мг , г + 1/, 21кг) = (-2г )- - Ж ,, +1/, -21кг). (14.36а) Функцию фР ( , г) можно также выразить через функции Лагерра ([242 , стр. 256) [c.396]

Выражение для 2 при ><0 отличается от (3.24) лишь заменой на М[ На возможность выразить решения для профилей, получаюшихся иэ (3.23) при > = 1 и > = 2 (для нормального надения) через функции Уиттекера указывал Весткотт [545]. Мы будем считать 2 1 >0. При 21 <0 решения остаются формально справедливыми, но обрашается в бесконечность при конечных значениях г. В акустике такие ситуации не реализуются. [c.53]

При угле падения волны, большем критического угла 5, происходит полное отражение. Действительно, согласно (3.26а) q становится вещественным положительным числом. При положительных значениях своего аргумента (считаем пг вешественным) функция Уиттекера в соотношении (3.24) тоже вешественна. По формулам (3.24) и (3.5) тогда получаем ReZ = 0, I У =1. В том, что при в>Ь происходит полное отражение, можно было убедиться также (для любого w), рассчитав среднюю за период колебаний 2-компоненту потока энергии в прошедшей волне. Из формул (2.11), (3.29), (3,30) следует, что лоток акустической злергии [c.54]

Плоские волны в среде вида (3.25) рассматривались Рытовым и Юдке-вичем [229] и Вэйтом [540]. В этих работах было принято, что 1 =0, и решения выражены в цилиндрических функциях. Используя связь последних с функциями Уиттекера [c.55]

На возможность выразить решения для среды вида (3.39) через функции Уиттекера указывали разные авторы (131, 193,386,3871. Частный случай аз =0, когда решения волнового уравнения выражаются через цилиндрические функции, для разных сочетаний параметров 1 и з подробно рассмотрен в монографии (540, гл. 3]. Используя выписанные вьпие формулы (3.31), связывающие функции Уиттекера с цилиндрическими функциями, нетрудно установить согласие обшей формулы (3.40) с результатами Взйта во всех рассмотренных в (540) случаях. Важным приложением точных решений для профиля (3.39) при 2=0 стало их широкое применение в численных расчетах для построения решений уравнения (3.3) с произвольной гладкой зависимостью к(х). При зтом среда разбивается на слои, в каждом из которых функция к( г) аппроксимируется профилем вида [c.57]

Для решаемых через функции Уиттекера профилей к(г) из семейства (3.23), полученных в п. 3.2, вьтисанную выше добавку к квадрату эффективного числа легко учесть. Это достигается простым изменением значения параметра т уравнения Уиттекера. Поэтому полученные для профилей (3.23) результаты переносятся на среды с изменяющейся по закону (3.159) плотностью. Например, в случае профиля (3.25) влияние стратификации плотности, кроме домножения Ф(2) на /р( )/Ро, состоит в замене 0(2 на 0(2 - Р(Р + 2)Iв формулах для поля в неоднородной среде. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...