Преобразование Ватсона

Применяя метод разделения переменных, можно получить выражения для рассеянного поля в виде суммы собственных функций, которая хорошо сходится лишь для рассеивателей небольших по сравнению с X размеров. Однако, применяя преобразование Ватсона для превращения суммы в контурный интеграл, из этих рядов можно получить асимптотическое разложение. Решение, как правило, получается в виде суммы двух членов, первый из которых представляет собой геометрооптический член, а второй —дифракционный, отвечающий за образование дифракционных полей одного из четырех типов. [c.35]

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ КОМПЛЕКСНОГО ПОРЯДКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВАТСОНА [c.286]

Чтобы применить преобразование Ватсона, нужно найти положения полюсов функций даваемых выражениями [c.421]

При возрастании энергии любой полюс на /-плоскости движется, все время удаляясь от действительной оси. В случае потенциала Юкавы (12.22а) каждая траектория в конце концов обязательно поворачивает, пересекает положительную мнимую полуось К и, так сказать, исчезает из поля зрения. В случае потенциалов с конечным радиусом действия, например в случае прямоугольной ямы, все может быть иначе. Действительно,в данном случае преобразование Ватсона незаконно. Такие неаналитические потенциалы оказываются неразумными с принятой точки зрения. [c.378]

Отсюда следует, что любые две интерполяции S с достаточно хорошим поведением на бесконечности (позволяющим выполнять преобразования Ватсона), которые имеют в области Re Я, О единственными сингулярностями только конечное число полюсов, тождественно совпадают. Чтобы убедиться в этом, нужно только применить теорему Карлсона к разности различных интерполяций, помноженной на полином, обращающийся в нуль в полюсах каждой из этих интерполяций. Иными словами, хотя может существовать сколь угодно много интерполяций для Si, но такая интерполяция, которая [c.378]

Следовательно, интеграл в (13.19) абсолютно сходится при Ре / > — /о и а, не имеет сингулярностей при Ке / > — 2. Более того, асимптотическое поведение Ql в правой полуплоскости при / ->-оо таково, что а/ стремится к нулю при I / I оо. Поэтому можно провести преобразование Ватсона и из теоремы Карлсона следует, что формула (13.19) дает в данном случае единственную подходящую интерполяцию. [c.379]

В предположении, что потенциал ведет себя достаточно хорошо, из (12.154> следует, что полюсы S (к) на комплексной /-плоскости отвечают нулям функции f ( ). Рассуждения, приведенные в гл. 12, 2 и 3, легко распространить на случай комплексных значений I. Согласно этим рассуждениям, при фиксированных kur функции fl (k, г) и фг (k, г) будут аналитическими функциями I. Так как граничное условие (12.15) не зависит от I, то / должна быть регулярной во всей комплексной плоскости /. По причине, указанной после (12.132) и в гл. 12, 3, граничное условие для ср с необходимостью зависит от I таким образом, что функция фг должна быть регулярной только в области Re / > — V. .. При весьма общих ограничениях на потенциал существует аналитическое продолжение функции фг в область Re / < — /г, которое имеет только простые полюсы при отрицательных целых и полуцелых значениях I (16501 и 16531, гл. 4). Поскольку, однако, для преобразования Ватсона необходима только область Re / > — V2, то мы не будем здесь касаться аналитического продолжения в область Re / С — [c.380]

Итак, нами доказано все относительно преобразования Ватсона и дисперсионного соотношения по t, что требовалось для целей 1 настоящей главы. [c.382]

Шредингера 144, 145, 441 Преобразование Ватсона 87 [c.599]

Этот раздел является также лишь предварительным исследованием. Благодаря новым работам Бекмана и Франца (ср. разд. 12.35) стало возможным строгое исследование комбинированного эффекта поверхностных воли и спрямления пути через шар с помощью ряда по вычетам, основанного на преобразовании Ватсона. Числовые результаты еще не получены. [c.440]

Существуют методы, позволяющие выполнять приближенное суммирование рядов по цилиндрическим функциям при больших значениях параметра ka. Одним из таких методов является преобразование Ватсона [103]. [c.173]

Идея преобразования Ватсона заключается в следующем ряд [c.173]

Для того чтобы выделить эти волны, необходимо применить к рядам (40.12а), (40.126) преобразование Ватсона ( 24). [c.315]

Применим к выражению (5.35) преобразование Ватсона [c.236]

Е, а — модуль Юнга и коэффициент Пуассона к р — волновое число продольной (симметричной волны) в пластине толщиной/г. Эти выражения являются достаточно точными для тонких оболочек при(к — волновое число изгибных волн в оболочке, h — толщина) и при не очень больших номерах мод колебаний, когда длина пространственного периода в данной моде больше длины изгибной волны. Однако в некоторых приложениях (например, при вычислении полюсов комплексных функций, возникающих при применении преобразования Ватсона к рядам, определяющим излучение звука оболочкой) приходится вычислять [c.256]

Решения уравнения (5.32) исследованы Дж. Ватсоном при помощи преобразования Лапласа для некоторых специальных функций / (Т). В частности, были рассмотрены следующие типы внешнего течения V (1) [c.96]

Прежде чем принять полученные результаты, нужно еще ответить на ряд вопросов, возникающих в связи с методом Ватсона. Чтобы определить, допустимы ли преобразования контуров С1 и Сг, а также выяснить, сходятся ряды (ЗЛИ) или нет, нужно исследовать поведение 5 в пределе больших К . Результаты (3.120), (3.121), (3.123) справедливы только при 1. [c.94]

Металлический круговой цилиндр -поляризация, ряд Ватсона. Члены рядов Релея в отдельности не удовлетворяют граничным условиям на поверхности цилиндра — это приводит к ленной сходимости рядов при больших ка. Существует способ преобразования рядов Релея—преобразование Ватсона, в результате которого получаются другие ряды, удобные для анализа именно при больших ка. Преобразование Ватсона состоит в том, что ряд (5.10) рассматривается как сумма вычетов некоторого интеграла, взятого в плоскости комплексной переменной V по петле, окружающей вещественную полуось, от функции, отличающейся от величины, стоящей под знаком суммы в (5.10), заменой индекса суммирования т на переменную V и дополнительным множителем l/siпvя. Такое представление суммы интегралом возможно, так как интеграл имеет полюса именно при целочисленных V = т. Затем производится деформация контура в плоскость V в петлю, окружающую все полюса, расположенные в первом квадранте. Для -поляризации эти полюса — нули знаменателя Ат, рассматриваемого как функция индекса [c.47]

В частности, для вещественных п абсолютное значение функщш 5 т, 0) равно единице. Заметим далее, что выражение (6.4.14) определяет 5 как функцию в общем случае комплексного параметра т. В результате такого искусственного расширения появляется возможность использовать преобразование Ватсона, если рассеянное поле при этом представить в виде парциальных волн (см. работу Ньютона [17], указанную в литературе к гл. 4). [c.417]

Основные результаты книги относятся к описанию асимптотического поведения амплитуды рассеяния при больших угловых моментах, которое необходимо знать для проведения преобразования Ватсона — Зоммерфельда. Имеюш,ийся у авторов опыт свидетельствует, что прекрасное первоначальное исследование этого вопроса квазиклассическим методом ВКБ неполно и к тому же трудно для понимания. Поэтому в книге приводится изложение более поздних исследований Брауна и др., Жакшича и Лимича, Мартина, Скадрона и др. изложение других исследований выходит за рамки настоящей книги. Использованный в них математический аппарат существенно отличен от принятого нами. [c.12]

К 8. Метод, ведущий к преобразованию Ватсона, был ранее него предложен Пуанкаре и Никольсоном, однако в электромагнитной теории он был впервые применен именно Ватсоном [884] см. также работы [515, 860] и [788], стр. 282. [c.99]

Увеличение звукового давления в области тени обусловлено возникновением в окружающей среде периферических волн, распространяющихся вокруг оболочки и вызванных возбуждением бегуцщх волн по оболочке. Для анализа этого явления можно применить преобразование Ватсона рядов по цилиндрическим функциям, описывающих звуковое поле, в быстро сходящиеся (при больших значениях fea) ряды. Преобразование тригонометрических рядов методом Ватсона для акустически жесткого или мягкого цилиндров вьшолнено в работах [59, 63]. Вывод выражений для упругого цилиндра вьшолняется тем же способом. Отличие заключается в том, что в данном случае в выражении для функции Л (v), входящей в формулу (5.30), появляется множитель, зависящий от модовых импедансов цилиндра Z , рассматриваемых как функция индекса. [c.227]

Большое число пар преобразования Абеля приведено Брэйсуэл-лом [5] интеграл Абеля теоретически рассматривается Уиттекером и Ватсоном [27]. Соотношение между линейной и точечной функциями рассеяния исследовано Марчандом как для симметричного [17], так и для общего случаев [18]. [c.39]

Подробнее всего исследуем задачу о круговом металлическом цилиндре. На примере скалярной задачи рассмотрим два типа рядов, получающихся при использовании метода разделения переменных — ряды Релея и ряды Ватсона. Векторная задача интересна тем, что на ней иллюстрируется явление деполяризации. Решение скалярной задачи о диэлектрическом круговом цилиндре в форме Релея получается без привлечения новых идей, а задача о диэлектрическом некруговом цилиндре более сложна. Теория дифракции на сфере аналогична теории дифракции на круговом цилиндре, но при дифракции на сфере всегда происходит деполяризация. В теории дифракции на клиие интерес представляет аналитическое суммирование ряда Релея, преобразование его в контурный интеграл и исследование этого интеграла для различных точек пространства. Задачи о дифракции на цилиндре, сфере и клине иногда называют эталонными, подчеркивая этим, что некоторые характеристики полученных решений переносятся на более сложные задачи. [c.42]

Используя свойства полюсов Редже в комплексной плоскости, можно получить аналитич. выражешш для амплитуды рассеяния / к, ) (z = os fl, — угол рассеяния), справедливое нри нефизич. значениях , имеино при Z < — 1, что позволяет паиисать важное интегральное соотношение для / к, z) — т. н. дисперсионное соотношение. Для этого с помощью преобразования Зоммерфельда — Ватсона обычное выражение для амплитуды рассеяния в виде ряда по полиномам Лежандра [c.389]

Дифракция звука на цилиндре больших волновых размеров. Асимптотическое суммирование ряда (18.33), определяющего рассеянное цилиндром звуковое поле, также можно выполнить методом Ватсона. Для абсолютно жесткого и абсолютно мягкого цилиндра преобразование рядов приведено в работе [103]. В отличие от задачи излучения для задачи дифракции интеграл по полупетле оказывается большой величиной. Вычислив его методом перевала, найдем, что полное поле в освещенной области складывается из падающей волны, волны, отраженной от цилиндра по законам геометрической оптики, и набора волн, обогнувших цилиндр целое число раз. Диаграмма рассеяния состоит из двух частей. Участок 2 (рис. 56) характеризует поле, отраженное от цилиндра по законам геометрической оптики. В этой области для абсолютно жесткого цилиндра диаграмма рассеяния имеет вид [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...