Уравнение Орра — Зоммерфельда

Поскольку решение сформулированной задачи -связано со значительными математическими трудностями, имеет смысл вначале развить упрощенный подход к проблеме. Это можно сделать, если рассмотреть задачу об устойчивости конвективного течения с кубическим профилем в чисто гидродинамической постановке, полностью пренебрегая влиянием тепловых факторов на развитие возмущений. Такой подход оправдан, во всяком случае, при малых значениях числа Прандтля (высокая теплопроводность жидкости). В этом случае возникающие температурные возмущения быстро рассасываются со временем на фоне сравнительно медленно изменяющихся возмущений скорости. Поэтому развитие возмущений можно приближенно трактовать как изотермический процесс. При таком подходе следует пренебречь членом 0 в (43.11) и не рассматривать вовсе уравнение. теплопроводности (43.12). Тогда задача сводится к решению уравнения Орра — Зоммерфельда с заданным конвективным профилем скорости о(л ) [c.305]

В работе Р] задача решена в чисто гидродинамической постановке. При таком подходе (см. 43) необходимо решить уравнение Орра — Зоммерфельда (43.14) с граничными условиями (43.15), причем профиль скорости Vo x) задан формулой [c.348]

Итак, исследование спектра нормальных возмущений стационарного плоскопараллельного конвективного течения сводится к нахождению собственных чисел и собственных функций краевой задачи (1.24) —(1.26). Эта задача является обобщением классической задачи теории гидродинамической устойчивости. Обобщение связано с учетом двух весьма важных факторов дополнительной (конвективной) силы в уравнении движения и неизотермичности основного течения и возмущений. Если в (1.24) положить 0 = О, то получится известное уравнение Орра — Зоммерфельда, определяющее плоские возмущения в изотермическом плоскопараллельном потоке. [c.12]

Анализ устойчивости в рамках модели идеальной жидкости, сводится к решению уравнения Рэлея (19). В этом простом случав задача решается аналитически [11] и для нарастающих возмущений С = (1Ь а + УШ сс)/(1 + а). В случае вязкой жидкости уравнение Орра — Зоммерфельда (18) для профиля (23) также имеет аналитическое решение [c.26]

Отметим, что в работах [58, 59], где рассматривался лишь случай осесимметричных возмущений, т. в. т = О, г = О, использована иная методика получения амплитудных уравнений. А именно, замораживание проведено после исключения давления в двумерных уравнениях для малых возмущений, что приводит к обобщенному уравнению Орра — Зоммерфельда. Если в двумерной системе (7) нрп т = 0 исключить д, то получится аналогичное уравнение, но не совпадающее с упомянутым. В случае т =0 задача пе сводится к одному уравнению 4-го порядка, поэтому исключение давления нецелесообразно. Результаты расчетов при т = 0 для этих двух подходов оказываются близкими. [c.205]

Рассмотрим сначала вопрос об устойчивости стационарных плоскопараллельных течений несжимаемой вязкой жидкости, имеющих скорость ио== /(г). О, 0 , так что возмущения поля скорости и(х, t) будут удовлетворять уравнениям (2.12) с добавлением в правую часть уравнений движения слагаемого vДu, описывающего ускорение сил вязкости. Назовем такие уравнения (2.12 ). Тогда для двумерных элементарных волновых решений этих уравнений вместо уравнения Рэлея (2.16) получится следующее так называемое уравнение Орра—Зоммерфельда [c.100]

Тогда принцип исчезающей вязкости вытекает из следующей теоремы если при v- 0 собственное значение уравнения Орра—Зоммерфельда стремится к такому пределу с, при котором в комплексной плоскости z можно провести допустимую дугу, то с есть собственное значение уравнения Рэлея вдоль этой дуги обратно, если с есть собственное значение уравнения Рэлея вдоль некоторой допустимой дуги, то это с есть предел при v- 0 собственных значений уравнения Орра—Зоммерфельда (Линь (1945, 1955) Вазов, (1953)). [c.102]

Заметим, что трудности, возникающие при исследовании неустойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости,, в случае жидкости с переменной по высоте (т. е. координате г) плотностью сохраняются и при наличии отличной от нуля вязкости, так как здесь соответствующее обобщенное уравнение Орра— Зоммерфельда даже и при будет иметь особенность в точке,, [c.104]

Определение нейтральной кривой на плоскости к, Не) и в этом случае сводится к исследованию задачи на собственные значения для соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда [c.119]

Это уравнение, называемое дифференциальным уравнением возмущающего движения или уравнением Орра — Зоммерфельда, является исходным пунктом теории устойчивости ламинарного течения. Подчеркнем, что уравнение [c.425]

Отбрасывание в уравнении Орра — Зоммерфельда членов, зависящих от вязкости, представляет собой операцию, чреватую очень серьезными последствиями. В самом деле, понижая порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго, мы, возможно, теряем важные свойства общего дифференциального уравнения возмущающего движения. К этому случаю применимы все соображения, высказанные в главе IV по поводу перехода от дифференциальных уравнений Навье — Стокса для вязкой жидкости к уравнениям Эйлера для жидкости без трения. [c.428]

Уравнение Орра — Зоммерфельда [c.10]

Рассмотрим теперь малые возмущения Vi < Vo, Ф1 < фо. В силу стационарности и однородности течения по Оу возмущение можно выбрать в виде фДж, i) ехр (/сг/— (oi). В результате уравнение (3.4) приводится к известному уравнению Орра — Зоммерфельда [c.11]

Рис. и. Линии уровня для уравнения Орра — Зоммерфельда. [c.79]

В этом параграфе мы рассмотрим задачу о прохождении волны через резонансную зону на примере уравнения Орра — Зоммерфельда (см. гл. I, 4) [c.80]

Теоретическое исследование влияния твердых частиц на устойчивость ламинарного потока было выполненво Михаелем [536], который развил метод, предложенный ранее Сэфменом [674]. Для описания системы было введено характерное время релаксации т(= 1/7 ), которое необходимо для приведения в соответствие скорости частиц и скорости газа. Если т мало по сравнению с масштабом характерного времени потока, то добавление пыли дестабилизирует поток, в то время как крупные частицы или большое т оказывают стабилизирующее влияние. Для плоскопараллельного потока смеси было выведено уравнение Орра — Зоммерфельда, с помощью которого иллюстрировались некоторые особенности, обусловленные присутствием частиц пыли. [c.357]

Конечно, уравнение Зоммерфельда—Орра не описывает свойства вязкой устойчивости струи. Поэтому для исследования указанных свойств необходимо перейти к рассмотрению уравнения (4). Однако при сорешения уравнений (4) и Зоммерфельда—Орра совпадают. Следовательно, вполне вероятно, что вязкие свойства реального потока можно исследовать методом, аналогичным приведенному в данной статье. [c.113]

Безразмерные уравнения возмущающего движения в подслое при линейном профиле скорости ядра потока представляют собой видоизмененные уравнения Орра—Зоммерфельда, в которых критическая скорость равна нулю. Они показывают, что вязкостными членами пренебре- [c.175]

Итак, при увеличении угла наклона к горизонтали происходиг смена механизма неустойчивости течения — от конвективного (стратификационного) к гидродинамическому. Этот переход происходит непрерывно вдоль единой кривой Gr (a). Важно подчеркнуть, что при малых числах Прандтля переход к гидродинамической моде неустойчивости наступает уже при малых отклонениях слоя от горизонтальной ориентации. Предельная кривая Рг = О семейства, изображенного на рис. 22, соответствует полному отсутствию стратификационного фактора. Эта кривая, естественно, симметрична относительно оси Gr и получается из решения уравнения Орра — Зоммерфельда с профилем скорости (6.1). Повышение устойчивости при увеличении а на кривой Рг = О целиком обусловлено уменьшением скорости основного течения по мере увеличения наклона слоя к вертикали. [c.50]

Расчс на основе уравнения Орра - Зоммерфельда даст сильно завышенное значение Ка - см [36] [c.71]

Задача определения характеристических чисел, связанная с решением уравнения (3.11), была предметом исследования ряда авторов. Одними из первых были Орр ) и Зоммерфельд ), которые исследовали устойчивость движения между двумя пластинками и не нашли потери устойчивости. К тому же выводу приходили и такие авторы как Мизес, Хопф (Hopf), Гольдштейн (Goldstein), Пекерис (Pekeris) и многие другие. Если не считать теории Гейзенберга ), которая считалась неполной и неточной и не была поэтому общепризнана, все теоретические работы до сравнительно недавнего времени давали отсутствие возможности потери устойчивости движения между двумя пластинками. Первое строгое доказательство того, что движение между параллельными пластинками может оказаться неустойчивым при некоторых значениях R, было дано в работе Линя ). В этой же работе даётся попутно анализ ошибок, или неточностей, из-за которых ни один из предыдущих авторов не мог добиться верного результата. [c.670]

Для того чтобы сформулировать этот принцип в терминах собственных значений с уравнения Орра—Зоммерфельда, примем, что функция U(z) определена не только на отрезке О z h, но и аналитически продолжается в некоторук> окрестность этого отрезка в комплексной плоскости z. Введем функцию r(z) = [i(U — с)] /г. Будем называть дуги в плоскости 2, соединяющие точки [c.102]

Вернемся теперь к обсуждению результатов, относящихся к плоскому течению Куэтта. Выше уже указывалось, что ряд исследований устойчивости этого течения был выполнен еще в начале настоящего века, причем уже эти ранние нестрогие работы создавали впечатление, что указанное течение, по-видимому, устойчиво по отношению к малым возмущениям при всех значениях Re. В 50-е годы и позднее появилось много дополнительных расчетов устойчивости плоского течения Куэтта, в которых чаще всего использовались асимптотические разложения для изучения, решений соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда при больших значениях Re и прямые численные методы решения в случае малых и умеренных Re (см., например, Вазов (1953), Гроне [c.106]

Re / ) —это обстоятельство объясняет, почему при Re = oo (в слу чае идеальной жидкости) плоское течение Пуазейля оказывается устойчивым по отношению к любым возмущениям. Гроне (1954) обнаружил также, что уравнение Орра—Зоммерфельда для плоского течения Куэтта имеет и высшие моды собственных чисел и функций, которым отвечают только затухающие возмущения эти высшие моды позже детально исследовались многими авторами (см. Бетчов и Криминале (1967), Гольдштик и Штерн (1977) и Дразин и Рид (1981)). [c.108]

До сих пор мы говорили лишь о нейтральных и неустойчивых возмущениях в пограничном слое. Естественно думать, что все эти возмущения относятся к низшей моде собственных функций соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда, имеющего, кроме того, еще последовательность быстро затухающих высших мод, подобных изученными Гроне (1954) и другими авторами (ср. Грош и Салвен (1978)) для плоских течений Куэтта и Пуазейля. Для пограничного слоя эти высшие моды рассматривались, в частности, Корнером, Хьюстоном и Россом (1976), но в случае течения в пограничном слое (и других плоскопараллельных течений в неограниченном слое жидкости) и они не исчерпывают всего спектра собственных функций. Дело в том, что в таких течениях обычно имеется еще и непрерывный спектр собственных значений, которому также отвечают только затухающие возмущения (см. по этому поводу работы Гроша и Салвена (1978) и Салвена и Гроша [c.116]

Если речь идет о течении в слое, то нормальная компонента скорости обращается в нуль на ограничивающих поверхностях ix — xi s.)- Это дйет граничные условия для невязкого уравнения (3.7) Viixi 2) = = г/сфДж 2) = 0. При наличии вязкости следует учесть отсутствие тангенциальной составляющей скорости на ограничивающей поверхности, так что для уравнения Орра — Зоммерфельда (3.6) имеем еще два граничных условия d(pi / dx а = В дальнейшем (см. 26) мы увидим, что на характер поведения решения уравнения (3.6) существенное влияние оказывает наличие так называемой резонансной точки Xs, определяемой условием (а J = со/А. Эта точка является особой для невязкого уравнения (3.7). Ее название (резонансная) в данном случае оправдывается тем, что в этой точке совпадают скорость течения и фазовая скорость колебаний. [c.11]

Классическим примером уравнения со знакопеременным коэффициентом при второй производной является известное в теории гидродинамической устойчивости уравнение Орра — Зоммерфельда [9], содерж ащее малый параметр при четвертой производной. Нас будет интересовать в случае слабонеоднородной среды дифференциальное уравнение [c.75]

Поскольку плавное решение экспоненциально затухает при 2 > О, длинноволновая мода полностью переходит в коротковолновую. Как следует из формул связи (28.7), медленно меняющееся решение трансформируется в быстро меняющееся в некотором секторе. Если этот сектор не захватывает действительной оси (такая ситуация имеет место, наиример, для уравнения Орра — Зоммерфельда), то энергия падающей моды целиком логлощается в окрестности резонансной точки. [c.85]

Его анализ можно провести аналогично тому, как эхобыло сделано для уравнения Орра — Зоммерфельда (см. 26) на основе метода Вазова [1, 7]. Прежде чем приступить к его решению заметим, что при вещественных и р для уравнения (27.1) справедливо интегральное соотношение [c.86]

В настоящей главе мы рассмотрим эволюцию начальных возмущений в задачах, которые сводятся к уравнению четвертого порядка. Речь пойдет об уравнении Орра — Зоммерфельда и уравнении для альфве-новских колебаний в неравновесной и неоднородной плазме, для которых доказана теорема Релея. [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...