Исследование устойчивости при резонансе 2о)

Последующее изложение посвящено в основном определению условий возникновения параметрического резонанса, т. е., в конечном счете, исследованию устойчивости системы. Это сближает содержание настоящей главы с гл. III, где речь шла об устойчивости автономных систем. [c.271]

Обратимся теперь к основному уравнению рассматриваемых здесь задач ( .5), которое называется уравнением Матье. Решения уравнения Матье носят колебательный характер, и их свойства зависят от конкретных значений параметров а и с/. В одних случаях данной комбинации значениям а тл д соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других случаях — колебания с возрастающими амплитудами. Очень часто (при исследованиях устойчивости) подробности колебаний малосущественны, так как основную важность представляет именно тенденция колебательного процесса если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива в противном случае имеет место параметрический резонанс и система неустойчива. [c.273]

Гаврилов Н. К. О бифуркациях периодических движений вблизи внутреннего резонанса 1 3 Исследования устойчивости и теория колебаний.— Ярославль, 1977.— С. 192—199. [c.399]

Глава посвящена нелинейному анализу движения асимметричных тел в окрестности резонанса. Ограничения на компоненты угловой скорости и величину пространственного угла атаки не накладываются. Исследование резонансных режимов движения тела при спуске в атмосфере сводится, во-первых, к приведению исходных нелинейных уравнений движения к стандартной двухчастотной форме для общего случая собственного вращения во-вторых, к анализу возможных видов резонансов в-третьих, к изучению условий прохода и захвата в резонанс, в-четвёртых, к исследованию устойчивости резонансных режимов. [c.109]

Устойчивость резонанса, вообще говоря, не означает устойчивости движения в окрестности положения равновесия. Действительно, фазовая траектория может выйти из малой окрестности стационарной точки, но при этом остаться в пределах колебательной области в силу того, что область колебательного движения расширяется быстрее, чем система подходит к сепаратрисе. Поэтому наряду с изучением устойчивости колебательного движения необходимо проводить исследование устойчивости положения равновесия в области устойчивых резонансов. [c.132]

Рассмотрим систему (4.31), которая описывает движение тела при резонансе (4.6), в малой окрестности устойчивого положения равновесия х. Преобразуем эту систему к виду, удобному для проведения исследования устойчивости по Ляпунову. Сделаем замену переменных в окрестности устойчивой стационарной точки X = X + Х Р = Р + (р = ( х/(1т, р = 0) и разложим функцию (х, z) в точке х = X в ряд Тейлора по переменной г . В результате, пренебрегая членами порядка получим [4], [26 [c.132]

Проведённые расчёты показывают, что при анализе нелинейных резонансов следует проводить исследование устойчивости как самого резонанса, так и устойчивости по Ляпунову в окрестности положения равновесия, поскольку из устойчивости [c.136]

В последнее время значительный прогресс достигнут в исследовании устойчивости замкнутого пограничного слоя, возникающего в полости при боковом подогреве (см. 32). В появившихся работах [16, 17] решается в строгой постановке задача устойчивости течения в квадратной области, подогреваемой сбоку. В [16] горизонтальные границы предполагаются теплопроводными расчеты проведены для Рг = 0,7 в [17] рассматриваются случаи обеих теплопроводных и обеих теплоизолированных границ (расчеты проведены во всей области изменения Рг). В обеих работах численно (в [16] методом конечных элементов, в [17] - методом Галеркина) решались уравнения основного стационарного течения и уравнения малых возмущений. Такой подход позволяет определить критическое число Грасгофа и форму критических возмущений. Потеря устойчивости связана с бифуркацией Хоп-фа и проявляется физически в возникновении волн, распространяющихся вдоль замкнутого пограничного слоя. В [17] показано, что изменение числа Прандтля сопровождается последовательными сменами критических мод со скачкообразными изменениями фазовых скоростей волн. В [16] обнаружено несколько уровней спект ра неустойчивости, что автор связывает с явлением резонанса волн в пограничном слое и внутренних волн в устойчиво стратифицированном ядре. Теоретические значения критического числа удовлетворительно согласуются с экспериментом [VI. 81] Аналогичный поход реализован в [81] для случая проводящей жидкости (жидкий металл Рг = 0,02) при наличии вертикального или горизонтального внешнего магнитного поля. МГД-воздействие приводит к сильной стабилизации основного течения. [c.290]

Суть метода исследования устойчивости при наличии резонанса состоит в следующем [17]. При фиксированной соизмеримости характеристических показателей (3) нормализующим преобразованием ти- [c.120]

Другой подход к исследованию системы резонансов высоких гармоник связан с упорядочением соответствующих им периодических точек на границе устойчивости с помощью фрактальных диаграмм [364 ]. Основная идея состоит в разбиении всех периодических точек на последовательные поколения по значению числа вращения а. Первые два поколения соответствуют [c.277]

Значение, которое приобрели уравнения с периодическими коэффициентами в современной теории колебаний, достаточно хорошо известно. Радиотехника сталкивается с ними не только тогда, когда речь идет о возбуждении колебаний (параметрический резонанс), но и в вопросах модуляции. Кроме систем с заданным периодическим изменением параметров, к таким же уравнениям приводится исследование устойчивости по Ляпунову периодических режимов в автоколебательных системах. Конечно, подобные применения были еще скрыты от Рэлея, но современные ему возможности этого направления исследований в задачах о колебаниях и волнах сразу же привлекли его внимание. [c.14]

Исследование устойчивости при резонансе <йх=2о>2 [c.70]

При решении вопроса о том, какие из резонансов (7.2) надо учитывать для полного исследования устойчивости движений в многомерных гамильтоновых системах, полезно руководствоваться следующими двумя соображениями [c.217]

Факторы, приводящие к неустойчивости, описаны в общих чертах в 2. Возмущение, способное извлекать энергию из основного волнового движения, состоит из пары синусоидальных волн, частоты и волновые числа которых отличаются от основной частоты и волнового числа на некоторую малую их долю. Нелинейные эффекты препятствуют ослаблению этих волн вследствие дисперсии, н они приходят в резонанс со второй гармоникой основного движения, вследствие чего их амплитуды совместно увеличиваются, причем увеличение происходит экспоненциально по времени и пройденному расстоянию. В 3 приведено подробное исследование устойчивости цугов волн на воде произвольной глубины Л и показано, что они неустойчивы, если основное волновое число к удовлетворяет условию кк > 1,363, и устойчивы в противном случае. Наконец, в 4 обсуждаются некоторые экспериментальные результаты относительно неустойчивости волн на глубокой воде н дается обзор некоторых возможных приложений этих идей к другим частным системам. [c.83]

Значение упругих гироскопических систем с распределенными и сосредоточенными массами в современном машиностроении продолжает возрастать. Изучение их динамики во многих случаях приводит к рассмотрению систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с квазилинейными краевыми условиями [1]. Б реальных объектах среди действующих сил всегда присутствуют также и диссипативные силы. Однако в большинстве случаев при исследовании колебаний упругих систем силы демпфирования учитывают только в зонах резонанса. Вне этих зон ими обычно пренебрегают. Исключение составляют враш ающиеся системы, где внутреннее трение может служить причиной потери устойчивости в закритической области [2] и привести к возбуждению автоколебаний 3]. [c.5]

Определим условия устойчивости этого решения, исходя из нелинейных уравнений движения (5) в областях резонансов второго рода. Исследования показывают, что решение (6) устойчиво, если устойчивы состояния равновесия относительно некоторых из координат 0, ijj, ф. [c.112]

Изложенный здесь подход открывает возможности в исследовании сложных и еще не изученных явлений и эффектов, таких, как резонанс в системах с движущимися границами при произвольных внешних и начальных возмущениях, параметрическое демпфирование вынужденных колебаний и других, имеющих непосредственно отношение к вопросам устойчивости и надежности работы различных технических устройств и механизмов. [c.168]

Интересные результаты испытаний на сжатие в условиях ползучести тонких цилиндрических оболочек из композитного материала и стеклопластика даются в [163] и в [103]. Результаты исследования форм выпучивания показывают, что в процессе ползучести первоначальные вмятины растут, но в момент хлопка происходит их перестроение и форма потери устойчивости оказывается примерно такой же, как и при быстром нагружении. Авторы этих работ отмечают, что эти факты не подтверждают так называемую гипотезу резонанса функции неправильности с формой потери устойчивости. [c.289]

Для радиотехнических систем и систем автоматического регулирования ставится также задача устойчивости, которая для механических систем возникает только в отдельных случаях, например, при исследовании срывов автоколебаний в нелинейных системах, устойчивости вынужденных периодических колебаний и субгармонических резонансов. [c.25]

Кроме общих исследований, связанных с изучением поведения гибкого ротора в процессе вращения, за последнее время исследуются автоколебательные процессы быстроходных уравновешенных и неуравновешенных роторов и установлены причины их возникновения, исследованы комбинированные резонансы и переход через эти резонансы, устойчивость в закритической области и пр. Исследованы также колебания гибкого ротора, опирающегося на масляные подушки подшипников скольжения. [c.398]

В работе [1] рассмотрены электромеханические виброкомпенсаторы, существенно улучшающие действие пассивной виброизоляции. На рис. 1 и 2 показана система активной виброизоляции однонаправленных колебаний при двух способах установки электромеханического вибратора жестком креплении к источнику и упругом креплении к изолируемому объекту. Упрощенная эквивалентная схема системы (источник — масса, возмущаемая внешней силой /о, изолируемый объект — масса или относительно жесткое основание, активные виброизоляторы — один упругий элемент с потерями и один вибратор) в большинстве случаев достаточна для исследования устойчивости и эффективности гашения в области основного резонанса, не включающей собственные частоты источника и изолируемого объекта, как упругих систем. Активный виброизолятор содержит следующие элементы цепи управления вибродатчик — источник управляющего сигнала, усилители, обеспечивающие нужное усиление и фазовый сдвиг в полосе рабочих частот. [c.66]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями (5), предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4]. Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сзоднтся к исследованию устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование релонансных характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических или почти-пернодических решений, а также к изучению их устойчивости а областях неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов колебаний изучаемых систем. [c.267]

О методе исследования простраиствеиных колебаний внутренние и виешиие резонансы. Математические особенности исследования нелинейных пространственных колебаний обусловлены наличием многократных резонансов. Трудности, встречающиеся как при исследовании устойчивости, так и при приближенном построении резонансных периодических (почти-периодическнх) решений, общеизвестны [4, 15]. Укажем на некоторые подходы, общие для излагаемого круга задач о нелинейных колебаниях тел [4]. [c.267]

В работах А.Г. Сокольского [20, 33] (см. также [31]), А.М. Ковалева и А.Н. Чудненко [31], А.Н. Иванова и А.Г. Сокольского [18, 19] во всех подробностях рассмотрена задача об устойчивости системы (1) при наличии резонансов первого и второго порядков. Трудности исследования устойчивости при резонансах низших порядков связаны с особеннностями процедуры линейной и нелинейной нормализации, с большим количеством принципиально различных под случаев, в каждом из которых задача об устойчивости решается своим техническим приемом. Отличительной особенностью этих задач является также то, что в некоторых под случаях движение, неустойчивое в линейном приближении, становится устойчивым при учете нелинейностей в правых частях системы (1). С прикладной точки зрения резонансы низших порядков приобретают особенно большое значение в связи с известной проблемой безопасности границ областей устойчивости, так как во многих прикладных задачах в пространстве параметров эти резонансы отвечают границам областей устойчивости линеаризованной системы. [c.122]

В.Н. Фомин [76] исследовал устойчивость линейной системы (1) с условно-периодическими коэффициентами в случае, когда она содержит малый параметр и при нулевом значении которого переходит в систему с постоянными коэффициентами. В [76] нри исследовании устойчивости применена комбинация метода усреднения и метода оценки характеристических чисел решений усредненных уравнений с номогцью некоторых квадратичных форм — функций Ляпунова и получены области неустойчивости, являющиеся аналогами областей на-эаметрического резонанса в случае периодической системы (1). [c.124]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

При переходе от укороченной системы с гамильтонианом к полной сепаратрисы расщепляются подобно тому, как описано выше для резонанса порядка 3. Величина расщепления сепаратрис экспоненциально мала (порядка однако расщепление имеет принципиальное значение для исследования устойчивости, особенно в лшогомерном случае. [c.364]

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра [г, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения и [Хг соответствуют резонансам сох = Зсоа и (01 = 3(02 между частотами линейной системы. [c.13]

Переменная фа — монотонная функция времени в достаточно малой окрестности начала координат, поэтому она в задаче об устойчивости может играть роль времени. Как видим, анализ совершенно аналогичен исследованию устойчивости при резонансах oi = 2соа и (Ol = Зсоа, проведенному в предыдущих параграфах. Теорема. Если функция [c.80]

При исследовании устойчивости особыми являются такие значения параметра [.i, при которых возможны резонансы первога (ляпуновское условие существования периодического движения), второго (порождающие точки для параметрического резонанса), третьего и четвертого (порождающие точки для резонансов, проявляющихся в нелинейной задаче) порядков. В общем виде такие резонансы можно записать следующим образом [c.217]

Колебания, возникающие при резонансе п-го рода, иногда также называют автопараметрическими. Этот термин возник в связи с математическим аппаратом, при.меняемым при исследовании условий устойчивости двпншния при резонансе -го рода. При исследовании вопроса об устойчивости движения приходится рассматривать линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Эти уравнения будут рассмотрены ниже, при изучении квазигармонических колебаний и параметрического резонанса. [c.306]

К раннему периоду исследования бифуркаций рождения цикла и торов относятся работы Ю. И. Неймарка [87], Н. Н. Брушлинской [44], В. К- Мельникова [85], Сакера [91]. В работах В. К. Мельникова и Сакера была исправлена ошибка Неймарка, открывшего бифуркацию рождения тора при потере устойчивости автоколебанием, но пропустившего случаи сильного резонанса. В [85] и [191] были предсказаны главные системы и основные черты их [c.207]

Опыты с шарнирным четырехзвенником. Количество экспериментальных исследований, прямо или косвенно связанных с рассматриваемыми вопросами, невелико. В работе [108] приведены результаты опытов с маятником, движуш,имся в поле центробежных сил. Эти опыты позволили экспериментально получить движение, соответствующее периодическим решениям уравнения Матье и проверить суш ествование областей неустойчивости. В работе [116] приведены результаты экспериментов, связанных с исследованием возникновения параметрического резонанса эти эксперименты также производились с маятниками. Наконец, в [34] экспериментально показано, что в условиях вибрации точки подвеса неустойчивое положение равновесия маятника оказывается устойчивым. [c.182]

Исследования показали, что для систем с такими муфтами вообще не существует состояния, называемого резонансом, а амплитуда колебаний всегда имеет конечное значение. Это объясняется тем, что жесткость муфты изменяется с ростом амплитуды колебаний. Допустим, что система приближается к резонансу в точке Л (см. рис. 17.9). При этом должны возрастать амплитуды колебаний. С ро- стом амплитуд изменяется жесткость муфты, т. е. частота свобод--ных колебаний системы. Система автоматически выходит из резо-1 нанса. Применять муфты переменной жесткости особенно цеяесооб-. разно в тех случаях, когда частота вращения машины изменяется в широких пределах. При этом муфта постоянной жесткости не, всегда способна обеспечить устойчивость машины во всем рабочем диапазоне частоты вращения. [c.378]

Преобразование параметров и уравнений движения при переходе к иевращающейся системе координат будем называть фурье-преобразованием. Имеется много общего между этим преобразованием координат, рядами Фурье, интерполяцией Фурье и дискретным преобразованием Фурье. Так, общим является периодический характер системы. Фурье-преобразование координат широко применялось в исследованиях, хотя часто лишь на эвристической основе. Оно было использовано, например, в работе [С.77] для представления движения лопасти в плоскости вращения при анализе земного резонанса и в работе [М.121] для представления махового движения лопасти при анализе устойчивости и управляемости вертолета. Среди недавних работ с применением фурье-преобразования координат на более солидной математической основе можно отметить [Н.137]. [c.327]

В 1971 году в издательстве Наука вышел в свет сборник оригинальных работ Степана Прокофьевича Тимошенко Устойчивость стержней, пластин и оболочек , который был полностью просмотрен и одобрен автором. В этом сборнике дан был очерк жизни и научного творчества С. П. Тимошенко. Предлагаемый вниманию читателей сборник также был просмотрен автором и составлен согласно его желанию, хотя и выходит он уже после смерти С. П. Тимошенко, произошедшей 29 мая 1972 года в городе Вуппертале (Федеративная Республика Германия) на девяносто четвертом году жизни. Здесь содержатся двадцать шесть оригинальных работ С. П. Тимсшечко по проблемам прочности и колебаний элементов конструкции. Эти исследования посвящены изучению резонансов валов, несуш,их диски, эффективному анализу продольных, крутильных и изгибных колебаний прямых стержней посредством использования энергетического метода и применению общей теории к расчету мостов при воздействии подвижной нагрузки, вычислению напряжений в валах, лопатках и дисках турбомашин, расчету напряжений в рельсе железнодорожной колеи как стержня, лежащего на упругом сплошном основании, при статических и динамических нагружениях. Детально рассмотрены важные вопросы допускаемых напряжений в металлических мостах. [c.11]

В главах 2 и 3 рассмотрены либрационные движения спутников. Здесь показано, что гравитационные моменты обеспечивают устойчивое относительное равновесие спутника на круговой орбите при расположении наибольшей оси эллипсоида инерции спутника по радиусу-вектору орбиты, наименьшей оси — по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, средней оси — по касательной к орбите. Исследованы плоские и простран ственные колебания около этого положения. На эллиптической орбите такого относительного равновесия не существует. Но анализ нелинейных колебаний на эллиптической орбите показывает наличие устойчивых периодических ( эксцентриситетных ) колебаний около направления радиуса-вектора. Исследованы условия появления резонанса в плоских и пространственных колебаниях. Возможность практического приложения исследованных в главе 2 эффектов иллюстрируется [c.11]

Результаты. Ниже описываются (см. также рис. 4) результаты численного и аналитического исследования орбитальной устойчивости прецессии Гриоли для значений параметров 9ъ, Ос, не принадлежащих областям параметрического резонанса. Вычисления проводились для значений 9с, не меньших 0,01. [c.543]

Левая граница области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, разбивается точкой Р14(0,853, 0,604) на два участка. На участке Р7Р14 имеет место орбитальная устойчивость в точке Р14 вопрос об устойчивости остался открытым в остальных исследованных точках прецессия неустойчива. Правая граница точкой Р15 (0,87876, 0,678) также разбивается на два участка. К точке Р7 [c.543]

В задаче об устойчивости системы (1) резонансные и нерезонансные случаи рассматриваются отдельно. Это вызвано не только техникой исследования, основанной на предварительном унрогцении системы (1) при помогци нормализуюгцего преобразования, но и сугцностью самой задачи. Например [16], гамильтонова система,устойчивая в первом приближении, при отсутствии резонанса сохраняет устойчивость в любом (конечном) сколь угодно высоком нелинейном приближении. [c.116]

Для обеспечения устойчивой безвибрационной работы критические скорости вращения ротора не должны совпадать с рабочей скоростью, что необходимо учитывать при проектировании машины. Это не означает, однако, что при балансировке или вибрационных исследованиях нельзя допускать вращения ротора при критической скорости. В колебательной системе ротор-опоры фундамент, масляная планка между шейками ротора и вкладышами, а также внешнее трение ротора о газ и внутреннее трение в материале демпфируют колебания, поэтому при резонансе они не могут возрастать неограниченно. Если же ротор тщательно отбалансирован, то вследствие малости возмущающих сил возрастание колебаний ротора при резонансе почти незаметно. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...